王春艷，李 梟，許小杰，欒 天

(北華大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，吉林 吉林 132013)

0 引 言

正則化策略是求解反問題最常用的方法，經(jīng)典的正則化方法是通過增加信息、有限迭代、有限離散等方式處理問題的不適定性.近年來，隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，統(tǒng)計(jì)學(xué)方法越來越受到人們的青睞，在眾多求解反問題的算法中脫穎而出.統(tǒng)計(jì)學(xué)方法是通過在更大的概率分布空間上描述反問題解的不適定性，其思想是利用觀測信息和模型的先驗(yàn)信息，對所關(guān)心變量的不確定性進(jìn)行評價(jià).統(tǒng)計(jì)學(xué)方法的核心理論是貝葉斯方法.在貝葉斯方法中，所有參數(shù)被視為隨機(jī)變量，然后根據(jù)變量的信息確定它所滿足的分布，從而確定未知量的后驗(yàn)分布.貝葉斯方法與經(jīng)典正則化方法是相通的，選取不同的先驗(yàn)分布就對應(yīng)著不同的正則化方法.貝葉斯方法主要有以下幾個(gè)優(yōu)勢：第一，模型簡單，易于理解和接受；第二，編程思想簡單且算法具有通用性；第三，所求反問題的解不是未知量的單個(gè)值，而是所有可能值的概率分布，這樣能更好地利用先驗(yàn)信息，得到更豐富的輸出結(jié)果.貝葉斯方法在描述后驗(yàn)分布時(shí)需要采樣很多點(diǎn)，每一步都要解一次正問題，所以計(jì)算量較大，計(jì)算時(shí)間較長，但隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，這一缺點(diǎn)逐步得到了解決.關(guān)于貝葉斯方法的詳細(xì)介紹可參考文獻(xiàn)[1-2]，相關(guān)應(yīng)用可參考文獻(xiàn)[3-7].

1 可穿透障礙反散射問題的貝葉斯方法

Δu+k2(x)u=0，x=(x，y)∈2，

(1)

其中

為了保證解滿足物理意義以及解的唯一性，通常要求散射場滿足如下輻射條件

(2)

該條件稱之為Sommerfeld輻射條件.

圖1散射體D及測量曲線CFig.1Scattering body D and measurement curve C

可穿透障礙散射的正問題為：給定入射場ui和散射體D的形狀，通過求解方程(1)-(2)計(jì)算散射場us[8].反問題則是已知測量曲線C上的散射場信息us，重構(gòu)散射體D的形狀，即求k(x).

將反問題抽象成如下問題：給定觀測值y∈m，求解未知量θ∈n滿足

y=B(θ).

這里B為觀測算子.觀測值在位于散射體D外部的測量曲線C上取得，如圖1所示.

在反演散射體D形狀的過程中，觀測值y不可避免的會(huì)受到干擾.所以，我們給出更適合模型的方程如下

y=B(θ)+ξ.

(3)

這里ξ∈m表示觀測誤差，y是帶有誤差ξ的散射場us的觀測值.

實(shí)際算法中，隨機(jī)變量θ的先驗(yàn)概率密度函數(shù)選取脈沖先驗(yàn)分布密度函數(shù)π0(θ)[9]，其表達(dá)式為

妊娠期高血壓疾病是常見的妊娠期合并癥，國外研究顯示，妊娠期高血壓疾病在世界范圍內(nèi)的發(fā)病率在7%～12%之間，在我國發(fā)病率約為9.4%～10.4%。本病嚴(yán)重威脅母嬰生命健康，是孕產(chǎn)婦和圍生兒死亡的主要原因之一，目前研究表明，初產(chǎn)婦、年輕孕產(chǎn)婦(≤20歲)或高齡孕產(chǎn)婦(≥35歲)、肥胖、高血壓病家族史等是影響妊娠期高血壓疾病的主要因素。本縣屬于少數(shù)民族地區(qū)，婦女多有早婚早育的現(xiàn)象，初產(chǎn)婦低齡化及二胎全面放開后的經(jīng)產(chǎn)婦高齡化，使得我們基層醫(yī)院面臨更多的挑戰(zhàn)。因而，如何對該病進(jìn)行有效的預(yù)防和治療，成為我們臨床醫(yī)務(wù)人員廣為關(guān)注的問題。

(4)

由式(4)可知

令誤差ξ滿足正態(tài)分布N(0，σ2I)，其概率密度函數(shù)為

因此

為了計(jì)算簡便，且求解的問題符合物理模型，通常取π+=1[10].

在貝葉斯方法中，反問題的解為未知量的后驗(yàn)分布.但是，這一分布往往是抽象的后驗(yàn)密度表達(dá)形式，僅給出這個(gè)表達(dá)式對實(shí)際應(yīng)用并沒有多大幫助.因此，需要通過采樣來獲取未知量的估計(jì)值.

2 Gibbs采樣

我們采用馬爾可夫鏈蒙特卡羅方法(MCMC方法)，該方法基于給定分布構(gòu)造一條馬爾可夫鏈，在一定條件下，該馬爾可夫鏈的狀態(tài)可以視為給定分布的采樣[11]，算法的詳細(xì)介紹見參考文獻(xiàn)[12].常用的MCMC方法有Metropolis-Hastings算法和Gibbs算法，本文將采用Gibbs算法，當(dāng)描述分布的概率密度函數(shù)為π(x)時(shí)，算法的具體步驟如下：

1)令x∈n為初始值，并設(shè)置k=1.

2)選取采樣點(diǎn)總數(shù)K，k=2∶K.

3)設(shè)置x=xk.對于1≤j≤m，從kj維繪制yIj∈kj的分布

3 數(shù)值實(shí)驗(yàn)

圖2散射體形狀重構(gòu)圖(σ=0.01)Fig.2Shape reconstruction of scattering body(σ=0.01)

考慮花生形狀的散射體

s1(t)=(1+0.4cos(2t))(cost，sint)，0≤t≤2π.