杭靜

[摘 ?要] “高觀點”視角下的初中數(shù)學(xué)教學(xué)，不是將高等數(shù)學(xué)知識教學(xué)下移，而是用高觀點思想、方法、知識、思維統(tǒng)領(lǐng)、駕馭、關(guān)聯(lián)學(xué)生的初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí). 只有從高觀點視角來理解、認(rèn)識初中數(shù)學(xué)教學(xué)，教學(xué)才能居高臨下、深入淺出. “高觀點”視角下的初中數(shù)學(xué)教學(xué)，能讓學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)呈現(xiàn)出勃勃生機和新的景象.

[關(guān)鍵詞] 初中數(shù)學(xué);高觀點;數(shù)學(xué)教學(xué)

所謂“高觀點”是指用高等數(shù)學(xué)、現(xiàn)代數(shù)學(xué)的知識、思想和方法來分析、解決初等數(shù)學(xué)（中小學(xué)數(shù)學(xué)）知識. “高觀點”視角下的初中數(shù)學(xué)教學(xué)，不是將高等數(shù)學(xué)知識教學(xué)下移，而重點是“用通俗易懂的語言向?qū)W生介紹或適當(dāng)補充一些與高等數(shù)學(xué)相關(guān)的思想、方法等” . 只有從較高視角來理解、認(rèn)識初中數(shù)學(xué)教學(xué)，教學(xué)才能居高臨下、深入淺出. 這其中，最為常用的教學(xué)方法就是滲透、植入、嵌入和融入.

滲透“高觀點”思想，改變初中數(shù)學(xué)教學(xué)觀念

德國著名數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)教育家克萊因深刻地指出，許多初等數(shù)學(xué)知識，只有放置到高等數(shù)學(xué)視角下，才能得到較為合理、較為科學(xué)的理解. 滲透高觀點思想，是高觀點視角下初中數(shù)學(xué)教學(xué)的基本內(nèi)涵.

比如，化歸思想是初中數(shù)學(xué)的一種高階思想. 在化歸思想下，解決初中數(shù)學(xué)問題有許多具體的方法. 這些方法，一般都能將未知化為已知、將陌生化為熟悉，因而都受化歸思想的統(tǒng)攝. 比如教學(xué)函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像這一部分內(nèi)容，教師可以從學(xué)生已有知識經(jīng)驗出發(fā)，切入學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知的“最近發(fā)展區(qū)”. 針對學(xué)生已學(xué)的三個簡單的二次函數(shù)——“y=ax2”“y=ax2+c”“y=a（x-b）2”入手，通過類比法、數(shù)形結(jié)合法等，引導(dǎo)學(xué)生自主探究，逐步推出函數(shù)“y=a（x-b）2+c”這一新教學(xué)內(nèi)容. 可以將“y=ax2”的函數(shù)圖像沿著y軸向上或者向下平移若干個單位，再向左或向右平移若干個單位，得到“y=a（x-b）2+c”圖像. 如此，教師運用學(xué)生所熟悉的知識，構(gòu)建新的數(shù)學(xué)知識. 這個過程，教師要充分發(fā)揮學(xué)生的主觀能動性，既讓學(xué)生理解了數(shù)學(xué)知識的來龍去脈，更讓學(xué)生洞察了數(shù)學(xué)知識的內(nèi)在關(guān)聯(lián). 在具體的數(shù)學(xué)知識實踐過程中，學(xué)生自己展開嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐茖?dǎo)，自己進行理性的計算. 在這個過程中，數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化思想牽引學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，學(xué)生主動地類比、將數(shù)與形結(jié)合思考. 用數(shù)學(xué)的思想牽引、指導(dǎo)數(shù)學(xué)教學(xué)，讓數(shù)學(xué)課堂教學(xué)煥發(fā)出生命的活力，學(xué)生能深刻理解、把握數(shù)學(xué)知識的實質(zhì).

植入“高觀點”方法，豐富初中數(shù)學(xué)教學(xué)形式

“高觀點”思想下的方法，是具有統(tǒng)攝作用的方法，其運用性強、組織性高，具有再生性、生長性等特性. 從學(xué)生學(xué)習(xí)視角看，“高觀點”視角下的數(shù)學(xué)方法，具有一種活性以及知識的繁殖性. 換言之，數(shù)學(xué)方法是貫穿于學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)始終的，是貫穿于不同的數(shù)學(xué)知識學(xué)習(xí)之中的.

以類比方法為例，所謂“類比”，是指根據(jù)兩個或者兩類對象之間某些相同或相似屬性，推導(dǎo)、推演出它們在其他方面也存在著某些相同或相似屬性. 類比，是一種重要的數(shù)學(xué)思考方法，它是合情推理的一種. 比如學(xué)生學(xué)習(xí)“一元一次不等式的解法”可以類比“一元一次方程的解法”，因為它們都要經(jīng)過“去分母、去括號、移項、合并同類項”等過程，都是將未知項的系數(shù)化為1;比如分?jǐn)?shù)加減法可以類比分式加減法，因為數(shù)與式具有一種通性，都是借助于基本性質(zhì)、通分、約分、四則運算等展開;再比如，學(xué)生學(xué)習(xí)“圓與圓的位置關(guān)系”可以類比“直線與圓的位置關(guān)系”，學(xué)習(xí)反比例函數(shù)、二次函數(shù)可以類比一次函數(shù)，等等. 在數(shù)學(xué)教學(xué)中，植入數(shù)學(xué)方法，能夠豐富初中數(shù)學(xué)教學(xué)形式. 從學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)視角來看，方法猶如一個綱，綱舉目張;方法猶如一個支點，抓住方法，所有的數(shù)學(xué)知識都可以被撬動;方法是一個連心鎖，能夠賦予學(xué)生數(shù)學(xué)活動的力量.

作為數(shù)學(xué)教師，只有站在高觀點視角下運用數(shù)學(xué)方法來組織數(shù)學(xué)課堂教學(xué)，才能將復(fù)雜的、抽象的數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容以一種生動的、直觀的形象呈現(xiàn)在學(xué)生面前. 只有站在方法的制高點上，才能有效地駕馭數(shù)學(xué)教學(xué)，從而達到舉一反三的高效教學(xué)目的.

嵌入“高觀點”知識，豐盈初中數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容

初中數(shù)學(xué)教材中的幾何、函數(shù)、概率等內(nèi)容在高中數(shù)學(xué)乃至于高等數(shù)學(xué)教學(xué)中同樣會出現(xiàn). 當(dāng)然，其中知識的深淺、難易、抽象度、概括性等是不同的. 作為教師，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，可以相機嵌入一些“高觀點”數(shù)學(xué)知識，豐盈初中數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容. 高觀點知識，能夠統(tǒng)領(lǐng)初等數(shù)學(xué)知識，能激發(fā)學(xué)生的好奇心、求知欲，從而能夠改變學(xué)生被動學(xué)習(xí)、機械模仿的學(xué)習(xí)樣態(tài).

比如教學(xué)“一次函數(shù)”“反比例函數(shù)”“二次函數(shù)”等知識內(nèi)容時，教師可以滲透函數(shù)發(fā)展史的知識. 通過函數(shù)發(fā)展史，讓學(xué)生明晰函數(shù)概念誕生的來龍去脈，從而洞察函數(shù)的本質(zhì). 應(yīng)該說，函數(shù)思想史是一種高觀點知識，因為其中涉及學(xué)生還沒有學(xué)習(xí)的導(dǎo)數(shù)、微積分等知識. 但對函數(shù)發(fā)展史、函數(shù)知識背景的認(rèn)知，能讓學(xué)生體認(rèn)到函數(shù)知識的文化價值. 函數(shù)源于力學(xué)的應(yīng)用訴求，其中涉及了行星運行軌道的原理等知識. 當(dāng)微積分建立的時候，還沒有采用函數(shù)的概念，牛頓運用的是“流量”，萊布尼茲首次使用“函數(shù)”的概念表示冪. 在微積分經(jīng)歷了兩百多年的錘煉、變革后，逐步形成了函數(shù)的概念. 這樣的高觀點知識的嵌入，不僅讓學(xué)生了解了函數(shù)的發(fā)展史，還讓學(xué)生認(rèn)識到，初中函數(shù)的學(xué)習(xí)是非常重要的，許多高等數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)都必須運用函數(shù)知識，從而增強了學(xué)生學(xué)習(xí)函數(shù)的自覺性、能動性. 這種嵌入高觀點知識的教學(xué)，改變了教師以往僅限于初等知識層面實施教學(xué)的機械模式，彰顯了數(shù)學(xué)知識的連續(xù)性、學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的連續(xù)性的法則. 當(dāng)然，在這個過程中，教師不能揠苗助長，拔高知識教學(xué)要求，而是可以通過適當(dāng)?shù)姆绞阶寣W(xué)生了解，從而起到開闊學(xué)生數(shù)學(xué)視野的作用. 高觀點知識的適度嵌入，提高了數(shù)學(xué)課堂教學(xué)效率.

融入“高觀點”思維，簡化初中數(shù)學(xué)解題思路

“高”者，超出常態(tài)也. “高觀點”視角下的數(shù)學(xué)教學(xué)，比如融入高觀點思維，能簡化初中數(shù)學(xué)問題解決思路. 高觀點思維，能讓初中數(shù)學(xué)教學(xué)深入淺出，將最為復(fù)雜的知識用淺顯的、明白的方式表征出來.

比如對于這樣的問題——“滿足‘SSA的兩個鈍角三角形全等嗎”，有教師認(rèn)為，這個判斷需要具體地分清楚這個三角形是怎樣的三角形，如果兩個三角形都是銳角三角形、直角三角形或鈍角三角形，那么就可以判定兩個三角形全等. 其實，如果我們從高觀點思維看，通過正弦定理就會發(fā)現(xiàn)，當(dāng)兩個三角形都是鈍角三角形，并且只有當(dāng)“兩個鈍角三角形中的兩個鈍角相等，并且兩個鈍角所對邊以及另一個對邊也相等時，這兩個鈍角三角形才會全等”. 而更一般的表述是：三角形中的兩組邊以及兩組邊中的較大的邊所對的角相等，這兩個三角形才會全等. 作為教師，可以通過高中數(shù)學(xué)知識，將這一過程詳細(xì)地證明. 在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師可以通過引導(dǎo)學(xué)生畫圖探究的方式，催生學(xué)生的數(shù)學(xué)思考，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知. 正如德國著名數(shù)學(xué)教育家克萊因所說：“理解初等數(shù)學(xué)知識，只有采用高觀點思維，事情才會變得簡單而明了. ”

“高觀點”視角下的初中數(shù)學(xué)教學(xué)，要站在學(xué)科知識結(jié)構(gòu)與學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)相關(guān)聯(lián)的視角，滲透思想、植入方法、嵌入知識、融入思維. 從而能夠讓初中數(shù)學(xué)教學(xué)實現(xiàn)知識與思想的統(tǒng)一，文化與精神的和諧. 如此，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)一定會呈現(xiàn)出勃勃生機和新的景象.