董海迪 劉剛 何兵 李永強(qiáng) 王世濤

摘要：針對(duì)容差條件下非線性模擬電路的多參數(shù)故障診斷問題，提出一種系統(tǒng)搜索算法求解故障參數(shù)，實(shí)現(xiàn)故障元件的定位和參數(shù)辨識(shí)。首先將非線性測試方程的多解求解轉(zhuǎn)化為差分方程的初值問題;然后采用牛頓法迭代生成簡單曲線簇，沿曲面方向進(jìn)行測試方程的解搜索，并通過四階龍格庫塔法計(jì)算初值問題的數(shù)值解，顯著提高方程組解的求解效率，降低漏解的風(fēng)險(xiǎn);最后將故障集驗(yàn)證轉(zhuǎn)化為容差約束下的線性規(guī)劃問題求解，實(shí)現(xiàn)故障元件定位，并通過實(shí)際電路實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證該算法的有效性。該算法適用于含BJT和CMOS等非線性電路的故障診斷，具有較高的診斷準(zhǔn)確度和參數(shù)辨識(shí)準(zhǔn)確度。

關(guān)鍵詞：模擬電路;參數(shù)故障;系統(tǒng)搜索;非線性

中圖分類號(hào)：TN06 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1674-5124（2019）07-0134-06

收稿日期：2018-01-18;收到修改稿日期：2018-05-20

基金項(xiàng)目：國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（61403399）

作者簡介：董海迪（1988-），男，湖北武漢市人，博士研究生，研究方向?yàn)槟M電路測試與故障診斷。

0 引言

模擬電路故障診斷是電子設(shè)備有效性驗(yàn)證的重要問題[1-2]，模擬電路故障診斷方法依據(jù)仿真進(jìn)行的時(shí)間劃分為測前仿真方法和測后仿真方法[3-4]。參數(shù)故障診斷通常采用測后仿真方法，通過求解測試方程得到待測元件的參數(shù)值，與標(biāo)稱值比對(duì)進(jìn)行故障隔離定位。參數(shù)辨識(shí)法分為伴隨網(wǎng)絡(luò)法和多頻診斷法[5-6]。伴隨網(wǎng)絡(luò)法是根據(jù)Tellegen定理計(jì)算得到測點(diǎn)處各元件的靈敏度值，采用牛頓迭代方法和區(qū)間法等求解被測電路構(gòu)成的多元非線性方程組，該方法計(jì)算量大。多頻診斷法是指通過增加測試頻率，得到更多的故障方程數(shù)，據(jù)此來確定元件值，該方法收斂效果差。近幾年來參數(shù)辨識(shí)法取得了新的進(jìn)展，He等[7]將L1最優(yōu)范數(shù)引入到非線性電路的參數(shù)估計(jì)，采用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法求解;Guo和Savir[8]采用自回歸模型和系統(tǒng)辨識(shí)工具進(jìn)行模擬電路故障參數(shù)辨識(shí);LONG等[9]采用改進(jìn)的靈敏度計(jì)算方法進(jìn)行模擬電路的故障參數(shù)辨識(shí)。

對(duì)于復(fù)雜線性電路或非線性電路，電路代數(shù)方程很難求取或不存在、求解效率低等問題仍然存在，困擾著參數(shù)辨識(shí)方法的進(jìn)一步發(fā)展。此外，由于元件容差影響，存在故障掩蓋現(xiàn)象。同時(shí)，考慮方程的非線性，測試方程可能存在多解情況。綜上分析，有必要尋求新技術(shù)途徑來實(shí)現(xiàn)對(duì)模擬電路的故障參數(shù)辨識(shí)，本文針對(duì)容差條件下模擬電路的多軟故障診斷問題開展研究，提出一種基于系統(tǒng)搜索的故障診斷和參數(shù)辨識(shí)方法。

1 算法原理

假設(shè)某被測電路中可能存在n個(gè)參數(shù)故障，給該被測電路施加激勵(lì)信號(hào)，同時(shí)在r個(gè)測點(diǎn)處測量輸出電壓。對(duì)于m個(gè)激勵(lì)電壓信號(hào)集合，測量得到mr個(gè)輸出電壓，其中mr≥n。從中選取n個(gè)測量電壓，作為輸出電壓向量u=[U₁，…，u_n]^T的元素，每個(gè)測量電壓u_i是電路可能故障參數(shù)x₁，…，x_n的函數(shù)，表示為u_i=f_i（x），i=1，…，n，其中x=[x₁，…，x_n]^T。得到的測試方程為

f（x）=0（1）式中：f（x）=f（x）-u;

f（x）=[f₁（x），…，f_n（x）]^T。

實(shí)際電路中，往往無法得到非線性函數(shù)f（x）的準(zhǔn)確數(shù)學(xué)表達(dá)式，同時(shí)由于可用測點(diǎn)和激勵(lì)點(diǎn)有限，測試方程中包含的信息往往不足以找到實(shí)際的故障參數(shù)集合，在數(shù)學(xué)上意味著式（1）包含多個(gè)解，因此需要找到一種能得到測試方程多解的方法。參照文獻(xiàn)[10]，將代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為差分方程求解是一種有效尋找多解的方法。Chao等[11]將該思想拓展為尋找非線性電阻電路多直流工作點(diǎn)的系統(tǒng)搜索方法。本文進(jìn)一步將系統(tǒng)搜索的概念拓展應(yīng)用于模擬電路故障診斷過程中測試方程的多解求解。

為了找到式（1）的多個(gè)解，將該問題轉(zhuǎn)化為初值問題。設(shè)計(jì)差分方程為

由式（2）得到：

（f_i（x（t））=f_i（x（0））e^-t=0.i=1，…，n-1

f_n（x（t））=f_n0e^±t（3）

初值條件x（0）的選擇滿足如下條件：f_i（x（0））=0，i=1，…，n-1，即x（0）位于空間曲線L上，該空間曲線為曲面f_i（x）=0，i=1，…，n-1的交叉部分。解式（3）中前n-1個(gè)方程得到：對(duì)于任意x（0）∈l，跟蹤點(diǎn)x（t）保留在曲線l上。初值問題式（3）的解x（t）能夠通過數(shù)值積分方法得到。任何位于曲線l上的點(diǎn)x（t_k），滿足f_n（x（t_k））=0都是式（1）的解。

由于df/dt=（df/dx）（dx/dt），式（2）在x空間具有如下形式：

dx/dt=J^-1（x）w（x）（4）式中：J（x）=df/dx是f（x）的雅克比矩陣;

w（x）=[-f₁（x），…，-f_n-1（x），±f_n（x）]^T。

在文獻(xiàn)[11]中，已經(jīng)證明了f_n（x）在沿曲線l方向的導(dǎo)數(shù)滿足：式中：△_ni（x）（i=1，…，n）由J（x）中最后一行元素組成。

由式（3）可知，式（2）中f_n（x）取負(fù)號(hào)時(shí)，f_n（x）沿曲線l吸引到0;式（2）中f_n（x）取正號(hào)時(shí)，f_n（x）沿曲線l遠(yuǎn)離0。文獻(xiàn)[11]已證明在搜索過程中，式（2）中f_n（x）的符號(hào)改變發(fā)生在雅克比矩陣J（x）的行列式改變符號(hào)時(shí)或找到了方程的解時(shí)。

2 算法求解

兼顧截?cái)嗑群陀?jì)算量，采用四階顯式龍格庫塔法[12]求解初值問題式（4）的數(shù)值解。因?yàn)殡[式積分方法要求對(duì)電路進(jìn)行二階靈敏度分析，其無法對(duì)式（4）進(jìn)行求解?？紤]到測試式（1）的代數(shù)方程無法準(zhǔn)確得到，測點(diǎn)電壓f_i（x）（i=1，…，n）以及f_i（x）對(duì)參數(shù)x_j（j=1，…，n）的偏導(dǎo)數(shù)需要通過對(duì)給定參數(shù)X₁，…，x_n的電路進(jìn)行仿真，通過直流和靈敏度分析得到，即得到了w（x）和J（x）。

為了找到測試方程的所有可行解，本文提出采用系統(tǒng)搜索方法，關(guān)鍵是找到簡單的空間曲線l。否則，如果曲線l是多分枝的，可能會(huì)失去部分解。因此，本文提出了一種產(chǎn)生多個(gè)簡單曲線的方法，生成的每條曲線都可能找到多個(gè)解?？紤]含n-1個(gè)方程的系統(tǒng)：

f₁（x₁，x₂，…，x_n-1，x_n）=0

f₂（x₁，x₂，…，x_n-1，x_n）=0

…

f_n-1（x₁，x₂，…，x_n-1，x_n）=0

選擇某參數(shù)取標(biāo)稱值，其余參數(shù)為變量，對(duì)該方程組進(jìn)行n次求解。例如，首先設(shè)置，針對(duì)參數(shù)x₁，x₂，…x_n-1采用牛頓法解式（6），得到解x₁^*，x₂^*，…，x_n-1^*與x_n^nom組成初值向量x（0），該向量在空間曲線l（標(biāo)記為l^（1），見式（2））上定義了起始點(diǎn)，使用第1節(jié)描述的搜索方法，產(chǎn)生空間曲線l^（1），得到式（1）的一個(gè)或多個(gè)解;為找到其他可能的解，設(shè)置x_n-1=，針對(duì)參數(shù)x₁，x₂，…，x_n-2，x_n，解式（6），得到新的向量，采用上述過程產(chǎn)生空間曲線l（2）。最后是設(shè)置x₁=x₁^nom，考慮參數(shù)x₂，…，x_n。上述n次求解方程組的過程中，如果遇到牛頓法發(fā)散，則舍棄該結(jié)果。

為簡化說明，式（6）的系統(tǒng)用以下形式描述：p（x）= 0，其中p（x）=[f₁（x），…，f_n-1（x）^T。此外，用x_-k表示向量[x₁，…，x_k^nom，x_k+1，…，x_n]^T，由解x_-k^*得到的空間曲線表示為l^（n-k+1）。沿著曲線l（n-k+1），k∈{n，n-1，…，1}，采用系統(tǒng)搜索方法能夠找到方程f（x）=0的解。該方法從空間曲線的初始點(diǎn)開始，分別從兩個(gè)方向進(jìn)行跟蹤。首先，將負(fù)號(hào)賦予f_n（x），求解式（4），跟蹤曲線，該曲線標(biāo)記為N部分;之后，將正號(hào)賦予f_n（x），選擇同樣的起始點(diǎn)，求解式（4），跟蹤曲線，該曲線標(biāo)記為P部分。當(dāng)獲得一個(gè)解時(shí)，搜索過程暫時(shí)鎖定，檢驗(yàn)是否滿足物理限制條件。如果解不被接受，過程解鎖并繼續(xù)。如果計(jì)算步長m達(dá)到最大值M，該過程從起始點(diǎn)開始搜索曲線的P部分。當(dāng)總步長m=M=2M時(shí)，方法鎖定。因此，模塊的輸出量是搜索次數(shù)m和方程解（m

實(shí)際應(yīng)用中測量精度有限，且考慮元件存在容差，因此對(duì)上述方法進(jìn)行修正。對(duì)于曲線上的任何點(diǎn)x，檢測是否滿足f_n（x）∈[u_n△u_n，u_n+△u_n]，其中△u_n依賴于測量精度，而不是檢測是否滿足f_n（x）=f_n（x）-u_n=0。基于大量數(shù)值仿真實(shí)驗(yàn)，△u_n設(shè)置為5ε，其中ε為測量精度。通常，曲線上的若干點(diǎn)滿足這一條件，而且所有點(diǎn)都必須視為測試方程的合適解。因此，不同于理想情況，得到參數(shù)范圍集合而不是一系列具體值。計(jì)算中值元=（l/2）（萬+對(duì)），i=1'...，。，考慮x=巨1，"..xn1T為方程的合適解。

3 故障辨識(shí)

診斷的目的是找到電路中滿足測試方程的可能發(fā)生故障的參數(shù)x₁，…x_n的實(shí)際值，它們是非線性代數(shù)式（1）的解。由于方程可能存在多解，因此需考慮如何從中找到真實(shí)解。采用上述廣義系統(tǒng)搜索方法尋找到方程解后，利用文獻(xiàn)[13]中方法進(jìn)行故障驗(yàn)證。

考慮電路中所有元件參數(shù)在容差范圍內(nèi)擾動(dòng)，由文獻(xiàn)[13]得到：式中：y_i——第i個(gè)激勵(lì)信號(hào)下測量值與標(biāo)稱參數(shù)下測量值的偏差;

x_j——第j個(gè)元件的參數(shù)偏差;

a_ij——第i個(gè)激勵(lì)信號(hào)下電壓e_i對(duì)第j個(gè)元件參數(shù)的電壓靈敏度;

m——激勵(lì)信號(hào)數(shù)量。

容差模擬電路正常狀態(tài)下的元件參數(shù)偏差滿足-ε_j^-≤x_j≤ε_j⁺（j=1，…，n），其中ε_j⁺和-ε_j^-分別表示參數(shù)容差的上下限值。判斷式（7）解中所有參數(shù)偏差是否在容差范圍內(nèi)即可定位到故障元件。考慮將電路故障狀態(tài)驗(yàn)證轉(zhuǎn)化為容差約束下的線性規(guī)劃問題求解。

引入變量x_j=x_j+ε_j^-，帶入式（7），得到：

為判斷式（8）解的存在性，采用單純形法的第一階段方法進(jìn)行求解。引入人工變量z_i，對(duì)疑似故障元件“和‘的參數(shù)偏差限值（-ε_k^-，ε_k⁺）和（-ε_l^-，ε_l⁺）進(jìn)行修正，得到修正后的偏差限值為（-γ_k^-，γ_k⁺）和（-γ_l^-，γ_l⁺），得到輔助線性規(guī)劃方程：

若修正后的式（9）存在最小目標(biāo)值ZO，則表示元件k和l確實(shí)發(fā)生故障。電路中存在更多故障的診斷過程與此類似。

4 實(shí)例驗(yàn)證

本文提出的算法使用大量BJT和CMOS電路進(jìn)行測試。為了說明算法的有效性，考慮兩個(gè)數(shù)值例子。在所有例子中，BJT電路的步長為0.01，CMOS的步長為0.05，M=20000。

4.1 案例一

在實(shí)驗(yàn)室條件下搭建的BJT電路[14]如圖1所示。該電路含5個(gè)BC108B晶體管，測試電壓精度為1mV?？紤]到電阻Rz.R5和R6的參數(shù)變化對(duì)輸出電壓的影響很小，故障無法檢測，因此僅考慮電阻R₁、R₃和R₄可能發(fā)生故障情況。實(shí)際測量電阻值為R₂=5.024kΩ，R₅=10.12kΩ，R₆=99.8kΩ。采用算法仿真計(jì)算時(shí)，采用它們的標(biāo)稱值。晶體管采用G-P模型，參數(shù)設(shè)置如下：IS=7.59×10^-15A，BF=480，NF=1，VAF=19.3V，IKF=0.071A，ISE=7.477×10^-15A，NE=1.2，BR=5，NR=1，VAR=12.5V，ISC=2.00×10^-13A，NC=1.3808，RB=0Ω，RE=0Ω，RC=0Ω。選擇△u_i=5mV。測試激勵(lì)信號(hào)如表1所示，考慮兩種故障情況，實(shí)驗(yàn)測量電壓見表1。采用本文提出算法，計(jì)算得到結(jié)果如表2所示?？梢钥闯?，計(jì)算電阻范圍基本涵蓋了故障電阻實(shí)值，計(jì)算得最大誤差為4.35%。

如果提高電壓測量精度到0.01mV，更多數(shù)量的參數(shù)故障能夠被診斷出來。考慮R₁、R₂、R₃、R₄和R₅參數(shù)，激勵(lì)信號(hào)、測量電壓及計(jì)算結(jié)果如表3所示?？梢钥闯觯?jì)算電阻范圍基本涵蓋了故障電阻實(shí)值，計(jì)算得最大誤差為1.38%。在上述討論的例子中，計(jì)算得到的結(jié)果都在曲線l^（1）上。

仿真實(shí)驗(yàn)包括30個(gè)不同的故障模式，實(shí)驗(yàn)結(jié)果為：計(jì)算得到19個(gè)故障模式的參數(shù)值位于曲線l^（1）上，11個(gè)故障模式的參數(shù)值位于曲線l^（2）上。

4.2 案例二

考慮如圖2所示的含CMOS電壓跟隨器電路[15]。MOS晶體管仿真采用PSPICE中的LEVEL 1模型，標(biāo)稱參數(shù)設(shè)置：pMOS-GAMMA=0.53 V^0.5，IS=10_-16A，KP=28.3 μA/V²，PHI=0.58V，RD=RS=94Ω，VTO=-0.84 V：nMOS-GAMMA=0.38V^0.5，IS=10^-16A，KP=79.7μA/V²，PHI=0.53V，RD=RS=63Ω，VTO=0.79V。

晶體管標(biāo)稱每米的通道寬度和長度如圖2所示?？紤]溝道的寬度與長度的比值（W/L）偏差。晶體管的標(biāo)稱比值（W/L）為：3.750，8.750，50.000，15.000，15.000，6.875，6.875，75.000。

假設(shè)測點(diǎn)為1和2，測量精度取0.1mV，測試安排如表4所示。假定晶體管T1、T5、T6、T7、T8可能發(fā)生故障，晶體管T2、T3、T4的寬度與長度的比值（W/L）取標(biāo)稱值，故障參數(shù)值位于曲線l^（2）上，結(jié)果如表5所示?？梢钥闯?，W/L，計(jì)算范圍基本涵蓋了實(shí)值，計(jì)算得最大誤差為1.08%。

將測量精度提高到0.001mV，測試安排如表6所示。假設(shè)所有的晶體管可能發(fā)生故障，該方法得到參數(shù)值范圍（位于曲線l^（2）上）如表7所示?？梢钥闯?，W/L計(jì)算范圍基本涵蓋了實(shí)值，計(jì)算得最大誤差為1.16%。

仿真實(shí)驗(yàn)包括30個(gè)不同故障模式，實(shí)驗(yàn)結(jié)果為：計(jì)算得到24個(gè)故障模式的參數(shù)值位于曲線l^（1）上，6個(gè)故障模式的參數(shù)值位于曲線l（2）上。

5 結(jié)束語

模擬電路參數(shù)故障診斷的關(guān)鍵是求解可能存在多解的非線性測試方程組，并從所有解中辨識(shí)出真解。本文研究將非線性測試方程的多解求解轉(zhuǎn)化為差分方程的初值問題，提出一種系統(tǒng)搜索算法求解故障元件參數(shù)，將故障驗(yàn)證轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題最優(yōu)解的存在性判斷，BJT和CMOS電路實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了算法的有效性。本方法能夠有效處理非線性模擬電路的軟故障診斷問題，后續(xù)將進(jìn)一步完善工程化的試驗(yàn)研究和對(duì)比分析。

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（編輯：李剛）