王雅婧,羅敏霞,張花榮

(中國計量大學 理學院,浙江 杭州 310018)

模糊推理包括許多重要推理方法, 目的是模仿人類思維的推理機制。在模糊推理中,最基本的模型是模糊假言推理(Fuzzy modus ponens, FMP)和模糊反駁推理(Fuzzy modus tollens, FMT):

FMP模型:給定規(guī)則A→B,輸入A*,輸出B*；

FMT模型:給定規(guī)則A→B,輸入B*,輸出A*。

ZADEH在文獻[1-2]中提出的合成推理規(guī)則(CRI)可以用來解決FMP問題,

其中T是任意的三角范數(shù),I是任意的模糊蘊涵。因為模糊連接詞的選取具有任意性,所以CRI算法缺乏嚴格的邏輯基礎,因此,WANG在文獻[3]中給出了模糊推理全蘊涵算法(三I算法),

其中R是由左連續(xù)三角范數(shù)T誘導的剩余蘊涵。三I算法的提出不僅克服了CRI算法的缺陷,而且在文獻[4]中將三I算法歸納到了模糊邏輯的框架中。PEI在文獻[5]中給出了統(tǒng)一的基于左連續(xù)三角范數(shù)的三I算法,文獻[6]將三I算法與BL和MTL相結合,將三I算法形式化。LUO在文獻[7]中選取一類更符合實際的三角范數(shù)簇,討論了基于Schweizer-Sklar剩余蘊涵簇的三I算法及其連續(xù)性。文獻[8]研究了基于左連續(xù)偽三角范數(shù)誘導的剩余蘊涵的三I算法的一個具體算例，將模糊推理算法與左連續(xù)偽三角范數(shù)結合起來，為解決實際應用問題提供模糊推理算法的一種新的模型。盡管三I算法克服了CRI算法的一些缺陷,但是它沒有充分考慮輸入和規(guī)則前件的近似程度,使得在計算過程中會出現(xiàn)不合理的情形。因此,ZHOU等人在文獻[9]中提出了模糊推理五蘊涵算法(五I算法),在推理的過程中充分考慮了A*和A(或B和B*)的接近程度,有效的改進了三I算法。文獻[10]基于多型變元一階形式系統(tǒng)MTL?ms給出五I算法解的謂詞形式表示,把五I算法納入到嚴格的邏輯框架中。

1975年,ZADEH在文獻[1]中提出了區(qū)間值模糊集。SAMBUC在文獻[2]中也給出了區(qū)間值模糊集的概念,區(qū)間值模糊集元素的隸屬度由單位區(qū)間[0,1]的閉子區(qū)間給出。由于區(qū)間值模糊集可以更好的描述不精確和不確定的信息,并且它能夠有效地減少信息丟失。因此,許多研究者研究了這個問題,并且把模糊推理算法擴張到了區(qū)間值的情形。文獻[12]把CRI算法擴張到了區(qū)間值的情形,并且討論了區(qū)間值CRI算法的魯棒性；文獻[13]把三I算法擴張到了區(qū)間值的情形,并且討論了區(qū)間值三I算法的魯棒性,把模糊推理算法納入到嚴格的邏輯框架中；文獻[14]把反向三I算法擴張到了區(qū)間值的情形,并討論了它的魯棒性；文獻[15]把五I算法擴張到了區(qū)間值的情形,并討論了它的魯棒性。文獻[16]研究了多規(guī)則的區(qū)間值模糊推理。以上都是基于區(qū)間值可結合三角范數(shù)的推理算法,文獻[17]給出了區(qū)間值t-可表示三角范數(shù)的定義，文獻[18]給出的區(qū)間值可結合三角范數(shù)作為其特殊情形。雖然區(qū)間值三I算法克服了區(qū)間值CRI算法的缺陷，但是區(qū)間值三I算法在實際應用中會出現(xiàn)不合理的情形。因此,本文研究基于區(qū)間值t-可表示三角范數(shù)TT1,T2的模糊推理五蘊涵算法。

1 預備知識

令SI={[x,y]|x≤y,x,y∈[0,1]}。在SI上定義[a,b]≤[c,d],如果a≤c且b≤d,稱該序關系為Kulisch-Miranke序[19]。[a,b]∧[c,d]=[a∧c,b∧d],[a,b]∨[c,d]=[a∨c,b∨d]。進一步,[a,b]∧[c,d]=[a,b]當且僅當[a,b]≤[c,d]當且僅當[a,b]∨[c,d]=[c,d]。容易證明代數(shù)結構(SI,∧,∨,[0,0],[1,1])是一個完備有界格。令X={x1,x2,…,xn}是一個非空集合,SI(X)為X的區(qū)間值模糊子集,A(xi)∈SI(A(xi)記為[Al(xi),Ar(xi)],1≤i≤n)。令A={[Al(x1),Ar(x1)],[Al(x2),Ar(x2)],…,[Al(xn),Ar(xn)]}和B={[Bl(x1),Br(x1)],[Bl(x2),Br(x2)],…,[Bl(xn),Br(xn)]}為兩個區(qū)間值模糊集,A?B定義為Al(xi)≤Bl(xi),Ar(xi)≤Br(xi)(i=1,2,...,n)[20]。A的補集記為Ac(1≤i≤n),其中Ac={[1-Ar(x1),1-Al(x1)],[1-Ar(x2),1-Al(x2)],…,[1-Ar(xn),1-Al(xn)]}。對于任意非空子集A?SI,supA=[sup{x|[x,y]?A},sup{y|[x,y]?A}]。

定義1.1[21]設T:[0,1]2→[0,1]是二元算子,對于任意的a,b,c∈[0,1]滿足下列條件:

1)T(a,b)=T(b,a)；(交換律)

2)T(T(a,b),c)=T(a,T(b,c))；(結合律)

3)T(a,c)≤T(b,c)其中a≤b；(單調性)

4)T(a,1)=a。(有界性)

稱T為三角范數(shù)。

定義1.2[21]設T是三角范數(shù),如果對于任意的(x0,y0)∈[0,1]2,任意的ε>0,存在δ>0,當(x,y)∈(x0-δ,x0]×(y0-δ,y0]時,有T(x,y)>T(x0,y0)-ε成立,稱三角范數(shù)T是左連續(xù)的。

定義1.3[22]對于任意的x,x1,x2,y,y1,y2∈[0,1],映射R:[0,1]2→[0,1]稱為模糊蘊涵,如果滿足下列條件:

1)如果x1≤x2,則R(x1,y)≥R(x2,y),即R(·,y)是單調遞減的；

2)如果y1≤y2,則R(x,y1)≤R(x,y2),R(x,·)即是單調遞增的；

3)R(0,0)=1；

4)R(1,1)=1；

5)R(1,0)=0。

定義1.4[23]對于任意的a,b∈[0,1],由左連續(xù)三角范數(shù)T誘導的剩余蘊涵為

R(a,b)=sup{x∈[0,1]|T(a,x)≤b},?a,b∈[0,1]。

例1.1[24]四個重要的三角范數(shù)及其剩余蘊涵:

1)G?del三角范數(shù)TG及其剩余蘊涵RG:

TG(a,b)=a∧b,

2)極小三角范數(shù)T0及其剩余蘊R0:

3)Goguen三角范數(shù)TG0及其剩余蘊涵RG0:

TG0(a,b)=ab,

4)Lukasiewicz三角范數(shù)TL及其剩余蘊涵RL:

TL(a,b)=0∨(a+b-1),

RL(a,b)=1∧(1-a+b)。

定義1.5[25]設TT1,T2是SI×SI→SI上的映射,T1,T2是[0,1]上的三角范數(shù),T1≤T2,對于任意的[a,b],[c,d],∈SI滿足下列條件:

1)TT1,T2([a,b],[c,d])=TT1,T2([c,d],[a,b])；(交換律)

2)TT1,T2(TT1,T2([a,b],[c,d]),[e,f])=TT1,T2([a,b],TT1,T2([c,d],[e,f]))；(結合律)

3)TT1,T2([a,b],[e,f])≤TT1,T2([c,d],[e,f]),其中[a,b]≤[c,d]；(單調性)

4)TT1,T2([1,1],[a,b])=[a,b]。(有界性)稱TT1,T2為SI上的三角范數(shù)。

定義1.6[18]設TT1,T2是SI×SI→SI上的映射,T1,T2是[0,1]上的三角范數(shù),T1≤T2,對于任意的[a,b],[c,d]∈SI,定義:

TT1,T2([a,b],[c,d])=[T1(a,c),T2(b,d)]。

稱TT1,T2為區(qū)間值t-可表示三角范數(shù)。

注1.1如果T1=T2=T,則

TT1,T2([a,b],[c,d])=T([a,b],[c,d])=[T(a,c),T(b,d)]是區(qū)間值可結合三角范數(shù)[1]。

定義1.7如果T1和T2是左連續(xù)三角范數(shù),稱區(qū)間值t-可表示三角范數(shù)TT1,T2是左連續(xù)區(qū)間值三角范數(shù)。

定義1.8[26]映射→:SI×SI→SI稱為區(qū)間值模糊蘊涵,如果滿足下面兩個條件:

1)關于第一個變量單調遞減,關于第二個變量單調遞增；

2)[0,0]→[0,0]=[1,1],[0,0]→[1,1]=[1,1],[1,1]→[1,1]=[1,1],[1,1]→[0,0]=[0,0]。

定義1.9[18]設TT1,T2是區(qū)間值t-可表示三角范數(shù),稱

RT1,T2([a,b],[c,d])=∨{[x,y]∈SI|

TT1,T2([a,b],[x,y]≤[c,d]}

為由左連續(xù)區(qū)間值t-可表示三角范數(shù)TT1,T2誘導的剩余蘊涵。

引理1.2[27]區(qū)間值三角范數(shù)TT1,T2滿足剩余原則當且僅當TT1,T2滿足TT1,T2([x1,y1],supA)=sup{TT1,T2([x1,y1],[x,y])|[x,y]∈A?SI}。

引理1.3[27]設R1和R2是由左連續(xù)三角范數(shù)T1和T2誘導的剩余蘊涵,且有T1≤T2,則由左連續(xù)區(qū)間值t-可表示三角范數(shù)TT1,T2誘導的剩余蘊涵RT1,T2有如下形式:

RT1,T2([a,b],[c,d])=[R1(a,c)∧R2(b,d),R2(b,d)]。

定理1.1區(qū)間值t-可表示三角范數(shù)TT1,T2左連續(xù)的充要條件是TT1,T2滿足剩余原則,即TT1,T2([x,y],[x1,y1])≤[x2,y2]?[x,y]≤RT1,T2([x1,y1],[x2,y2]),并且區(qū)間值剩余蘊涵RT1,T2有如下形式:RT1.T2([a,b],[c,d])=[R1(a,c)∧R2(b,d),R2(b,d)],其中R1和R2是由左連續(xù)三角范數(shù)T1和T2(T1≤T2)誘導的剩余蘊涵。

證明(?)因為TT1,T2滿足剩余原則,由引理1.2得,TT1,T2([x1,y1],sup[x,y])=supTT1,T2([x1,y1],[x,y]),TT1,T2([x1,y1],[supx,supy])=supTT1,T2([x1,y1],[x,y]),[T1(x1,supx),T2(y1,supy)]=sup[T1(x1,x),T2(y1,y)]=[supT1(x1,x),supT2(y1,y)],因此T1(x1,supx)=supT1(x1,x),T2(y1,supy)=supT2(y1,y)。

根據(jù)引理1.1,因為T1和T2是[0,1]上的左連續(xù)三角范數(shù)且有T1≤T2,所以區(qū)間值t-可表示三角范數(shù)TT1,T2是左連續(xù)的。

(?)設區(qū)間值t-可表示三角范數(shù)TT1,T2是左連續(xù)的,則

TT1,T2([x,y],[x1,y1])=[T1(x,x1),T2(y,y1)]≤[x2,y2]

?T1(x,x1)≤x2&T2(y,y1)≤y2&x≤y,x1≤y1,x2≤y2

?x≤R1(x1,x2)&y≤R2(y1,y2)&x≤y≤R2(y1,y2),x1≤y1,x2≤y2

?x≤R1(x1,x2)∧R2(y1,y2)&y≤R2(y1,y2)&x1≤y1,x2≤y2

?[x,y]≤[R1(x1,x2)∧R2(y1,y2),R2(y1,y2)]=RT1,T2([x1,y1],[x2,y2])。

定義1.10[28]對于任意[X,Y]=([x1,y1],[x2,y2],…,[xn,yn]),[X′,Y′]=([x1′,y1′],[x2′,y2′],…,[xn′,yn′])∈SIn,d([X,Y],[X′,Y′])=max{maxi{|xi-xi′|,|yi-yi′|}}叫做Moore距離。

2 基于區(qū)間值t-可表示三角范數(shù)的模糊推理五蘊涵算法

設TT1,T2是區(qū)間值t-可表示三角范數(shù),RT1,T2是由左連續(xù)區(qū)間值t-可表示三角范數(shù)TT1,T2誘導的剩余蘊涵。在本文中,把TT1,T2簡記為T,把RT1,T2簡記為R。

基于區(qū)間值t-可表示三角范數(shù)的五I算法的模型(FMP):

R(R(A(x),B(y)),R(R(A*(x),A(x)),R(A*(x),B*(y))))=[1,1]。

(1)

基于區(qū)間值t-可表示三角范數(shù)的五I算法的模型(FMT):

R(R(A(x),B(y)),R(R(B(y),B*(y)),R(A(x),A*(x))))=[1,1]。

(2)

定義2.1基于區(qū)間值t-可表示三角范數(shù)的五I算法(FMP):設A(x),A*(x)∈SI(X),B(y)∈SI(Y)。令M(x,y)=R(R(A(x),B(y)),R(R(A*(x),A(x)),R(A*(x),[1,1]))),B(A,B,A*)={C(y)∈SI(Y)|R(R(A(x),B(y)),R(R(A*(x),A(x)),R(A*(x),C(y))))=M(x,y),x∈X,y∈Y}。當集合B(A,B,A*)的最小元存在(記做B*(y))時,稱B*(y)為FMP問題的基于區(qū)間值t-可表示三角范數(shù)的五I算法的解。

定義2.2基于區(qū)間值t-可表示三角范數(shù)的五I算法(FMT):設A(x)∈SI(X),B(y),B*(y)∈SI(Y)。令N(x,y)=R(R(A(x),B(y)),R(R(B(y),B*(y)),R(A(x),[1,1]))),A(A,B,B*)={D(x)∈SI(X)|R(R(A(x),B(y)),R(R(B(y),B*(y)),R(A(x),D(x))))=N(x,y),x∈X,y∈Y}。當集合A(A,B,B*)的最小元存在(記做A*(x))時,稱A*(x)為FMT問題的基于區(qū)間值t-可表示三角范數(shù)的五I算法的解。

定理2.1設R是由左連續(xù)區(qū)間值t-可表示三角范數(shù)T誘導的剩余蘊涵,則FMP問題的基于區(qū)間值t-可表示三角范數(shù)的五I算法的解B*(y)為

(3)

證明首先,證明B*(y)是使得等式(1)成立的Y上的區(qū)間值模糊集。由(3)式得:T(R(A(x),B(y)),R(A*(x),A(x)),A*(x))≤B*(y)。由于R是左連續(xù)區(qū)間值t-可表示三角范數(shù)T誘導的剩余蘊涵,由剩余原則可得:T(R(A(x),B(y)),R(A*(x),A(x)))≤R(A*(x),B*(y)),R(A(x),B(y))≤R(R(A*(x),A(x)),R(A*(x),B*(y)))。因此,R(R(A(x),B(y)),R(R(A*(x),A(x)),R(A*(x),B*(y))))=[1,1]。

R(R(A(x),B(y)),R(R(A*(x),A(x)),R(A*(x),C(y))))=[1,1]

當且僅當R(A(x),B(y))≤R(R(A*(x),A(x)),R(A*(x),C(y)))

當且僅當T(R(A(x),B(y)),R(A*(x),A(x)))≤R(A*(x),C(y))

當且僅當T(R(A(x),B(y)),R(A*(x),A(x))A*(x))≤C(y)。

于是對于所有的x,y,B*(y)≤C(y),因此B*(y)是使得等式(1)成立的Y上的最小區(qū)間值模糊集,即B*(y)是FMP問題的基于區(qū)間值t-可表示三角范數(shù)的五I算法的解。

定理2.2設R是左連續(xù)區(qū)間值t-可表示三角范數(shù)T誘導的剩余蘊涵,則FMT問題的基于區(qū)間值t-可表示三角范數(shù)的五I算法的解A*(x)為

(4)

證明首先,證明A*(x)是使得等式(2)成立的X上的區(qū)間值模糊集。由(4)式得:

T(R(A(x),B(y)),R(B(y),B*(y)),A(x))≤A*(x)。因為R是由左連續(xù)區(qū)間值t-可表示三角范數(shù)T誘導的剩余蘊涵,由剩余原則可得:

T(R(A(x),B(y)),R(B(y),B*(y)))≤R(A(x),A*(x)),R(A(x),B(y))≤R(R(B(y),B*(y)),’(A(x),A*(x)))。因此,’(A(x),B(y)),’(B(y),B*(y)),’(A(x),A*(x))))=[1,1]。

其次,證明A*(x)是使得等式(2)成立的X上的最小區(qū)間值模糊集。設D(x)是X上使得等式(2)成立的區(qū)間值模糊集。由剩余原則得:

R(R(A(x),B(y)),R(R(B(y),B*(y)),R(A(x),D(x))))=[1,1]

當且僅當R(A(x),B(y))≤R(R(B(y)B*(y)),R(A(x),D(x)))

當且僅當T(R(A(x),B(y)),R(B(y),B*(y)))≤R(A(x),D(x))

當且僅當T(R(A(x),B(y)),R(B(y),B*(y)),A(x))≤D(x)。

于是對于所有的x,y,A*(x)≤D(x),因此A*(x)是使得等式(2)成立的X上的最小區(qū)間值模糊集,即A*(x)是FMT問題的基于區(qū)間值t-可表示三角范數(shù)的五I算法的解。

命題2.11)如果存在x0∈X使得A(x0)=[1,1],則FMP問題的基于左連續(xù)區(qū)間值t-可表示三角范數(shù)T的五I算法是還原的。

2)如果存在y0∈Y使得B(y0)=[1,1],則FMT問題的基于左連續(xù)區(qū)間值t-可表示三角范數(shù)T的五I算法是還原的。

證明1)假設A*(x)=A(x)并且存在x0∈X使得A(x0)=[1,1],則

≥T(R(A(x0),B(y)),R(A*(x0),A(x0)),A*(x0))

=T(R([1,1],B(y)),R([1,1],[1,1]),[1,1])

=B(y)。

即B(y)≥B*(y)≥B(y),因此B*(y)=B(y),因此FMP問題的基于左連續(xù)區(qū)間值t-可表示三角范數(shù)T的五I算法是還原的。

A(x)≥A*(x)

≥T(R(A(x),B(y0)),R(B(y0),B*(y0)),A(x))

=T(R(A(x),[1,1]),R([1,1],[1,1]),A(x))

=A(x)。

即A(x)≥A*(x)≥A(x),因此A*(x)=A(x),因此FMT問題的基于左連續(xù)區(qū)間值t-可表示三角范數(shù)T的五I算法是還原的。

3 基于區(qū)間值t-可表示三角范數(shù)的模糊推理五蘊涵算法的魯棒性

定義3.1[12]設f是從SIn到SI的n-元映射,ε∈[0,1]。對于任意的[x,y]=([x1,y1],

[x2,y2],…,[xn,yn]∈SIn,函數(shù)f在點[x,y]處的ε-靈敏度為：

Δf([x,y],ε)=∨{d(f([x,y]),f([x′,y′]))|[x′,y′]∈SIn,dn([x,y],[x′,y′])≤ε},其中,

定義3.2[12]函數(shù)f的ε最大靈敏度為

定義3.3[12]設f和f′是兩個n-元區(qū)間值模糊連接詞。如果對任意的ε>0,Δf(ε)≤Δf′(ε),則稱f至少比f′魯棒。進一步,如果存在ε>0使得Δf(ε)≤Δf′(ε),則f比f′魯棒。

引理3.1[12]區(qū)間值G?del三角范數(shù)TG是最魯棒的區(qū)間值三角范數(shù),且ΔTG(ε)=ε。

引理3.2[12]區(qū)間值Lukasiewicz蘊涵RL是區(qū)間值上最魯棒的剩余蘊涵,且ΔRL(ε)=2ε∧1。

ΔB*(ε)=‖B*-B′*‖∞≤ΔT(ΔT(ΔR(ε)))。

證明

ΔB*(ε)=‖B*-B′*‖∞

≤ΔT(ΔT(ΔR(ε))∨ε)。

由引理3.1、引理3.2得:ΔR(ε)≥2ε∧1>ε,所以ΔT(ΔR(ε))≥ΔR(ε)>ε,即

ΔT(ΔR(ε))∨ε=ΔT(ΔR(ε))。因此

ΔB*(ε)=‖B*-B′*‖∞≤ΔT(ΔT(ΔR(ε)))。

ΔA*(ε)=‖A*-A′*‖∞≤ΔT(ΔT(ΔR(ε)))。

證明

ΔA*(ε)=‖A*-A′*‖∞

R(B′(y),B′*(y)),A′(x)))

≤ΔT(ΔT(ΔR(ε))∨ε)。

由引理3.1、引理3.2得:ΔR(ε)≥2ε∧1>ε,所以ΔT(ΔR(ε))≥ΔR(ε)>ε,即

ΔT(ΔR(ε))∨ε=ΔT(ΔR(ε))。因此ΔA*(ε)=‖A*-A′*‖∞≤ΔT(ΔT(ΔR(ε)))。

4 模式識別中的應用

因為區(qū)間值模糊集和直覺模糊集是等價的,因此,給出基于直覺模糊集的以下定義,類似的,給出基于區(qū)間值模糊集的相關定義。

定義4.1[29]設αi=[μαi,ναi](i=1,2,…,n)是一個直覺模糊集.如果

注4.1設Ai=[Ail,Air](i=1,2,…,n)是一個區(qū)間值模糊集。如果

定義4.2[30]設α=[μα,να]和β=[μβ,νβ]是兩個直覺模糊集,α和β的分數(shù)函數(shù)分別定義為s(α)=μα-να和s(β)=μβ-νβ；α和β的精確函數(shù)分別定義為h(α)=μα+να和h(β)=μβ+νβ。

1)如果s(α)

2)如果s(α)=s(β),則

a)如果h(α)=h(β),則α等于β,記為α=β；

b)如果h(α)

注4.2設A=[a,b]和B=[c,d]是兩個區(qū)間值模糊集,A和B的分數(shù)函數(shù)分別定義為s(A)=a+b-1和s(B)=c+d-1；A和B的精確函數(shù)分別定義為h(A)=a-b+1和h(B)=c-d+1。

1)如果s(A)

2)如果s(A)=s(B),則

a)如果h(A)=h(B),則A等于B,記為A=B；

b)如果h(A)

4.1 模式識別算法

設Y={y1,y2,…,yn}是一個模式集,X={x1,x2,…,xm}是一個屬性集,Ai(xj)是屬性xj對于模式y(tǒng)i(i=1,2,…,n,j=1,2,…,m)的值,A*(xj)是屬性xj對于樣本S的值,B(yi)是模式的值,表1是模式屬性統(tǒng)計數(shù)據(jù),表2是樣本屬性統(tǒng)計數(shù)據(jù)。方法如下：

表1 模式屬性統(tǒng)計數(shù)據(jù)Table 1 Statistic data of the attribute and the pattern

表2 樣本屬性統(tǒng)計數(shù)據(jù)Table 2 Statistic data of the attribute and the sample

第一步:用區(qū)間值模糊加權平均算子IVFWA(注4.1)分別聚合Ai(xj)和A*(xj)

(j=1,2,…,m),記為Ai和A*；

第二步:計算區(qū)間值剩余蘊涵R(Ai,B(yi))(i=1,2,…,n)；

第三步:計算區(qū)間值剩余蘊涵R(A*,Ai)(i=1,2,…,n)；

第四步:計算左連續(xù)區(qū)間值t-可表示三角范數(shù)T(R(Ai,B(yi)),R(A*,Ai),A*),則我們能得到B*(yi)(i=1,2,…,n)的值；

第五步:對B*(yi)的值進行排序(注4.2),選擇最大值B*(yi0),則這個樣本屬于模式y(tǒng)i0。

4.2 醫(yī)療診斷中的應用

例4.1設Y={y1,y2,y3,y4,y5}是五種疾病,其中yi(i=1,2,3,4,5)分別代表“病毒性發(fā)熱”,“瘧疾”,“傷寒”,“胸部問題”和“胃病”。設X={x1,x2,x3,x4,x5}是五種臨床癥狀,其中xj(j=1,2,3,4,5)代表“體溫”,“頭疼”,“咳嗽”,“胸痛”和“胃疼”。設B(yi)是疾病的值。表3給出了疾病癥狀和病人癥狀統(tǒng)計數(shù)據(jù)。令

表3 疾病癥狀和病人癥狀統(tǒng)計數(shù)據(jù)Table 3 Statistic data of the diagnoses

注：①為病毒性發(fā)熱,②為瘧疾,③為傷寒,④為胸部問題,⑤為胃病。

B(y1)=[0.20,0.40],

B(y2)=[0.30,0.60],

B(y3)=[0.35,0.66],

B(y4)=[0.30,0.60]，

B(y5)=[0.70,0.80]。

我們使用上面的方法來判斷病人Q患哪種疾病。

設R1是左連續(xù)Lukasiewicz三角范數(shù)T1誘導的剩余蘊涵,R2是左連續(xù)G?del三角范數(shù)T2誘導的剩余蘊涵。設

T([a,b],[c,d])=[T1(a,c),T2(b,d)],其中T1(a,c)=TL(a,c),T2(b,d)=TG(b,d),則:

第一步:令ωi=1/5,(i=1,2,3,4,5)。用區(qū)間值模糊加權平均算子IVFWA(注4.1)分別聚合Ai(xj)和A*(xj)(j=1,2,3,4,5),記為Ai和A*,則:

A1=[0.59,0.69],A2=[0.61,0.76],

A3=[0.65,0.78],A4=[0.60,0.74],

A5=[0.64,0.78],A*=[0.72,0.82]；

第二步:計算區(qū)間值剩余蘊涵R(Ai,

B(yi))(i=1,2,…,n):

R(A1,B(y1))=[0.91,1.00],R(A2,B(y2))=[0.70,0.70],

R(A3,B(y3))=[0.75,0.75],

R(A4,B(y4))=[0.95,1.00],

R(A5,B(y5))=[1.00,1.00];

第三步:計算區(qū)間值剩余蘊R(A*,Ai)

(i=1,2,3,4,5):

R(A*,A1)=[0.69,0.69],

R(A*,A2)=[0.76,0.76],

R(A*,A3)=[0.78,0.78],

R(A*,A4)=[0.74,0.74],

R(A*,A5)=[0.78,0.78]；

第四步:計算左連續(xù)區(qū)間值t-可表示三角范數(shù)T(R(Ai,B(yi)),R(A*,Ai),A*),則我們能得到B*(yi)(i=1,2,3,4,5)的值:

B*(y1)=[0.32,0.69],

B*(y2)=[0.18,0.70],

B*(y3)=[0.25,0.75],

B*(y4)=[0.41,0.74],

B*(y5)=[0.50,0.78]；

第五步:對B*(yi)的值進行排序(注4.2):B*(y5)>B*(y4)>B*(y1)>B*(y3)>B*(y2),

B*(y5)為最大值,所以病人Q患的病為胃病(y5)。

4.3 模式識別中的應用

例4.2設Y={y1,y2,y3}是模式集,X={x1,x2,x3}是屬性集,Ai(xj)是屬性xj對于模式y(tǒng)i(i=1,2,3,j=1,2,3)的值,A*(xj)是屬性xj對于樣本S的值。設B(yi)是模式的值。

B(y1)=[0.20,0.30],

B(y2)=[0.50,0.70],

B(y3)=[0.50,0.80]。

表4給出了模式屬性和樣本屬性統(tǒng)計數(shù)據(jù)。我們使用以上方法判斷樣本S屬于哪個模式。

表4 模式屬性和樣本屬性統(tǒng)計數(shù)據(jù)Table 4 Statistic data of the pattern and the sample

設R1是左連續(xù)Lukasiewicz三角范數(shù)T1誘導的剩余蘊涵,R2是左連續(xù)G?del三角范數(shù)T2誘導的剩余蘊涵。設

T([a,b],[c,d])=[T1(a,c),T2(b,d)],其中T1(a,c)=TL(a,c),T2(b,d)=TG(b,d),則:

第一步:令ωi=1/3,(i=1,2,3)。用區(qū)間值模糊加權平均算子IVFWA(注4.1)分別聚合Ai(xj)和A*(xj)(j=1,2,3),記為Ai和A*,則:

A1=[0.30,0.40],A2=[0.50,0.70],

A3=[0.57,0.73],A*=[0.50,0.70]；

第二步:計算區(qū)間值剩余蘊涵R(Ai,B(yi))(i=1,2,3)：

R(A1,B(y1))=[0.30,0.30],

R(A2,B(y2))=[1.00,1.00],

R(A3,B(y3))=[0.93,1.00]；

第三步:計算區(qū)間值剩余蘊涵R(A*,Ai)(i=1,2,3):

R(A*,A1)=[0.40,0.40],

R(A*,A2)=[1.00,1.00],

R(A*,A3)=[1.00,1.00]；

第四步:計算左連續(xù)區(qū)間值t-可表示三角范數(shù)T(R(Ai,B(yi)),R(A*,Ai),A*),則我們能得到B*(yi)(i=1,2,3)的值:

B*(y1)=[0.00,0.30],B*(y2)=[0.50,0.70],

B*(y3)=[0.43,0.70]；

第五步:對B*(yi)的值進行排序(注4.2):B*(y2)>B*(y3)>B*(y1),B*(y2)為最大值,所以樣本S屬于模式y(tǒng)2。

5 結 語

本文給出基于區(qū)間值t-可表示三角范數(shù)TT1,T2的模糊推理五蘊涵算法,文獻[15]中的區(qū)間值模糊推理五蘊涵算法是其特殊情形。討論了算法的還原性和魯棒性,并將其應用于模式識別問題。