周成偉 鄭 航 顧宇杰 王 勇 史治國*

①(浙江大學(xué)控制科學(xué)與工程學(xué)院 杭州 310027)

②(浙江大學(xué)信息與電子工程學(xué)院 杭州 310027)

③(天普大學(xué)電子與計(jì)算機(jī)工程系 費(fèi)城 19122)

1 引言

陣列信號處理通過布設(shè)的傳感器陣列對空域信號進(jìn)行采樣和處理，以提取信號特征及其信息，在雷達(dá)、聲吶、語音、天文成像、無線通信等領(lǐng)域均有著廣泛的應(yīng)用。波達(dá)方向估計(jì)和波束成形是陣列信號處理領(lǐng)域的基本問題，在理論、技術(shù)和應(yīng)用層面均受到研究人員的廣泛關(guān)注。

以雷達(dá)領(lǐng)域?yàn)槔?，陣列信號處理在相控陣?yán)走_(dá)、多輸入多輸出(Multiple Input Multiple Output,MIMO)雷達(dá)、機(jī)載雷達(dá)等各類應(yīng)用中發(fā)揮著重要的作用，雷達(dá)技術(shù)的發(fā)展與陣列信號處理理論與技術(shù)的研究相輔相成、互相促進(jìn)。舉例而言，近幾十年間，相控陣在雷達(dá)系統(tǒng)中逐步推廣應(yīng)用，它通過大量可獨(dú)立控制的天線單元排列成天線陣面，并利用各單元形成不同的相位波束，在空間中輻射出具有不同方向性的波束[1]。相控陣具備電子掃描特性和相位可控的陣列天線結(jié)構(gòu)，具有快速波束掃描的能力，能夠同時對多個目標(biāo)進(jìn)行搜尋和跟蹤[2]。通過在相控陣?yán)走_(dá)體制的基礎(chǔ)上結(jié)合數(shù)字波束成形(digital beamforming)技術(shù)[3]，數(shù)字陣列雷達(dá)(digital array radar)實(shí)現(xiàn)了雷達(dá)系統(tǒng)的高效化運(yùn)作[4]；與此同時，為了獲取相控陣?yán)走_(dá)信號的角度和多普勒頻率聯(lián)合估計(jì)[5,6]，空域參數(shù)估計(jì)方面形成了一系列高精度算法，包括2維多重信號分類(MUltiple SIgnal Classification,MUSIC)方法[7]、2維子空間旋轉(zhuǎn)不變(Estimation of Signal Parameters via Rotational Invariance Techniques,ESPRIT)方法[8]以及應(yīng)用于機(jī)載相控陣脈沖多普勒雷達(dá)中的基于分?jǐn)?shù)低階矩方法[9]。相較于通過多個天線陣元發(fā)射相同波形的相控陣?yán)走_(dá)，空間分集思想的引入使得能夠通過多天線陣元發(fā)射多種信號波形的MIMO雷達(dá)開始興起[10]。MIMO雷達(dá)利用多天線陣元結(jié)構(gòu)同步發(fā)射分集波形，并同時使用多個天線接收回波信號進(jìn)行收發(fā)信號的集中處理[11]，在目標(biāo)檢測、參數(shù)估計(jì)和識別、分辨能力等方面均具有明顯優(yōu)勢[12–14]。為了在MIMO雷達(dá)中實(shí)現(xiàn)精確的目標(biāo)方位識別，相關(guān)研究形成了基于ESPRIT方法的雙基地MIMO雷達(dá)系統(tǒng)到達(dá)角和離開角聯(lián)合估計(jì)[15]，基于張量模型的雙基地MIMO雷達(dá)角度估計(jì)和陣列互耦自校準(zhǔn)方法[16,17]，基于車載MIMO雷達(dá)的低復(fù)雜度高分辨參數(shù)估計(jì)[18]，基于分布式MIMO雷達(dá)的移動目標(biāo)和天線聯(lián)動定位[19]，面向MIMO雷達(dá)中波形非正交化情況下的新型波達(dá)方向估計(jì)[20,21]，以及MIMO雷達(dá)在存在未知空間有色噪聲及陣列誤差等非理想場景下的魯棒參數(shù)估計(jì)[22–25]等一系列理論與技術(shù)應(yīng)用。相控陣?yán)走_(dá)和MIMO雷達(dá)作為經(jīng)典的雷達(dá)體制，在包括車載雷達(dá)、機(jī)載雷達(dá)、星載雷達(dá)等在內(nèi)的諸多場景中得到了廣泛的推廣應(yīng)用。其中，機(jī)載雷達(dá)通常采用空時自適應(yīng)處理(Space-Time Adaptive Processing,STAP)技術(shù)檢測低空運(yùn)動目標(biāo)并抑制環(huán)境雜波[26–28]。STAP方法通過空域和時域二維聯(lián)合自適應(yīng)濾波以實(shí)現(xiàn)雜波的有效過濾，典型研究包括基于STAP的無人機(jī)載雷達(dá)運(yùn)動物體檢測[29]，基于稀疏字典原子選擇方法[30]，基于子陣列柵瓣雜波抑制方法[31]的機(jī)載MIMO雷達(dá)STAP算法，以及基于STAP的離網(wǎng)型角度/多普勒頻率聯(lián)合估計(jì)方法[32]。

無論是相控陣?yán)走_(dá)、MIMO雷達(dá)還是機(jī)載雷達(dá)，其共同特點(diǎn)是基于傳感器陣列天線，并利用陣列信號處理方法實(shí)現(xiàn)目標(biāo)檢測、方位估計(jì)及跟蹤等一系列功能。出于規(guī)則性陣列結(jié)構(gòu)和奈奎斯特采樣速率的限制，均勻陣列是傳統(tǒng)雷達(dá)系統(tǒng)中最為常用的天線陣列結(jié)構(gòu)。然而，為了滿足奈奎斯特采樣定理，均勻陣列中相鄰天線陣元的間距需不大于半波長，故陣列孔徑相對受限；此外，采用均勻陣列的方法自由度受限于天線陣元個數(shù)，無法在信號源數(shù)目大于天線陣元個數(shù)的條件下進(jìn)行有效的信號處理。若通過增加天線陣元個數(shù)的方式來獲取更大的陣列孔徑和更高的自由度，實(shí)際系統(tǒng)的部署成本和算法復(fù)雜度將隨之大幅增加。因此，隨著應(yīng)用背景的革新和雷達(dá)技術(shù)的迅猛發(fā)展，均勻陣列已逐漸無法滿足當(dāng)前雷達(dá)領(lǐng)域應(yīng)用日益增長的高效性和準(zhǔn)確性等需求，傳統(tǒng)方法在性能和成本方面的矛盾亟待解決。

為了克服上述挑戰(zhàn)，美國加州理工學(xué)院課題組于2011年在文獻(xiàn)[33]中首次提出了互質(zhì)采樣的構(gòu)想和互質(zhì)陣列的結(jié)構(gòu)，奠定了互質(zhì)陣列信號處理的理論基礎(chǔ)。互質(zhì)陣列是一種具有系統(tǒng)化結(jié)構(gòu)的稀疏陣列，由一對陣元數(shù)滿足互質(zhì)條件的稀疏均勻線性陣列構(gòu)成?；ベ|(zhì)陣列相較于傳統(tǒng)均勻陣列，主要具備3方面優(yōu)勢：一是互質(zhì)陣列的稀疏陣元排布能夠?qū)崿F(xiàn)入射信號的欠采樣，從而突破奈奎斯特定理對天線陣元間距的限制；二是陣列孔徑的擴(kuò)展能夠有效提升分辨率性能；三是互質(zhì)陣列能夠獲得遠(yuǎn)超其物理陣元個數(shù)的自由度[33]，使得算法所能識別的信源數(shù)突破天線陣元數(shù)目的限制，從而節(jié)約了系統(tǒng)軟硬件成本開銷。為了充分利用互質(zhì)陣列的上述優(yōu)勢以深入推進(jìn)其在雷達(dá)系統(tǒng)中的應(yīng)用，互質(zhì)陣列的非均勻性及其信號模型的匹配問題亟待解決；為此，面向互質(zhì)陣列的陣列信號處理理論與技術(shù)在近年來得到了廣泛的關(guān)注和研究。

本文介紹了當(dāng)前互質(zhì)陣列信號處理領(lǐng)域的研究進(jìn)展，分別從波達(dá)方向估計(jì)和自適應(yīng)波束成形角度回顧了最新研究工作。具體而言，在互質(zhì)陣列波達(dá)方向估計(jì)方面，本文介紹了基于互質(zhì)子陣分解和虛擬陣列信號處理等兩大類典型技術(shù)路線。其中，互質(zhì)子陣分解方法通過探索稀疏陣列相位模糊的規(guī)則性，并利用質(zhì)數(shù)的性質(zhì)實(shí)現(xiàn)信號源的唯一性波達(dá)方向估計(jì)；虛擬陣列信號處理方法則利用增廣虛擬陣列所對應(yīng)的2階等價信號統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行處理，相比于互質(zhì)子陣分解方法具有更大的自由度。進(jìn)一步地，本文分別從低復(fù)雜度和超分辨估計(jì)的角度介紹了互質(zhì)陣列波達(dá)方向估計(jì)的最新研究：考慮到計(jì)算復(fù)雜度對于系統(tǒng)的實(shí)時性需求，本文介紹了基于壓縮感知技術(shù)的互質(zhì)陣列波達(dá)方向估計(jì)算法；另一方面，由于早期的虛擬域奈奎斯特匹配方法未充分利用增廣虛擬陣列的信息，且存在基不匹配所導(dǎo)致的估計(jì)準(zhǔn)確度受限問題，本文介紹了基于虛擬域陣元內(nèi)插和無網(wǎng)格化技術(shù)的互質(zhì)陣列波達(dá)方向估計(jì)算法。在互質(zhì)陣列波束成形方面，本文在介紹互質(zhì)陣列波束成形信號建模與工作原理的同時，指出了互質(zhì)陣列信號處理框架下波束成形問題與波達(dá)方向估計(jì)問題的本質(zhì)區(qū)別，并提出了面向非均勻互質(zhì)陣列的波束成形器設(shè)計(jì)框架?；谏鲜隹蚣?，基于互質(zhì)子陣分解的波達(dá)方向估計(jì)和基于互質(zhì)子陣協(xié)方差矩陣聯(lián)合優(yōu)化的功率估計(jì)方法被提出，用于重建干擾加噪聲協(xié)方差矩陣和期望信號導(dǎo)引向量，并以此構(gòu)造互質(zhì)陣列波束成形器的權(quán)重向量。最后，本文對互質(zhì)陣列信號處理方向的現(xiàn)有研究工作進(jìn)行了總結(jié)，并從互質(zhì)陣列結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)、互質(zhì)陣列MIMO雷達(dá)以及非理想場景下的互質(zhì)陣列魯棒參數(shù)估計(jì)等方向提出了研究展望。

2 互質(zhì)陣列信號建模

在介紹互質(zhì)陣列波達(dá)方向估計(jì)和互質(zhì)陣列波束成形的研究之前，本文首先介紹互質(zhì)陣列的結(jié)構(gòu)及其信號模型，作為后續(xù)算法設(shè)計(jì)的模型基礎(chǔ)?；ベ|(zhì)陣列由如圖1(a)所示的一對滿足互質(zhì)條件的稀疏均勻線性子陣列構(gòu)成，子陣列的陣元數(shù)分別為M和N，且陣元間距分別為Nd和Md。其中，M和N為互質(zhì)整數(shù)，單位間隔d取為半波長。將上述兩個互質(zhì)子陣以首個陣元疊加的方式進(jìn)行線性組合，如圖1(b)所示，除首個陣元外的其余陣元均不重疊[33]，故互質(zhì)陣列共包含M+N-1個陣元，各陣元位置的數(shù)集形式可表示為

考慮空間中有K個方向?yàn)棣萲，k=1,2,···,K的非相關(guān)信號源入射至互質(zhì)陣列 S上，則t時刻的互質(zhì)陣列接收信號可建模為

圖1 互質(zhì)陣列結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 Illustration of the coprime array structure

其中，AS=[a(θ1),a(θ2),···,a(θK)]∈C(M+N-1)×K為互質(zhì)陣列導(dǎo)引矩陣，s(t)=[s1(t),s2(t),···,sK(t)]T為信號波形向量，n(t)為加性高斯白噪聲分量，[·]T表示轉(zhuǎn)置操作。對應(yīng)于第k個入射信號的互質(zhì)陣列導(dǎo)引向量a(θk)可表示為

其中，λ為信號波長，u? ∈S,?=1,2,···,M+N-1為互質(zhì)陣列中各物理陣元的實(shí)際位置，?；ベ|(zhì)陣列接收信號的協(xié)方差矩陣定義為

與均勻陣列相比，互質(zhì)陣列中的天線陣元被稀疏放置，因而極大地增大了陣列孔徑，減少了陣元之間的互耦效應(yīng)，進(jìn)而為估計(jì)準(zhǔn)確度和分辨率性能的提升奠定了基礎(chǔ)?；ベ|(zhì)陣列具有系統(tǒng)化的稀疏陣列結(jié)構(gòu)，在陣列設(shè)計(jì)的過程中，只需給定互質(zhì)整數(shù)M和N就可以得到陣列架構(gòu)，不需要通過復(fù)雜的優(yōu)化問題求解或遍歷搜索來確定陣列結(jié)構(gòu)。同時，通過對陣列接收信號x(t)的2階統(tǒng)計(jì)量RS進(jìn)行向量化處理與建模，可將互質(zhì)陣列信號模型擴(kuò)展至虛擬域?qū)崿F(xiàn)陣列的增廣，并利用對應(yīng)的2階等價接收信號進(jìn)行虛擬域信號處理。虛擬域信號處理能夠有效擺脫傳統(tǒng)方法自由度受物理陣元個數(shù)的限制，僅通過M+N-1個天線陣元即可獲得高達(dá)O(MN)的自由度[33]。而與此同時，互質(zhì)陣列本身的非均勻性不容忽視，故基于互質(zhì)陣列的波達(dá)方向估計(jì)和波束成形方法需要充分考慮陣列本身的物理結(jié)構(gòu)特征及其接收信號模型。

3 互質(zhì)陣列波達(dá)方向估計(jì)

波達(dá)方向估計(jì)通過對陣列接收信號的統(tǒng)計(jì)處理實(shí)現(xiàn)入射信源相對方位角的估計(jì)，是雷達(dá)領(lǐng)域各類應(yīng)用中的重要任務(wù)之一，也一直是國內(nèi)外學(xué)術(shù)界、工業(yè)界研究的熱點(diǎn)問題[34–36]。當(dāng)前，互質(zhì)陣列波達(dá)方向估計(jì)的算法設(shè)計(jì)可分為互質(zhì)子陣分解和虛擬陣列信號處理等兩類方法。其中，互質(zhì)子陣分解方法具有計(jì)算復(fù)雜度低、估計(jì)精度高等優(yōu)勢，而虛擬陣列信號處理方法能夠在充分利用互質(zhì)陣列大孔徑所帶來的分辨率優(yōu)勢的同時，突破奈奎斯特采樣定理的限制，實(shí)現(xiàn)波達(dá)方向估計(jì)自由度的增加。

3.1 基于互質(zhì)子陣分解的波達(dá)方向估計(jì)

互質(zhì)子陣分解方法的思路是將互質(zhì)陣列分解為兩個滿足互質(zhì)條件的稀疏均勻子陣列以分別進(jìn)行波達(dá)方向估計(jì)，并利用質(zhì)數(shù)的特性分析相位模糊的規(guī)律性，以獲得對應(yīng)于每一個信號源的唯一波達(dá)方向估計(jì)結(jié)果[37]。在文獻(xiàn)[37]提出的“DECOM”算法中，傳統(tǒng)的MUSIC思想被分別應(yīng)用到一對互質(zhì)稀疏均勻子陣列所對應(yīng)的信號模型中，并通過譜峰搜索對生成的兩個MUSIC譜分別進(jìn)行搜索。由于稀疏子陣列的陣元間距大于半波長，波達(dá)方向估計(jì)存在相位模糊，圖2給出了M=7和N=5條件下兩個子陣MUSIC空間譜的相位模糊示意圖。

圖2 互質(zhì)子陣列的MUSIC空間譜相位模糊示意圖Fig.2 Phase ambiguity of the pair of coprime subarray in the MUSIC spatial spectrum

由于這對稀疏均勻子陣列滿足互質(zhì)的條件，其所對應(yīng)的相位模糊具有一定的規(guī)律性。具體而言，對陣元數(shù)目為M的稀疏均勻子陣列，通過譜峰搜索可得到N個估計(jì)結(jié)果，從第k個信源得到的真實(shí)角度θk和相位模糊角度之間存在如式(5)所示關(guān)系

其中，D為非0整數(shù)。N個波達(dá)方向估計(jì)結(jié)果中除包含一個對應(yīng)于真實(shí)波達(dá)方向的估計(jì)結(jié)果之外，還存在其他N-1個相位模糊角度；相應(yīng)地，對于陣元數(shù)目為N的稀疏均勻子陣列，其相位模糊角度的規(guī)律性與上述結(jié)論類似。文獻(xiàn)[37]指出，在兩個稀疏均勻子陣列分別獲得的波達(dá)方向估計(jì)結(jié)果中，有且僅有一個相同的結(jié)果，即真實(shí)的互質(zhì)陣列波達(dá)方向估計(jì)結(jié)果。上述結(jié)論可利用質(zhì)數(shù)的性質(zhì)予以證明：假設(shè)除以外，還存在一個在兩個子陣列分別獲得的波達(dá)方向估計(jì)結(jié)果中是相同的，則陣元數(shù)目為M的子陣列滿足關(guān)系為

其中，。類似地，對陣元數(shù)目為N的子陣列，存在關(guān)系DM=-(N-1),-(N-2),···,-1,1,···,N-2,N-1

其中，DN=-(M-1),-(M-2),···,-1,1,···,M-2,M-1，則DM/N=DN/M。由于M與N為互質(zhì)整數(shù)，無法找到滿足上述等價條件的參數(shù)對{DM,DN}，故不存在，為唯一的波達(dá)方向估計(jì)結(jié)果。在實(shí)際應(yīng)用中，由于存在噪聲等外部因素的干擾，在兩個子陣所對應(yīng)MUSIC空間譜中所對應(yīng)的值并非一致；為此，可通過尋找兩個空間譜中最為接近的兩個峰值，并將其所對應(yīng)的角度求平均以獲得唯一的互質(zhì)陣列波達(dá)方向估計(jì)結(jié)果。

上述互質(zhì)子陣分解方法雖然克服了相位模糊問題并有效降低了軟硬件開銷，但是，DECOM算法作為傳統(tǒng)MUSIC方法在互質(zhì)陣列上的衍生與應(yīng)用，最終的角度估計(jì)精度仍然取決于譜峰搜索的間距，且子陣列分解帶來的互信息損失也會在一定程度上降低波達(dá)方向估計(jì)的效果；此外，由于該方法將互質(zhì)陣列分解成兩個子陣單獨(dú)進(jìn)行計(jì)算，可辨識的目標(biāo)數(shù)與傳統(tǒng)均勻陣列相比將減少至少1/2以上。基于上述互質(zhì)子陣分解的技術(shù)思想，文獻(xiàn)[38]提出了一種通過局部譜搜索代替全局譜搜索的方法，進(jìn)一步降低了計(jì)算復(fù)雜度；與此同時，應(yīng)用Root-MUSIC和ESPRIT等方法形成的閉式解可有效避免譜峰搜索過程帶來的精度受限問題[38–40]；文獻(xiàn)[41]提出的快速波達(dá)方向估計(jì)方法在保證自由度性能的前提下，進(jìn)一步減少互質(zhì)陣列的物理陣元個數(shù)，擴(kuò)大了陣列孔徑，提高了估計(jì)精度。此外，為了提升子陣分解方法的自由度性能，通過對子陣列空間譜進(jìn)行聯(lián)合計(jì)算，同時利用了兩個子陣的自信息和互信息，可以有效解決互信息損失問題，從而實(shí)現(xiàn)子陣列分解技術(shù)框架下自由度無損的波達(dá)方向估計(jì)[42,43]。

互質(zhì)子陣分解算法遵循將互質(zhì)稀疏均勻子陣和傳統(tǒng)均勻陣列波達(dá)方向估計(jì)方法相結(jié)合的思路，通過質(zhì)數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用實(shí)現(xiàn)波達(dá)方向的有效估計(jì)。得益于互質(zhì)陣列的稀疏結(jié)構(gòu)特性，該類方法在分辨率和計(jì)算復(fù)雜度方面優(yōu)于傳統(tǒng)采用均勻陣列的波達(dá)方向估計(jì)算法，實(shí)現(xiàn)方法簡單、易操作，適用于目標(biāo)數(shù)量有限且對估計(jì)精確度要求較高的應(yīng)用場景。

3.2 基于虛擬陣列信號處理的互質(zhì)陣列波達(dá)方向估計(jì)

虛擬陣列信號處理方法通過計(jì)算互質(zhì)陣列差集數(shù)組(difference coarray)在虛擬域上形成一個增廣虛擬陣列，并利用其2階等價虛擬域信號的處理，實(shí)現(xiàn)面向互質(zhì)陣列的有效波達(dá)方向估計(jì)。由于虛擬陣元個數(shù)大于物理陣元個數(shù)，基于虛擬陣列信號處理的方法在算法自由度性能方面有顯著的提升。其中，虛擬域奈奎斯特匹配方法通過在虛擬域中引入傳統(tǒng)用于均勻陣列的空間平滑和多重信號分類技術(shù)，在提升自由度的同時實(shí)現(xiàn)超分辨波達(dá)方向估計(jì)；基于稀疏恢復(fù)(sparse recovery)的方法通過對虛擬域統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行空間域過完備表示，并通過稀疏條件約束下的優(yōu)化重建，實(shí)現(xiàn)自由度增加的波達(dá)方向估計(jì)；基于虛擬陣列協(xié)方差矩陣稀疏重建的方法在前述方法的基礎(chǔ)上，對入射信號的波達(dá)方向、功率和信源數(shù)等重要參數(shù)實(shí)現(xiàn)全面而精確的估計(jì)。

3.2.1 虛擬域奈奎斯特匹配和稀疏恢復(fù)方法

文獻(xiàn)[44]提出的虛擬域奈奎斯特匹配方法，通過推導(dǎo)增廣虛擬均勻陣列結(jié)構(gòu)和對應(yīng)的等價虛擬域信號模型，引入空間平滑技術(shù)和虛擬域多重信號分類處理，得到超分辨的波達(dá)方向估計(jì)結(jié)果。相較于上述互質(zhì)子陣列分解方法，該方法不需要對互質(zhì)陣列進(jìn)行分解，故估計(jì)結(jié)果不存在因稀疏子陣列而帶來的相位模糊問題；同時，由于利用了對應(yīng)于增廣虛擬陣列的虛擬域信號處理，算法的自由度性能得到了顯著的提升。

在該方法中，互質(zhì)陣列 S通過差集數(shù)組計(jì)算的方式被推導(dǎo)至一個增廣虛擬陣列 V，該虛擬陣列可表示為

為了克服非連續(xù)虛擬陣列對于傳統(tǒng)奈奎斯特方法造成的信號模型失配問題，文獻(xiàn)[44]采用包含2M+N-1個物理陣元的擴(kuò)展互質(zhì)陣列，該擴(kuò)展互質(zhì)陣列的差集數(shù)組可表示為

該數(shù)組中包含了一個虛擬陣元位置由-MNd到MNd的連續(xù)子集，意味著物理陣元個數(shù)為2M+N-1的擴(kuò)展互質(zhì)陣列可以獲得2MN+1的自由度。根據(jù)式(2)和式(4)的定義，對于空間中K個來自θ=[θ1,θ2,···,θK]T方向的遠(yuǎn)場非相關(guān)窄帶信號，得到互質(zhì)陣列在t時刻的接收信號x(t)及協(xié)方差矩陣RS。通過向量化陣列接收信號的協(xié)方差矩陣RS，推導(dǎo)出實(shí)際接收信號x(t)與構(gòu)造的虛擬陣列等價信號z之間的數(shù)學(xué)映射關(guān)系

其中，Ri為第i個虛擬子陣列所對應(yīng)的協(xié)方差矩陣。最后，將傳統(tǒng)多重信號分類方法應(yīng)用于空間平滑后得到虛擬域協(xié)方差矩陣，通過在虛擬域匹配奈奎斯特方法實(shí)現(xiàn)精確的波達(dá)方向估計(jì)。在類似的框架之下，通過改用結(jié)合Root-MUSIC,ESPRIT等其他子空間類算法，可以避免獲取角度結(jié)果時的譜峰搜索過程[45,46]。

虛擬域奈奎斯特匹配方法通過建立互質(zhì)陣列接收信號1階統(tǒng)計(jì)量和增廣虛擬陣列2階等價信號之間的關(guān)系，利用空間平滑方法得到增廣虛擬陣列所對應(yīng)的滿秩協(xié)方差矩陣，并結(jié)合多重信號分類處理實(shí)現(xiàn)互質(zhì)陣列超分辨波達(dá)方向估計(jì)，大幅度地提升了算法自由度。然而，在該方法中，空間平滑方法將導(dǎo)致虛擬陣列孔徑的減小，并且非連續(xù)部分的虛擬陣元在平滑過程中會被忽略，增廣虛擬陣列的信息沒有得到充分利用。相對應(yīng)地，基于稀疏恢復(fù)(sparse recovery)思想的虛擬域陣列信號稀疏重建(Sparse Signal Reconstruction,SSR)算法[47–52]在稀疏約束條件下，對過完備基表示的空間功率譜進(jìn)行優(yōu)化重建以實(shí)現(xiàn)波達(dá)方向的估計(jì)，因該方法不需要一個對應(yīng)于均勻線性陣列的虛擬域信號模型，且不需要經(jīng)過空間平滑步驟，即可得到優(yōu)化的空間功率譜，故能夠充分利用非均勻虛擬陣列的全部信息。在稀疏恢復(fù)思想的基礎(chǔ)上，廣義化互質(zhì)陣列結(jié)構(gòu)[53]和Toeplitz先驗(yàn)矩陣結(jié)構(gòu)信息[54]的引入可進(jìn)一步提升互質(zhì)陣列波達(dá)方向估計(jì)的精確性和高效性。進(jìn)一步地，基于稀疏恢復(fù)的方法成功實(shí)現(xiàn)了在平面互質(zhì)陣列結(jié)構(gòu)下的2維空間角度估計(jì)[55]，在應(yīng)用上，稀疏恢復(fù)方法也被用于進(jìn)行MIMO雷達(dá)的連續(xù)非相關(guān)目標(biāo)定位檢測[56]。

對應(yīng)于用預(yù)定義空間網(wǎng)格點(diǎn)過完備表示的擴(kuò)展互質(zhì)陣列導(dǎo)引矩陣，對角矩陣包含預(yù)定義空間網(wǎng)格點(diǎn)中個波達(dá)方向上所對應(yīng)的信號功率，為(2M+N-1)×(2M+N-1)維單位矩陣。從而，信號稀疏恢復(fù)方法轉(zhuǎn)換為以下的優(yōu)化問題

3.2.2 基于虛擬陣列協(xié)方差矩陣稀疏重建的互質(zhì)陣列波達(dá)方向估計(jì)算法

前述的虛擬域奈奎斯特匹配和信號稀疏重建方法實(shí)現(xiàn)了信號源數(shù)目大于物理陣元數(shù)目條件下波達(dá)方向的有效估計(jì)，但上述方法生成的空間譜普遍存在額外的虛峰。由于真實(shí)信源的數(shù)目在大多數(shù)實(shí)際應(yīng)用中是未知的，故虛峰的辨識較為困難，容易造成信源的辨識偏差進(jìn)而影響波達(dá)方向估計(jì)的精確度。此外，基于子空間類方法所生成的偽空間譜無法實(shí)現(xiàn)各個信號源的功率估計(jì)。為了解決這些問題，文獻(xiàn)[57,58]提出了基于虛擬陣列協(xié)方差矩陣稀疏重建的互質(zhì)陣列波達(dá)方向估計(jì)算法，其思想是在虛擬域增廣陣列模型的框架下，利用預(yù)定義網(wǎng)格點(diǎn)對虛擬陣列協(xié)方差矩陣中的波達(dá)方向進(jìn)行過完備表示，并在虛擬域通過協(xié)方差矩陣稀疏重建的方式設(shè)計(jì)優(yōu)化問題，最后實(shí)現(xiàn)信源個數(shù)、波達(dá)方向和信號功率等重要參數(shù)的精確估計(jì)。

與3.2.1小節(jié)所介紹的信號稀疏重建方法思路類似，文獻(xiàn)[57]中引入包含個波達(dá)方向的過完備預(yù)定義網(wǎng)格點(diǎn)對互質(zhì)陣列接收信號x(t)中的波達(dá)方向參數(shù)進(jìn)行過完備表示。在虛擬域上，上述操作則等效于對式(11)所定義的增廣虛擬陣列滿秩協(xié)方差矩陣Rss進(jìn)行過完備稀疏表示，得到對應(yīng)的稀疏化虛擬陣列協(xié)方差矩陣可表示為

對應(yīng)一個陣列孔徑為MNd的虛擬均勻線性陣列導(dǎo)引矩陣，為(MN+1)×(MN+1)維單位矩陣，稀疏對角矩陣包含預(yù)定義空間網(wǎng)格點(diǎn)中個波達(dá)方向上對應(yīng)的信號功率。

基于上述定義，虛擬陣列協(xié)方差矩陣稀疏重建優(yōu)化問題的基本思想為最小化空間平滑矩陣Rss與其對應(yīng)的過完備表示虛擬陣列協(xié)方差矩陣之間的擬合誤差，從而尋得最優(yōu)化表示的稀疏空間功率譜，該優(yōu)化問題表示為

在此基礎(chǔ)上，文獻(xiàn)[58]設(shè)計(jì)了基于滑動窗口思路的信源枚舉方法，對稀疏空間譜中存在的虛峰響應(yīng)進(jìn)行移除，以獲得對應(yīng)于個入射信號的波達(dá)方向估計(jì)。與此同時，以為先驗(yàn)信息，可將稀疏重建的框架作用于互質(zhì)陣列接收信號的協(xié)方差矩陣，形成增強(qiáng)型的功率估計(jì)優(yōu)化問題

基于虛擬陣列協(xié)方差矩陣稀疏重建的互質(zhì)陣列波達(dá)方向估計(jì)算法在虛擬域信號處理的框架下實(shí)現(xiàn)了波達(dá)方向的精確估計(jì)，并大幅提升了算法的自由度性能；其次，通過信源枚舉步驟排除了現(xiàn)有方法中存在的空間譜虛峰問題，有效避免了因虛峰擾動所造成的估計(jì)精度受限問題；同時，通過增強(qiáng)型功率估計(jì)優(yōu)化問題設(shè)計(jì)，進(jìn)一步保證了信源功率估計(jì)的準(zhǔn)確性。圖3利用最優(yōu)子模式分配(Optimal Sub-Pattern Assignment,OSPA)準(zhǔn)則[59]來對比前述算法與SSR[52]算法在信號源個數(shù)不確定情況下的波達(dá)方向估計(jì)性能，OSPA指數(shù)越低，表明估計(jì)結(jié)果越理想。仿真中設(shè)置一對互質(zhì)線性子陣列分別包含2M=2×3=6和N=5個物理陣元，擴(kuò)展互質(zhì)陣列包含2M+N-1=10個物理陣元，假設(shè)空間中有12個均勻分布于–60°～60°方向的入射信號源，預(yù)定義空間網(wǎng)格點(diǎn)均勻分布于[–90,90°]，且采樣間距0.1°。圖3(a)表示采樣快拍數(shù)設(shè)置為500條件下各算法OSPA與輸入信噪比之間的性能對比，圖3(b)表示信噪比設(shè)置為0 dB條件下各算法OSPA與采樣快拍數(shù)之間的性能對比。從圖3的對比結(jié)果可知，所提算法在不同信噪比(Signal Noise Ratio,SNR)和不同采樣快拍數(shù)(snapshots)條件下的OSPA均低于SSR算法，且隨信噪比和采樣快拍數(shù)的增加呈現(xiàn)下降趨勢；而SSR算法由于在空間譜中存在若干隨機(jī)且不規(guī)則的虛峰，故OSPA較高，且在不同的采樣快拍數(shù)和信噪比條件下性能類似。上述結(jié)果表明，基于虛擬陣列協(xié)方差矩陣稀疏重建的互質(zhì)陣列波達(dá)方向估計(jì)算法在估計(jì)性能上具有顯著的優(yōu)越性。

圖3 波達(dá)方向估計(jì)性能對比Fig.3 Comparison of DOA estimation performance

3.3 互質(zhì)陣列波達(dá)方向估計(jì)算法的延伸發(fā)展

3.2節(jié)所述的兩大類方法都是在虛擬域信號處理的框架下實(shí)現(xiàn)面向互質(zhì)陣列的高效波達(dá)方向估計(jì)，在自由度性能方面表現(xiàn)出較大的優(yōu)勢。本節(jié)將在上述研究的基礎(chǔ)上，分別從算法的高效性和估計(jì)的精確度等兩方面介紹互質(zhì)陣列波達(dá)方向估計(jì)算法的深入延伸研究。為了進(jìn)一步提升算法的高效性，利用壓縮感知技術(shù)對互質(zhì)陣列接收信號進(jìn)行壓縮，并基于壓縮信號進(jìn)行處理，可在保留互質(zhì)陣列性能優(yōu)勢的同時大幅降低計(jì)算復(fù)雜度；為了進(jìn)一步提高算法的估計(jì)精度，利用無網(wǎng)格化方法可以實(shí)現(xiàn)波達(dá)方向估計(jì)參量的連續(xù)化表示，進(jìn)而從根本上杜絕傳統(tǒng)稀疏類方法中因過完備網(wǎng)格點(diǎn)所造成的估計(jì)精度受限問題。

3.3.1 基于壓縮感知的低復(fù)雜度互質(zhì)陣列波達(dá)方向估計(jì)算法

為了進(jìn)一步降低波達(dá)方向估計(jì)算法的計(jì)算復(fù)雜度，壓縮感知技術(shù)被應(yīng)用到陣列信號處理算法中，通過對互質(zhì)陣列接收信號中的冗余信息進(jìn)行壓縮，實(shí)現(xiàn)欠采樣條件下的高效信號處理[60–64]。文獻(xiàn)[64]提出采用一個隨機(jī)壓縮感知核Φ ∈CW×(M+N-1)對互質(zhì)陣列接收信號x(t)∈C(M+N-1)×1進(jìn)行降維處理，通過隨機(jī)投影的方式將(M+N-1)×1維的互質(zhì)陣列接收信號x(t)壓縮成一個W×1維的壓縮信號y(t)

其中，Φ中的元素可通過高斯分布、伯努利分布等隨機(jī)產(chǎn)生，W <

壓縮信號y(t)的理想?yún)f(xié)方差矩陣Ry為

利用協(xié)方差矩陣Ry計(jì)算Capon空間功率譜，可以得到式(19)的空間譜函數(shù)

其中，θ為譜峰搜索網(wǎng)格點(diǎn)上假定的波達(dá)方向，為壓縮信號的采樣協(xié)方差矩陣，壓縮信號對應(yīng)的W×1維導(dǎo)引向量ac(θ)表示為ac(θ)=Φa(θ)。進(jìn)而，通過搜索Capon空間功率譜pCapon(θ)中最大的K個譜峰，即可得到波達(dá)方向角度估計(jì)值。

進(jìn)一步地，為了保留互質(zhì)陣列在自由度方面的優(yōu)勢，將壓縮感知技術(shù)推廣至虛擬域信號處理方法中，通過稀疏信號重建的方式實(shí)現(xiàn)自由度提升的波達(dá)方向估計(jì)。具體而言，將壓縮信號的協(xié)方差矩陣進(jìn)行向量化操作，以構(gòu)造等價虛擬擴(kuò)展陣列及其2階信號統(tǒng)計(jì)量

上述算法通過引入壓縮感知技術(shù)，通過降維壓縮信號的Capon功率譜計(jì)算以及虛擬域信號稀疏重建，在大幅度降低計(jì)算復(fù)雜度的同時，分別實(shí)現(xiàn)了高分辨率和自由度增加的波達(dá)方向估計(jì)。此外，通過優(yōu)化壓縮感知信號的結(jié)構(gòu)[65,66]，可以有效降低信號壓縮過程造成的原始信息損失，例如，通過對壓縮感知核的結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化，使其元素基于一定的先驗(yàn)信息概率分布進(jìn)行生成[66]，而不是采用隨機(jī)生成的方式[64]，可以減少信號降維壓縮過程中的信息損失，從而使算法具備更高的精確性和更低的計(jì)算復(fù)雜度。

3.3.2 基于虛擬域陣元內(nèi)插的無網(wǎng)格化互質(zhì)陣列波達(dá)方向估計(jì)算法

現(xiàn)有方法在估計(jì)精度性能上主要受以下兩方面的因素限制：一是由于虛擬陣列的非均勻性所導(dǎo)致的信息損失；二是由于預(yù)定義空間網(wǎng)格點(diǎn)在稀疏過完備表示或譜峰搜索過程中所造成的固有估計(jì)誤差。

為了避免信息損失問題，基于虛擬域信號稀疏重建的互質(zhì)陣列波達(dá)方向估計(jì)算法對采樣協(xié)方差矩陣向量化后得到的2階等價虛擬信號進(jìn)行了整體重建[52]，但是構(gòu)造的大量重復(fù)虛擬陣元使得計(jì)算負(fù)擔(dān)變重，且虛擬陣列本身的非均勻性將導(dǎo)致空間功率譜中出現(xiàn)不規(guī)則的虛峰響應(yīng)。基于多頻率的互質(zhì)陣列波達(dá)方向估計(jì)算法利用等價頻率填充差集數(shù)組中的缺失元素[67]，保證了在充分利用非均勻虛擬陣列提供的全部自由度基礎(chǔ)上實(shí)現(xiàn)高精度波達(dá)方向估計(jì)。進(jìn)一步地，基于核范數(shù)最小化的互質(zhì)陣列波達(dá)方向估計(jì)算法通過利用矩陣填充準(zhǔn)則恢復(fù)虛擬陣列協(xié)方差矩陣中孔洞位置所對應(yīng)的缺失元素，且不需要引入自定義用戶參數(shù)即可將非均勻虛擬陣列中所包含的全部信息用于波達(dá)方向估計(jì)[68]。文獻(xiàn)[69]改進(jìn)了用于矩陣填充的最小已知虛擬陣元個數(shù)。

另一方面，基于稀疏恢復(fù)的互質(zhì)陣列波達(dá)方向估計(jì)算法通過預(yù)定義網(wǎng)格對波達(dá)方向進(jìn)行過完備參數(shù)化表示，但是實(shí)際入射信號的波達(dá)方向不一定會正好落在這些預(yù)定義空間網(wǎng)格點(diǎn)上，從而導(dǎo)致基不匹配問題，進(jìn)而影響波達(dá)方向的估計(jì)精度。盡管通過將預(yù)定義空間網(wǎng)格點(diǎn)密集化可以在一定程度上減小稀疏網(wǎng)格帶來的匹配誤差[70]，但是過高的網(wǎng)格密度將導(dǎo)致計(jì)算復(fù)雜度的指數(shù)型提升；文獻(xiàn)[71]提出了一種利用凸優(yōu)化方法進(jìn)行線性頻譜稀疏恢復(fù)的數(shù)學(xué)理論，并基于該理論建立起基于無網(wǎng)格化稀疏恢復(fù)的波達(dá)方向估計(jì)算法框架[72]；文獻(xiàn)[73,74]總結(jié)了當(dāng)前幾種有效的離網(wǎng)型(off-grid)和無網(wǎng)格化(gridless)波達(dá)方向估計(jì)方法，例如基于稀疏貝葉斯學(xué)習(xí)的離網(wǎng)型波達(dá)方向估計(jì)[75]，基于稀疏恢復(fù)思想的互質(zhì)陣列離網(wǎng)型2維波達(dá)方向估計(jì)[76]和結(jié)合原子范數(shù)最小化方法的無網(wǎng)格化稀疏恢復(fù)波達(dá)方向估計(jì)算法[77]。

為了同時解決信息損失和基不匹配問題，文獻(xiàn)[78–81]結(jié)合上述虛擬陣列填充和無網(wǎng)格化方法的思路，提出了基于內(nèi)插虛擬陣列協(xié)方差矩陣無網(wǎng)格化重建的互質(zhì)陣列波達(dá)方向估計(jì)算法。該方法在虛擬域擴(kuò)展陣列的框架下，通過引入陣元內(nèi)插的思想對增廣非均勻虛擬陣列中的非連續(xù)部分進(jìn)行填充，將非均勻虛擬陣列轉(zhuǎn)化為一個虛擬均勻線性陣列Vc，如圖4所示。內(nèi)插虛擬陣列 Vc既包含了非均勻虛擬陣列中全部的虛擬陣元，對應(yīng)的等價信號又滿足奈奎斯特采樣速率的要求。將內(nèi)插虛擬陣列的2階等價信號表示為通過設(shè)計(jì)優(yōu)化問題恢復(fù)中各內(nèi)插虛擬陣元上的未知信號，以實(shí)現(xiàn)波達(dá)方向的有效估計(jì)。

在內(nèi)插虛擬陣列信號模型的基礎(chǔ)上，原子范數(shù)的引入能夠?qū)崿F(xiàn)波達(dá)方向這一參數(shù)的連續(xù)化表示，進(jìn)而避免傳統(tǒng)稀疏方法帶來的基不匹配問題。為了實(shí)現(xiàn)虛擬域信號的原子范數(shù)表示，本文首先將理想條件下內(nèi)插虛擬陣列2階等價接收信號建模為

隨后，為了對波達(dá)方向進(jìn)行連續(xù)化參數(shù)表示，定義ZV的原子集合為

其中，e(θ)=[1,e-jπsin(θ),···,e-jπ(E-1)sin(θ)]T為E個虛擬子陣列和參考虛擬陣列之間的相位偏移。相應(yīng)地，將ZV的原子范數(shù)表示為

圖4 互質(zhì)陣列及其對應(yīng)的各種虛擬域陣列結(jié)構(gòu)示意圖Fig.4 Illustration of the coprime array and its corresponding virtual array structures

其中，conv(?)表示原子集合?的凸包(Convex hull)。式(23)定義的多采樣虛擬信號ZV的原子范數(shù)提供了一個2階等價虛擬信號的無網(wǎng)格化表示模型，實(shí)現(xiàn)了波達(dá)方向這一參數(shù)的連續(xù)化表示。進(jìn)一步地，文獻(xiàn)[79]根據(jù)其等價半正定規(guī)劃表現(xiàn)形式及其對應(yīng)的推論揭示了內(nèi)插虛擬陣列協(xié)方差矩陣與2階等價虛擬信號之間的關(guān)系，由此通過原子范數(shù)的最小化實(shí)現(xiàn)了內(nèi)插虛擬陣列協(xié)方差矩陣T(l)的無網(wǎng)格化重建。具體而言，T(l)的首列向量l與首個虛擬陣列對應(yīng)的2階等價虛擬信號相同，其原子范數(shù)可表示為

基于虛擬均勻線性陣列理想?yún)f(xié)方差矩陣具有的低秩特性和厄米特Toeplitz結(jié)構(gòu)[82–84]，該方法將對應(yīng)于非均勻虛擬陣列的2階相關(guān)統(tǒng)計(jì)量作為參考值，結(jié)合矩陣重建的思想，構(gòu)建了基于原子范數(shù)最小化的內(nèi)插虛擬陣列協(xié)方差矩陣Toeplitz化重建的優(yōu)化問題，即通過最小化式(24)中向量l的原子范數(shù)，重建內(nèi)插虛擬陣列協(xié)方差矩陣T(l)，具體表示為

基于內(nèi)插虛擬陣列協(xié)方差矩陣無網(wǎng)格化重建的互質(zhì)陣列波達(dá)方向估計(jì)算法具備以下優(yōu)點(diǎn)：一是算法中重建的內(nèi)插均勻虛擬陣列包含了非均勻虛擬陣列的全部信號信息，從而能在充分利用互質(zhì)陣列特性的基礎(chǔ)上對波達(dá)方向作出高精度估計(jì)；二是重建的內(nèi)插虛擬陣列協(xié)方差矩陣滿足半正定厄米特Toeplitz結(jié)構(gòu)，該結(jié)構(gòu)與均勻線性陣列接收信號所對應(yīng)的理想?yún)f(xié)方差矩陣一致；三是算法采用了虛擬域原子范數(shù)的定義和波達(dá)方向參數(shù)連續(xù)化表示方法，從而能夠無網(wǎng)格化地重建內(nèi)插虛擬陣列協(xié)方差矩陣，有效避免了基不匹配問題。圖5采用均方根誤差(Root Mean Square Error,RMSE)作為衡量波達(dá)方向估計(jì)性能的參數(shù)，通過仿真對比結(jié)果以說明上述結(jié)論，相對比的算法包括：基于協(xié)方差矩陣稀疏重建的互質(zhì)陣列波達(dá)方向估計(jì)算法[57,58](Covariance Matrix Sparse Reconstruction,CMSR)，基于稀疏信號重建的互質(zhì)陣列波達(dá)方向估計(jì)算法[52](Sparse Signal Reconstruction,SSR)，克拉美羅界(Cramer-Rao Bound,CRB)也同時在仿真圖中給出。仿真設(shè)置中，構(gòu)成互質(zhì)陣列的一對互質(zhì)整數(shù)選取為M=3和N=5，單個信源入射角度由隨機(jī)方式生成，當(dāng)以信噪比為變量進(jìn)行均方根誤差對比時，采樣快拍數(shù)設(shè)置為500，當(dāng)以采樣快拍數(shù)作為變量進(jìn)行均方根誤差對比時，信噪比固定為20 dB。從圖5所示對比結(jié)果可知，在單個入射信號源情況下，CMSR算法和SSR的RMSE在信噪比大于10 dB的情況下趨向平緩，相比之下，所提基于內(nèi)插虛擬陣列協(xié)方差矩陣無網(wǎng)格化重建算法由于在波達(dá)方向估計(jì)過程中無需使用預(yù)定義的空間網(wǎng)格點(diǎn)，故波達(dá)方向估計(jì)性能不受空間網(wǎng)格點(diǎn)間距的限制，RMSE曲線隨著信噪比的增加而不斷降低，且與CRB的趨勢保持一致。在算法復(fù)雜度方面，由圖6的對比結(jié)果可知，基于內(nèi)插虛擬陣列協(xié)方差矩陣無網(wǎng)格化重建算法在不同采樣間隔設(shè)置下均保持相對穩(wěn)定，且計(jì)算復(fù)雜度低于其他對比算法。

圖5 單個隨機(jī)信號源情況下的波達(dá)方向估計(jì)性能對比Fig.5 Comparison of DOA estimation performance under the single random source scenario

圖6 算法復(fù)雜度性能對比Fig.6 Comparison of algorithm complexity

4 互質(zhì)陣列自適應(yīng)波束成形

波束成形通過抑制干擾信號并增強(qiáng)期望信號(Signal of Interest,SOI)，以實(shí)現(xiàn)信號的定向傳送，從而避免不必要的開銷，保證整體系統(tǒng)效率。作為陣列信號處理領(lǐng)域的又一個基本問題，魯棒性和高效性是波束成形算法設(shè)計(jì)中的關(guān)鍵考量因素。其中，魯棒性要求在外部環(huán)境擾動、陣列結(jié)構(gòu)失準(zhǔn)、信號模型失配等非理想條件下保證波束成形器輸出性能的穩(wěn)定，而高效性則要求算法具備快速精確的處理能力，并同時能夠節(jié)省系統(tǒng)的軟硬件成本開銷。因此，設(shè)計(jì)兼?zhèn)漪敯粜院透咝缘牟ㄊ尚嗡惴?，對于?dāng)前蓬勃發(fā)展的雷達(dá)技術(shù)應(yīng)用具有重大的意義和應(yīng)用價值。

4.1 互質(zhì)陣列波束成形設(shè)計(jì)準(zhǔn)則

均勻陣列是傳統(tǒng)波束成形算法中最為常用的陣列結(jié)構(gòu)，由于波束主瓣與陣列孔徑成反比，奈奎斯特采樣定理的限制使得傳統(tǒng)算法需要通過增加物理陣元數(shù)目來實(shí)現(xiàn)波束的精尖化，進(jìn)而導(dǎo)致了硬件成本和計(jì)算復(fù)雜度的大幅增加。相對地，互質(zhì)陣列的稀疏陣列架構(gòu)、大孔徑特性和高自由度等特性能夠在相同的開銷下獲得更好的波束控制效果，從而實(shí)現(xiàn)更加高效的能量集中、更加精確的波束對準(zhǔn)和更加強(qiáng)勁的干擾抑制能力。因此，采用互質(zhì)陣列進(jìn)行波束成形在魯棒性和高效性方面均具有較大潛在優(yōu)勢。

與前述互質(zhì)陣列波達(dá)方向估計(jì)問題相比，互質(zhì)陣列波束成形問題的設(shè)計(jì)準(zhǔn)則與其在原理上存在本質(zhì)區(qū)別。具體而言，由于波達(dá)方向估計(jì)屬于參數(shù)估計(jì)問題，故互質(zhì)陣列波達(dá)方向估計(jì)可直接通過虛擬域信號處理以實(shí)現(xiàn)自由度的增加。值得注意的是，雖然2階等價虛擬陣列信號z與1階陣列接收信號x(t)在信號建模上存在類似的結(jié)構(gòu)，但式(2)中的1階統(tǒng)計(jì)量包含信號波形s(t)，而式(10)中的虛擬域2階統(tǒng)計(jì)量則包含信號功率p。由于波束成形的原理是陣列接收信號的空域?yàn)V波，即對物理陣元接收信號的加權(quán)求和，故互質(zhì)陣列波束成形無法直接在虛擬域中完成，其波束成形器的權(quán)重設(shè)計(jì)以及信號的權(quán)值累加必須在實(shí)際的物理陣元上實(shí)現(xiàn)。因此，互質(zhì)陣列波束成形算法在設(shè)計(jì)準(zhǔn)則上與前述互質(zhì)陣列波達(dá)方向估計(jì)存在本質(zhì)區(qū)別，如何有效利用包括虛擬域信號處理在內(nèi)的一系列互質(zhì)陣列優(yōu)勢特性，并同時克服因其物理陣列的非均勻性所帶來的一系列難題，是互質(zhì)陣列自適應(yīng)波束成形算法研究的核心問題。

相較于近年來被廣泛研究的互質(zhì)陣列波達(dá)方向估計(jì)問題，互質(zhì)陣列自適應(yīng)波束成形的研究仍處于初步階段，尚有較多富有前景的研究課題有待進(jìn)一步深入發(fā)掘。在介紹具體的互質(zhì)陣列波束成形算法之前，本文首先回顧了傳統(tǒng)的波束成形技術(shù)，以說明下文所采用波束成形器設(shè)計(jì)思路的原因。最小方差無失真響應(yīng)(Minimum Variance Distortionless Response,MVDR)準(zhǔn)則[5]是理想化波束成形設(shè)計(jì)的經(jīng)典準(zhǔn)則之一，其目標(biāo)是最大化陣列輸出的信干噪比(Signal to Interference plus Noise Ratio,SINR)，并同時保證期望信號分量的無畸變通過。但是，由于理想的干擾加噪聲協(xié)方差矩陣及期望信號導(dǎo)引向量在實(shí)際應(yīng)用中未知，波束成形算法的性能易受SOI方向失配、陣列校準(zhǔn)誤差、以及有限觀測樣本下采樣協(xié)方差矩陣估計(jì)誤差等問題帶來的性能衰減。為了緩解這一問題，一系列魯棒自適應(yīng)波束成形算法被提出。文獻(xiàn)[85]總結(jié)了兩類典型魯棒自適應(yīng)波束成形算法設(shè)計(jì)，它們分別通過對采樣協(xié)方差矩陣和假定的期望信號導(dǎo)引向量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)信號處理和優(yōu)化，以實(shí)現(xiàn)輸出SINR性能的提升。但是，由于干擾加噪聲協(xié)方差矩陣中的期望信號分量未被有效消除，信號自相消現(xiàn)象將隨SINR的增大而逐步凸顯。子空間方法[86,87]和對角加載方法[88]可以提高導(dǎo)向矢量失配情況下MVDR波束成形的穩(wěn)健性，但是基于子空間的波束成形算法在低信噪比或大信干噪比的情況下效果較差，而對角加載方法的缺點(diǎn)是最優(yōu)對角加載因子難以確定。此外，貝葉斯方法[89]和基于最壞情況性能優(yōu)化算法[90]也都沒有從本質(zhì)上解決信號的自相消問題。

為了解決上述經(jīng)典算法中存在的問題，文獻(xiàn)[91]提出了一種基于干擾加噪聲協(xié)方差矩陣重建和期望信號導(dǎo)引向量估計(jì)的魯棒自適應(yīng)波束成形算法，首次實(shí)現(xiàn)了逼近理論值的輸出SINR性能。該算法的核心思想是通過干擾加噪聲協(xié)方差矩陣的重建來移除其中的期望信號分量，并同時設(shè)計(jì)了一個2次約束2次規(guī)劃問題以優(yōu)化期望信號導(dǎo)引向量，從而大幅度提升了自適應(yīng)波束成形的魯棒性和輸出SINR性能。鑒于干擾加噪聲協(xié)方差矩陣重建和期望信號導(dǎo)引向量估計(jì)方法的性能優(yōu)勢，互質(zhì)陣列波束成形擬采用該技術(shù)框架進(jìn)行面向非均勻物理陣元的自適應(yīng)波束成形權(quán)重設(shè)計(jì)。

4.2 基于協(xié)方差矩陣和導(dǎo)引向量重建的互質(zhì)陣列自適應(yīng)波束成形

基于前述自適應(yīng)波束成形設(shè)計(jì)準(zhǔn)則，文獻(xiàn)[92,93]在文獻(xiàn)[91]的思想上，充分考慮了互質(zhì)陣列的結(jié)構(gòu)特征和信號建模特性，利用互質(zhì)陣列的大孔徑優(yōu)勢，提出了基于干擾加噪聲協(xié)方差矩陣和期望信號導(dǎo)引向量重建的互質(zhì)陣列自適應(yīng)波束成形算法。其中，文獻(xiàn)[93]給出了互質(zhì)陣列自適應(yīng)波束成形算法設(shè)計(jì)的完整框架。具體而言，對于一個包含M+N-1個陣元的互質(zhì)陣列，假定有K+1個遠(yuǎn)場窄帶信號入射至互質(zhì)陣列，其中期望信號的角度方向?yàn)棣萻，其余K個來自{θk,k=1,2,···,K}方向的信號為干擾信號，w ∈CM+N-1為波束成形的權(quán)重向量。根據(jù)MVDR準(zhǔn)則，波束成形權(quán)重向量可通過求解如下優(yōu)化問題獲得

上述優(yōu)化問題中權(quán)重向量的最優(yōu)解為

其中，a(θs)是對應(yīng)于期望信號θs的導(dǎo)引向量，Ri+n為干擾加噪聲協(xié)方差矩陣，可以表示為

其中，a(θk)為對應(yīng)各干擾信號入射方向θk的導(dǎo)引向量。

由式(27)可知，基于MVDR準(zhǔn)則的波束成形器權(quán)重向量是由期望信號導(dǎo)引向量a(θs)和干擾加噪聲協(xié)方差矩陣Ri+n共同決定的，因此所提互質(zhì)陣列波束成形算法的思路是充分利用互質(zhì)陣列的特性以精確重建a(θs)和Ri+n這兩個組成波束成形器的核心參量，從而使所設(shè)計(jì)的互質(zhì)陣列波束成形權(quán)重向量逼近理論值考慮到期望信號入射角度是期望信號導(dǎo)引向量重建的核心參數(shù)，且由式(28)可知各干擾信號的入射角度為干擾加噪聲協(xié)方差矩陣重建的必要參數(shù)，互質(zhì)陣列自適應(yīng)波束成形算法將首先對上述參數(shù)進(jìn)行估計(jì)，以作為波束成形權(quán)重向量重建的先驗(yàn)信息。

為了精確地獲得期望信號和各干擾信號的波達(dá)方向估計(jì)結(jié)果，文獻(xiàn)[93]采用3.1小節(jié)介紹的互質(zhì)子陣分解方法，將互質(zhì)陣列分解成包含M和N個陣元的稀疏均勻子陣列，并分別對子陣列的MUSIC空間譜函數(shù)進(jìn)行譜峰搜索，得到包含相位模糊的波達(dá)方向估計(jì)結(jié)果，可表示為：。為了去除相位模糊，期望信號的波達(dá)方向可通過選取子陣估計(jì)結(jié)果中最接近的一組候選估計(jì)值實(shí)現(xiàn)，即

其中，φ為期望信號的角度范圍。期望信號的波達(dá)方向估計(jì)值由式(29)求得的最優(yōu)值取平均獲得

類似地，干擾信號的波達(dá)方向可通過求解式(31)得到

由式(28)關(guān)于干擾加噪聲協(xié)方差矩陣的定義可知，除了干擾信號的波達(dá)方向之外，其對應(yīng)的信號功率k=1,2,···,以及噪聲功率也是實(shí)現(xiàn)該矩陣重建的必要參數(shù)，而前述所采用的子陣分解方法得到的MUSIC空間偽譜在各入射信號方向上的響應(yīng)值無法表征功率。為此，文獻(xiàn)[93]將前述得到的期望信號和干擾信號波達(dá)方向估計(jì)值作為先驗(yàn)信息，設(shè)計(jì)了基于互質(zhì)稀疏子陣協(xié)方差矩陣聯(lián)合優(yōu)化問題以進(jìn)行功率估計(jì)，其核心思想是考慮兩個互質(zhì)稀疏子陣所對應(yīng)的采樣協(xié)方差矩陣中所包含的信號功率信息一致，并構(gòu)造如下不等式約束最小二乘問題

其中，λmin(·)表示矩陣的最小特征值。通過式(32)求得優(yōu)化變量Γ的最優(yōu)值包含了期望信號和個干擾信號的功率估計(jì)值。

其中，d1,d2,···,dM+N-1表示互質(zhì)陣列中各物理陣元的實(shí)際位置，d1=0。同時，根據(jù)式(28)的定義，利用求得的干擾信號波達(dá)方向估計(jì)值和功率估計(jì)值，以及噪聲功率估計(jì)值，干擾加噪聲協(xié)方差矩陣可重建為

最后，結(jié)合式(27)關(guān)于最優(yōu)權(quán)重向量的定義和上述重建的參量，互質(zhì)陣列波束成形的權(quán)重向量可表示為

上述互質(zhì)陣列波束成形算法的設(shè)計(jì)方案充分利用了互質(zhì)陣列的大孔徑特性，通過高精度的參數(shù)估計(jì)實(shí)現(xiàn)了參量的精確重建；與此同時，重建思想的引入有效克服了信號自相消問題，避免了輸出SINR在高信噪比情況下的性能衰減；其次，互質(zhì)稀疏子陣協(xié)方差矩陣聯(lián)合優(yōu)化問題可估計(jì)所有先驗(yàn)波達(dá)方向所對應(yīng)的功率，以分辨真實(shí)信號源所對應(yīng)的波達(dá)方向估計(jì)值，故所提算法無需將信號源個數(shù)作為先驗(yàn)信息，對于實(shí)際應(yīng)用中信號源個數(shù)未知情形具有明顯的優(yōu)勢；再者，互質(zhì)陣列的應(yīng)用使得所提波束成形算法在硬件開銷和計(jì)算復(fù)雜度方面均具有優(yōu)于傳統(tǒng)基于均勻陣列的波束成形算法。因此，上述互質(zhì)陣列自適應(yīng)波束成形算法兼?zhèn)漪敯粜院透咝浴?/p>

圖7給出了上述互質(zhì)陣列自適應(yīng)波束成形算法與傳統(tǒng)的采樣矩陣求逆(Sample Matrix Inversion,SMI)波束成形算法[94]、對角加載波束成形算法[88]、基于子空間的波束成形算法[87]、基于最壞情況性能優(yōu)化的波束成形算法[90]和基于協(xié)方差矩陣重建的波束成形算法[91]在輸出SINR特性上的性能對比。在圖7中，這些算法分別采用“PROPOSED”,“SMI”,”DLSMI”,“EIGENSPACE”,“WORST-CASE”和“RECONSTRUCTION”作為圖例說明。在實(shí)驗(yàn)中，互質(zhì)參數(shù)M和N選用M=5,N=6；當(dāng)以期望信號的輸入信噪比為變量進(jìn)行輸出SINR對比時，采樣快拍數(shù)設(shè)置為30；當(dāng)以采樣快拍數(shù)為變量進(jìn)行輸出SINR對比時，期望信號的輸入信噪比設(shè)置為20 dB。

圖7 觀測方向存在隨機(jī)誤差情況下的輸出性能對比Fig.7 Comparison of output SINR performance under the random signal look direction mismatch scenario

由圖7(a)所示結(jié)果可以看出，隨著輸入信噪比的增加，SMI波束成形算法、對角加載波束成形算法以及基于子空間的波束成形算法的輸出SINR曲線隨著信噪比的增加而趨向平緩?；谧顗那闆r性能優(yōu)化的波束成形算法盡管在信噪比較高的情況下性能優(yōu)于其他幾類傳統(tǒng)算法，但性能仍受信號自相消現(xiàn)象的限制。相較之下，基于重建思想的波束成形算法由于移除了干擾加噪聲協(xié)方差矩陣中的期望信號分量，從而有效地克服了信號自相消導(dǎo)致的輸出SINR性能衰減問題，并且具有與最優(yōu)SINR趨勢一致的輸出SINR性能，且所提互質(zhì)陣列自適應(yīng)波束成形算法性能優(yōu)于傳統(tǒng)采用均勻陣列的重建思想波束成形算法。從圖7(b)所示的對比結(jié)果可知，互質(zhì)陣列自適應(yīng)波束成形算法在輸出SINR性能上均優(yōu)于其余對比算法。

基于上述算法框架，文獻(xiàn)[95]在保證互質(zhì)陣列輸出SINR性能的條件下，通過結(jié)合虛擬域信號處理實(shí)現(xiàn)了算法自由度的進(jìn)一步提升；除此之外，考慮到波束成形算法在實(shí)際應(yīng)用中的復(fù)雜度，壓縮感知等理論也被應(yīng)用于自適應(yīng)波束成形方法[96]中，例如基于3.1.1節(jié)的壓縮感知模型與MVDR準(zhǔn)則的互質(zhì)陣列波束成形算法，在虛擬域壓縮信號模型上實(shí)現(xiàn)了高效的波束成形設(shè)計(jì)[97]，相比傳統(tǒng)波束成形技術(shù)大幅降低了計(jì)算復(fù)雜度。

5 結(jié)束語

陣列信號處理是雷達(dá)領(lǐng)域各類應(yīng)用中的核心技術(shù)之一，確保了雷達(dá)在不同體制、不同場景中實(shí)現(xiàn)目標(biāo)檢測、定位、追蹤等功能。近幾十年來，傳統(tǒng)陣列信號處理算法的發(fā)展趨近成熟，為雷達(dá)領(lǐng)域提供了大量高效的算法模型。然而，隨著大規(guī)模檢測和超分辨定位等更高需求的提出，傳統(tǒng)均勻陣列帶來的性能受限問題開始凸顯，稀疏非均勻陣列的應(yīng)用開始受到關(guān)注。其中，互質(zhì)陣列由于其稀疏結(jié)構(gòu)帶來的優(yōu)越特性，能為基于互質(zhì)陣列結(jié)構(gòu)的算法帶來在自由度、分辨率及復(fù)雜度等性能上的顯著優(yōu)勢，以突破傳統(tǒng)均勻陣列的技術(shù)瓶頸。為此，本文總結(jié)了大量基于互質(zhì)陣列結(jié)構(gòu)的陣列信號處理算法，主要包含波達(dá)方向估計(jì)和波束成形等兩大類方向。

在互質(zhì)陣列波達(dá)方向估計(jì)方面，本文總結(jié)了基于互質(zhì)子陣分解的方法和基于虛擬陣列信號處理的方法。其中，互質(zhì)子陣分解方法通過子空間類方法的引入和互質(zhì)稀疏子陣相位模糊規(guī)律性的探索，對互質(zhì)稀疏子陣的估計(jì)結(jié)果進(jìn)行分辨后得到唯一有效的波達(dá)方向估計(jì)結(jié)果，在有效利用大陣列孔徑帶來的高分辨率的同時，具有操作簡便，估計(jì)準(zhǔn)確度高等優(yōu)勢；而基于虛擬陣列信號處理的方法則通過構(gòu)造增廣虛擬陣列的2階等價虛擬信號，在虛擬域上進(jìn)行信號處理以實(shí)現(xiàn)波達(dá)方向估計(jì)，能夠突破可分辨信號源個數(shù)受限于物理陣元數(shù)的瓶頸，在自由度性能方面具有明顯的優(yōu)勢。在虛擬陣列信號處理的框架下，主要介紹了奈奎斯特匹配、信號稀疏恢復(fù)、以及基于虛擬域協(xié)方差矩陣稀疏重建等3類代表性方法。其中基于虛擬域奈奎斯特匹配的方法將傳統(tǒng)采用均勻陣列的波達(dá)方向估計(jì)的思路擴(kuò)展到了虛擬域，通過建立虛擬域擴(kuò)展陣列信號與原始信號統(tǒng)計(jì)量之間的類比關(guān)系，實(shí)現(xiàn)了傳統(tǒng)奈奎斯特信號處理方法在虛擬域中的應(yīng)用；基于稀疏恢復(fù)的方法則在虛擬域中引入壓縮感知的思想，通過重建虛擬陣列等價信號統(tǒng)計(jì)量直接獲得波達(dá)方向估計(jì)結(jié)果；與此同時，基于虛擬域協(xié)方差矩陣稀疏重建的互質(zhì)陣列波達(dá)方向算法在保證自由度提升的條件下，能夠同時實(shí)現(xiàn)信號源波達(dá)方向及其功率的精確估計(jì)。上述算法充分利用了互質(zhì)陣列的優(yōu)勢，實(shí)現(xiàn)了波達(dá)方向估計(jì)算法在自由度、分辨率、軟硬件開銷等層面的性能提升。進(jìn)一步地，本文總結(jié)了兩種優(yōu)化算法思路，一種是針對計(jì)算復(fù)雜度優(yōu)化的基于壓縮感知技術(shù)的互質(zhì)陣列波達(dá)方向估計(jì)算法，通過引入壓縮感知核對互質(zhì)陣列接收信號進(jìn)行核心信息提取與處理，在保證優(yōu)勢性能的同時大幅降低了計(jì)算復(fù)雜度；另一種是基于內(nèi)插虛擬陣列協(xié)方差矩陣無網(wǎng)格化重建的互質(zhì)陣列波達(dá)方向估計(jì)算法，它有效解決了由于增廣虛擬陣列非連續(xù)所導(dǎo)致的虛擬域信號處理信息損失問題，以及稀疏恢復(fù)類方法中因預(yù)定義網(wǎng)格點(diǎn)不夠密而導(dǎo)致的估計(jì)精度受限問題。

在互質(zhì)陣列波束成形方面，本文回顧了波束成形技術(shù)的研究背景與發(fā)展歷程，分析了互質(zhì)陣列波達(dá)方向估計(jì)與互質(zhì)陣列波束成形問題在作用原理和統(tǒng)計(jì)量建模層面的本質(zhì)區(qū)別，并構(gòu)建了互質(zhì)陣列波束成形方法的設(shè)計(jì)準(zhǔn)則。基于上述結(jié)論，本文重點(diǎn)介紹了基于干擾加噪聲協(xié)方差矩陣和期望信號導(dǎo)引向量重建的互質(zhì)陣列波束成形算法。該算法通過剖析MVDR準(zhǔn)則獲得用于重建最優(yōu)權(quán)重向量的核心參數(shù)，即干擾源來波方向信息與信號源功率信息，并分別通過基于子陣分解的互質(zhì)陣列波達(dá)方向估計(jì)、基于互質(zhì)稀疏子陣協(xié)方差矩陣聯(lián)合優(yōu)化的功率估計(jì)實(shí)現(xiàn)上述核心參數(shù)的高效估計(jì)。其中，重建思想的引入消除了干擾加噪聲協(xié)方差矩陣中的期望信號分量，能夠有效克服信號的自相消問題；而信源功率的估計(jì)使得傳統(tǒng)波達(dá)方向估計(jì)問題中信源個數(shù)這一先驗(yàn)條件得以去除；與此同時，面向非均勻互質(zhì)陣列的權(quán)重設(shè)計(jì)有效利用了互質(zhì)陣列的結(jié)構(gòu)特性，最終實(shí)現(xiàn)了高效性和魯棒性兼?zhèn)涞母咝阅懿ㄊ尚巍?/p>

除波達(dá)方向估計(jì)和自適應(yīng)波束成形這兩類問題之外，互質(zhì)陣列信號處理仍有較多值得研究的話題及應(yīng)用，例如：互質(zhì)陣列結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)，非理想場景下的魯棒性算法，以及互質(zhì)MIMO雷達(dá)等。在互質(zhì)陣列結(jié)構(gòu)優(yōu)化方面，廣義化的互質(zhì)陣列結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)[98,99]，互質(zhì)采樣技術(shù)框架下的優(yōu)化陣列設(shè)計(jì)方案[100]，以及考慮保證相同虛擬陣列孔徑和自由度的精簡型互質(zhì)陣列(thinned coprime array)方案[101]，都在互質(zhì)采樣的框架下進(jìn)行改進(jìn)，以優(yōu)化互質(zhì)陣列的稀疏結(jié)構(gòu)，從而達(dá)到算法在自由度、計(jì)算復(fù)雜度等性能指標(biāo)上的強(qiáng)化。與此同時，由于實(shí)際應(yīng)用的需要，如何在非理想場景下保證互質(zhì)陣列參數(shù)估計(jì)方法的有效性，是當(dāng)前亟需解決的問題之一，這其中包含了克服陣列誤差影響[102]和排除未知噪聲干擾[103]等方面。除此之外，由于互質(zhì)陣列在結(jié)構(gòu)特性上的優(yōu)越性能，采用互質(zhì)陣列結(jié)構(gòu)的互質(zhì)MIMO雷達(dá)[104,105]在空間信號分辨能力、識別精確度性能上都有大幅提升，面向互質(zhì)MIMO雷達(dá)相關(guān)的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)和參數(shù)估計(jì)算法等方面的研究正在受到關(guān)注。針對互質(zhì)MIMO雷達(dá)的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)，當(dāng)前的研究包括廣義化的互質(zhì)MIMO雷達(dá)模型[106]，以及在互質(zhì)采樣技術(shù)的框架下對發(fā)射和接收端進(jìn)行優(yōu)化的MIMO雷達(dá)陣列結(jié)構(gòu)[107]等。面向互質(zhì)MIMO雷達(dá)的算法研究不僅有結(jié)合硬件加速的參數(shù)估計(jì)方法[108–111]，也有大量高精度的測向算法研究[112–116]。因此，如何將互質(zhì)陣列信號處理方法在雷達(dá)領(lǐng)域深入推廣應(yīng)用，不斷優(yōu)化相關(guān)核心技術(shù)的算法性能并增強(qiáng)其高效性和實(shí)用性，是未來陣列信號處理領(lǐng)域的重要課題，也是推動雷達(dá)技術(shù)發(fā)展的核心工具之一。