任玲

摘 ?要：數(shù)學(xué)理解是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的第一要?jiǎng)?wù)。在日常數(shù)學(xué)教學(xué)中，由于認(rèn)知內(nèi)容的被動(dòng)化、認(rèn)知方式的記憶化以及認(rèn)知評(píng)價(jià)的結(jié)果化，使得真正的數(shù)學(xué)理解沒有到位。真正的數(shù)學(xué)理解包括工具性理解、關(guān)系性理解和創(chuàng)新性理解。教學(xué)中，教師要對(duì)接學(xué)生經(jīng)驗(yàn)，指向數(shù)學(xué)本質(zhì)，凸顯知識(shí)聯(lián)系，實(shí)現(xiàn)學(xué)生真正的數(shù)學(xué)理解。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)理解;核心素養(yǎng);教學(xué)追求

一、緣起：由一道題引發(fā)的深層思考

蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)五年級(jí)下冊期末調(diào)研中有這樣一道習(xí)題：面積相等的長方形、正方形和圓，（ ? ）的周長最大。（A.長方形 ?B.正方形 ?C.圓）試卷分析結(jié)果表明，本題正確率僅為25.1%。許多教師感嘆，自己在日常教學(xué)中強(qiáng)化了“周長相等的長方形、正方形和圓，圓的面積最大”，由此導(dǎo)致了絕大多數(shù)學(xué)生選擇了C。似乎正是由于自己的正強(qiáng)化，導(dǎo)致了學(xué)生出錯(cuò)。

審視教師教學(xué)，似乎這樣的理由是不成立的。如果教師在教學(xué)中注重?cái)?shù)學(xué)理解，如果學(xué)生不是獲得淺表化、惰性化、碎片化數(shù)學(xué)知識(shí)，那么學(xué)生的問題解決就不會(huì)停留在記憶層面，而是會(huì)展開審慎審題，積極思考，靈活而有效地解決問題。而如果學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中只是依葫蘆畫瓢、機(jī)械模仿，沒有真正理解，那么，錯(cuò)誤也就在所難免了。

這引發(fā)了筆者的深度思考：數(shù)學(xué)教學(xué)在何種程度上沒有能夠達(dá)成學(xué)生理解？什么是學(xué)生的數(shù)學(xué)理解？數(shù)學(xué)教學(xué)如何促進(jìn)學(xué)生深度的數(shù)學(xué)理解？

二、“數(shù)學(xué)理解”的教學(xué)現(xiàn)狀

1. 認(rèn)知內(nèi)容“被動(dòng)化”

筆者發(fā)現(xiàn)，在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，教師常常有意或無意地綁架學(xué)生思維、認(rèn)知，讓學(xué)生形成“假性生長”“被生長”現(xiàn)象。比如教學(xué)《認(rèn)識(shí)負(fù)數(shù)》，一位教師以溫度計(jì)為原型，直接切入，出示三亞（20℃）、南京（0℃）、哈爾濱（-20℃）三個(gè)地方的最低氣溫，引導(dǎo)學(xué)生比較不同，引出負(fù)數(shù)概念。對(duì)于學(xué)生來說，負(fù)數(shù)的出現(xiàn)是突然的，猶如天降。他們沒有感受、體驗(yàn)到負(fù)數(shù)產(chǎn)生的必然性、必要性。只是在教師指引、暗示下對(duì)負(fù)數(shù)進(jìn)行認(rèn)知。這種教學(xué)，學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的認(rèn)知是膚淺、固化的，他們“知其然，而不知其所以然”。

2. 認(rèn)知方式“記憶化”

無論是數(shù)學(xué)概念，還是數(shù)學(xué)公式、定理等都不是依靠學(xué)生機(jī)械識(shí)記，而是要靠學(xué)生數(shù)學(xué)理解的。當(dāng)下，學(xué)生缺乏主動(dòng)建構(gòu)的精神，他們只是按照教師“暗示”思路解決問題。格式塔心理學(xué)家苛勒“頓悟說”告訴我們：學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是運(yùn)用理解對(duì)情境與自身關(guān)系的頓悟，而不是依靠記憶進(jìn)行盲目嘗試、復(fù)制。許多學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中往往只按教師“暗示”思路和記憶方法來解決問題，盲從于結(jié)論，數(shù)學(xué)理解力悄然流失。

3. 認(rèn)知評(píng)價(jià)“結(jié)果化”

對(duì)于數(shù)學(xué)教學(xué)，我們應(yīng)該不陌生這樣的教學(xué)擱置現(xiàn)象：“會(huì)了嗎？”學(xué)生會(huì)齊刷刷地回答“會(huì)了”。這其中，存在諸多濫竽充數(shù)的現(xiàn)象。對(duì)于學(xué)生的學(xué)習(xí)，我們關(guān)注過程甚于關(guān)注結(jié)果。于是，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，“數(shù)學(xué)理解”讓渡于機(jī)械記憶，讓渡于機(jī)械模仿。教師通常用檢測、練習(xí)的方式來掌握學(xué)情。在檢測、練習(xí)數(shù)據(jù)的掩蓋下，我們遮蔽了學(xué)生靈動(dòng)的思維，許多個(gè)性化、新穎化的思維沒有得到顯現(xiàn)，學(xué)生數(shù)學(xué)理解被人為架空。如果我們關(guān)注學(xué)生思維，追問學(xué)生“為什么可這樣做？”“還可怎樣做？”多傾聽學(xué)生、對(duì)話學(xué)生，那么，學(xué)生的數(shù)學(xué)理解就能獲得發(fā)展。

三、“數(shù)學(xué)理解”的教學(xué)意蘊(yùn)

對(duì)于“理解”，《辭海》中的解釋是：揭示事物間的聯(lián)系而認(rèn)識(shí)新事物的過程?？梢?，理解不是簡單知識(shí)的機(jī)械記憶或照本模仿，也不是機(jī)械解釋或照本運(yùn)用，而是思考知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系?！袄斫狻辈粌H能把握數(shù)學(xué)概念“是什么”，更能把握“為什么”“怎么樣”。數(shù)學(xué)理解不能簡單等同于“聽懂了”“會(huì)做了”，而應(yīng)有更為豐富的內(nèi)涵。

1. 工具性理解

英國數(shù)學(xué)教育心理學(xué)家斯根普認(rèn)為，理解有兩個(gè)層面：一是工具性理解，二是關(guān)系性理解。筆者認(rèn)為，在學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中還有一個(gè)創(chuàng)新性理解。斯根普深刻指出，工具性理解是指一種語義性理解，即符號(hào)所指代的事物、事實(shí)、步驟等是什么，工具性理解側(cè)重于是什么。比如，一提到方程，學(xué)生就知道“含有未知數(shù)的等式”叫作方程，這就是一種“工具性理解”。但即使學(xué)生能熟練說出方程的定義，也并不一定能解方程。工具性理解充斥著當(dāng)下的數(shù)學(xué)教學(xué)。

2. 關(guān)系性理解

美國著名教育心理學(xué)家大衛(wèi)·帕金斯認(rèn)為，所謂理解，不是指個(gè)體記得什么，而是指個(gè)體可以運(yùn)用信息做哪些事情。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，理解不是個(gè)體能夠記得某些概念，而是能夠用自己的語言陳述概念、解釋概念。華東師范大學(xué)李士錡教授認(rèn)為，理解就是個(gè)體能夠在心理上組織、建構(gòu)起適當(dāng)?shù)摹⒂行У恼J(rèn)知結(jié)構(gòu)。關(guān)系性理解是一種“結(jié)構(gòu)性理解”，不僅知道是什么，而且知道為什么。比如，盡管學(xué)生不能說出什么是方程，但學(xué)生能主動(dòng)探尋未知數(shù)和已知數(shù)之間的關(guān)系，從而解方程，這就是一種關(guān)系性理解。關(guān)系性理解是數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)當(dāng)努力追尋的。

3. 創(chuàng)新性理解

關(guān)系性理解再深入一步，就會(huì)進(jìn)入創(chuàng)新性理解層次。所謂創(chuàng)新性理解，就是在認(rèn)知結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上，對(duì)已有知識(shí)進(jìn)行提高、推廣或拓展，或?qū)δ撤N操作進(jìn)行更新或改變。創(chuàng)新性理解，是一種推陳出新，是提出新問題，引出新猜想，進(jìn)行新拓展。創(chuàng)新性理解是學(xué)生在更新、更寬、更高視域中對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行多路向、多層次、多視角的思考、探究。比如，學(xué)生能運(yùn)用不同的方法如等式性質(zhì)、等式間關(guān)系、移項(xiàng)等求解方程。創(chuàng)新性理解是最高層次的數(shù)學(xué)理解。

數(shù)學(xué)理解的目標(biāo)具有雙重內(nèi)涵：一是對(duì)“數(shù)學(xué)對(duì)象”的理解，包括數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)容、技巧、方法、思想、策略等;二是從數(shù)學(xué)視角解釋現(xiàn)實(shí)，讓學(xué)生能“用數(shù)學(xué)眼光觀察，用數(shù)學(xué)思維分析，用數(shù)學(xué)語言表達(dá)”。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，要促成學(xué)生關(guān)系性理解，讓學(xué)生經(jīng)由關(guān)系性理解進(jìn)入創(chuàng)新性理解的境界與層次。

四、“數(shù)學(xué)理解”的教學(xué)策略

數(shù)學(xué)理解是一個(gè)系統(tǒng)工程，建設(shè)數(shù)學(xué)理解性課堂，需要教師從課堂教學(xué)各要素入手，對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)進(jìn)行變革和改造。建構(gòu)主義認(rèn)為，數(shù)學(xué)知識(shí)不可能以實(shí)體形式存在于個(gè)體之外，真正的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)只有由學(xué)習(xí)者基于自身經(jīng)驗(yàn)背景而建構(gòu)起來。理解取決于學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程，理解不是生吞活剝、死記硬背。

1. 對(duì)接經(jīng)驗(yàn)，豐盈數(shù)學(xué)理解的源泉

理解一定是基于學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)的，對(duì)接學(xué)生經(jīng)驗(yàn)，能夠豐盈數(shù)學(xué)理解之源泉。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要借助已知幫助學(xué)生理解未知，借助形象幫助學(xué)生理解抽象，借助事理幫助學(xué)生理解數(shù)理。比如，一位教師在教學(xué)蘇教版四年級(jí)《用數(shù)對(duì)確定位置》后，讓學(xué)生主動(dòng)對(duì)接生活經(jīng)驗(yàn)，從而使學(xué)生更深刻地理解用數(shù)對(duì)確定位置在生活中有著具體的運(yùn)用。有學(xué)生說，教室座位就可以用數(shù)對(duì)表示;有學(xué)生說，課程表也可以用數(shù)對(duì)表示;還有學(xué)生說，秧田里整齊的秧苗可以用數(shù)對(duì)表示……接著，教師順學(xué)而導(dǎo)，讓學(xué)生對(duì)教室座位互相提問解答。這種教學(xué)，不再是讓學(xué)生機(jī)械識(shí)記，而是將數(shù)學(xué)規(guī)定與現(xiàn)實(shí)生活關(guān)聯(lián)起來，將數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)透、學(xué)活，內(nèi)化為學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

2. 聚焦本質(zhì)，指向數(shù)學(xué)理解的目標(biāo)

數(shù)學(xué)理解，歸根結(jié)底是對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解。教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)抽象、推理、概括、建模。聚焦數(shù)學(xué)知識(shí)本質(zhì)，要培養(yǎng)學(xué)生的質(zhì)疑精神、批判精神，讓學(xué)生進(jìn)行深度思考、探究。比如，教學(xué)《圖形放大和縮小》，筆者出示一張學(xué)生熟悉的班上同學(xué)的照片?，F(xiàn)在要將這張照片放大，有哪些方案呢？接著，筆者又出示了四種規(guī)格的照片，一是長放大，寬不變;二是寬放大，長不變;三是長和寬同時(shí)放大，但放大倍數(shù)不同;四是長和寬放大相同倍數(shù)。這樣的素材，一下子讓學(xué)生感悟到圖形放大或縮小的本質(zhì)：大小變而形狀不變。學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解，不再止步于記憶概念，而是獲得一種內(nèi)在感悟，獲得本質(zhì)理解。

3. 凸顯聯(lián)系，提升數(shù)學(xué)理解的效能

數(shù)學(xué)是一門系統(tǒng)性很強(qiáng)的學(xué)科，凸顯數(shù)學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)系，能讓數(shù)學(xué)知識(shí)節(jié)點(diǎn)具有繁殖力，形成一種關(guān)聯(lián)性、內(nèi)聚的知識(shí)整合力量。這里，既要注重知識(shí)的橫向比較，也要注重知識(shí)縱向的長程設(shè)計(jì)。橫向比較，如“三角形的高”與“平行四邊形的高”“梯形的高”的比較;縱向設(shè)計(jì)，如低年級(jí)長度單位教學(xué)，中年級(jí)面積單位教學(xué)，高年級(jí)體積單位教學(xué)，就體現(xiàn)了線面體三維空間概念、度量。凸顯知識(shí)關(guān)聯(lián)，能夠提升數(shù)學(xué)理解的效能。如通過高的比較，學(xué)生能夠感悟到“垂直”的本真內(nèi)涵，即只有相交成直角，而不管位置、方向等因素。

數(shù)學(xué)理解是學(xué)生獲取數(shù)學(xué)知識(shí)的保證，也是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的前提。沒有數(shù)學(xué)理解就沒有學(xué)生有效的思維，學(xué)生就不能真正掌握數(shù)學(xué)思想方法。為理解而教，為理解而學(xué)，師生在教學(xué)中才能有所發(fā)現(xiàn)、有所創(chuàng)造。在這個(gè)過程中，教師要理解數(shù)學(xué)、理解學(xué)生、理解教學(xué)，努力通過自身理解實(shí)現(xiàn)學(xué)生的數(shù)學(xué)理解。