李雪玲

摘要：林俊老師執(zhí)教的《兩條直線的位置關系》一課，抓住學生學習的困難展開教學，教得準、教得深、教得透。具體地，設計了“整體分類”環(huán)節(jié)，從學習的爭議處引入;設計了“認識平行”環(huán)節(jié)，從學習的淺表處追問;設計了“認識垂直”環(huán)節(jié)，從學習的疑惑處澄清;設計了“溝通聯(lián)系”環(huán)節(jié)，從學習的混沌處完善。

關鍵詞：學習困難教學設計兩條直線的位置關系

最近，聽了特級教師林俊老師執(zhí)教的《兩條直線的位置關系》一課，頗受啟發(fā)?？v觀此課，林老師抓住學生學習的困難展開教學，教得準、教得深、教得透。具體表現(xiàn)在如下四個方面：

一、整體分類：從學習的爭議處引入

【教學過程】

師（出示一條直線）直線有什么特點？

生是直的，可以無限延長。

師（出示另一條直線，并讓它順時針轉動）如果有兩條直線，又能組成哪些圖形？組成的圖形又有什么特點？（板書課題）今天，我們就來研究——兩條直線的位置關系。

（學生思考。）

師（出示圖1）你能把它們分成兩類嗎？為什么這樣分？

生①和④為一類，因為它們相交了;②和③為一類，因為它們不相交。

生①和④相交于一點，形成了四個角。

師像①和④這樣，兩條直線有一個公共點叫作兩條直線相交，這個公共點叫作它們的交點。像②和③這樣，兩條直線在同一個平面內(nèi)不相交叫作兩條直線互相平行，其中一條直線就是另一條直線的平行線。（出示圖2）這一組直線屬于哪一類？

生相交。

生平行。

師明明沒有相交，你為什么說是相交？

生直線可以延長，延長以后就相交了。

（教師課件演示兩條直線延長后相交于一點。）

【教學賞析】

從知識的內(nèi)在邏輯來看，平行和垂直是平面幾何主要研究的兩條直線的位置關系。現(xiàn)行大部分教材的設計都是將它們分開教學的。上述教學片段中，林老師將兩者整合了起來，從分類的角度整體認知，避免學生“只見樹木，不見森林”。從分類開始，建立“兩條直線的位置關系”這一上位概念，為學習“垂直”和“平行”這些派生類屬提供支撐，符合教育心理學中“漸進分化”的原則：“學習者在接觸一個陌生的知識領域時，從已知的較一般的整體中分化較特殊的細節(jié)要比從已知的細節(jié)中概括整體容易一些?！贝送猓ㄟ^出示第二條直線，自然地將研究對象從一條直線引向兩條直線;同時讓第二條直線順時針轉動，順勢得到相交（含垂直）和平行的位置關系。這種不確定的關系，又為學生的思考留下了開放的空間，為直觀想象素養(yǎng)的形成制造了契機。

從學生的學習困難來看，認識平面內(nèi)兩條直線的位置關系時，絕大部分學生對明顯相交或平行的情況能夠辨別，但是對看起來沒有相交而延長后可以相交的情況存在較大爭議。因此，林老師先通過對四組直線的分類，揭示相交和平行的概念;再出示一組看起來沒有相交而延長后可以相交的直線，讓學生辨別。這樣的處理，一方面能使學生從整體上認識兩條直線的主要位置關系是相交和平行，而不是垂直和平行;另一方面便于學生利用已經(jīng)建立起來的相交和平行的概念去判斷，從而深化對直線特征的認識，豐富相交概念的外延。

二、認識平行：從學習的淺表處追問

【教學片段】

師（出示圖3）為了便于敘述，我們把同一個平面內(nèi)不相交的兩條直線分別記作直線a和直線b。直線a與直線b互相平行，既可以說直線a是直線b的平行線，也可以說——

生直線b是直線a的平行線。

師“直線a是直線b的平行線，直線b是直線a的平行線”合成一句話就是——

生（眾）直線a與直線b互相平行。

師（將一組平行線依次平移、旋轉、縮短、離遠，如圖4）這兩條直線還互相平行嗎？

生（眾）平行。

師為什么這兩條直線始終互相平行？

生因為它們延長后不會相交。

師那為什么這兩條直線延長后也不會相交？

（學生思考，不得其解。教師先出示兩組平行線，再加上方格背景，如圖5。）

生（恍然大悟，激動地指著左邊一組平行線）這兩條平行線左邊、中間、右邊都一樣寬。

師這兩條平行線左邊相距幾格？中間、右邊呢？

生都相距兩格。

師（把一條平行線向下平移一格）現(xiàn)在呢？

生都相距三格。

師左邊這一組平行線可以看作一條直線向下平移兩格或三格得到的。那右邊這一組呢？

生可以看作一條直線向右平移兩格得到的。

師現(xiàn)在你知道為什么兩條平行線延長后不會相交了嗎？

生兩條平行線之間的寬度是一樣的。

【教學賞析】

學習幾何概念，不僅要認識概念的標準圖形，而且要識別概念的變式圖形。上述教學片段中，林老師將一組平行線依次平移、旋轉、縮短、離遠，讓學生認識平行線的各種變化。如果說平行線的變化只觸及概念的外在形式，那么“為什么這兩條直線延長后也不會相交？”的追問則擊中了概念的內(nèi)在本質。這也正是學生思考不深的地方。在學生“憤悱”之時，林老師伸出援助之手，給平行線加上方格背景，為學生提供思維發(fā)展的“腳手架”。這樣，學生對平行線的概念，就既可以理解為兩條直線之間的“寬度”一樣（即平行線之間的距離處處相等），又可以理解為一條直線是另一條直線平移后形成的。如此，就把兩條直線永不相交的根源講清晰、講透徹、講全面、講深刻了。

三、認識垂直：從學習的疑惑處澄清

【教學片段】

師（出示圖6）這兩組直線都是相交的，有什么不同？

生右邊的兩條直線相交成直角了。

師是嗎？怎么驗證？

生用三角尺上的直角去比一比。

師（課件演示用三角尺的直角去比較，然后指著右邊一組直線）兩條直線相交成直角時，這兩條直線互相垂直，其中一條直線是另一條直線的垂線，這兩條直線的交點叫作垂足。（稍停）左邊這一組直線互相垂直嗎？為什么？

生左邊這一組直線不互相垂直，因為它們沒有相交成直角。

師直線a與直線b互相垂直，我們可以怎么說？

生（眾）直線a是直線b的垂線，直線b是直線a的垂線。

師這兩句話合成一句就是——

生（眾）直線a與直線b互相垂直。

師你能把一張正方形的紙折兩次，使兩條折痕互相垂直嗎？

（學生活動后展示兩種典型的折法：沿對邊中點連線折、沿對角線折。）

師大多數(shù)同學沒有想到沿對角線折的方法，請大家再操作一次。

（學生活動。）

師（出示一組垂線，然后依次延長、縮短一條直線）這兩條直線還互相垂直嗎？

生（眾）垂直。

師（分開兩條直線）現(xiàn)在呢？

生（眾）垂直。

師（整體平移、旋轉兩條直線）現(xiàn)在呢？

生（眾）還互相垂直。

師為什么它們始終互相垂直？

生（眾）因為它們相交成直角。

師（旋轉一條直線，最終呈現(xiàn)圖7）現(xiàn)在這兩條直線還互相垂直嗎？

生（眾）不互相垂直了，不成直角了。

掌握概念，不僅要把握其相關特征（本質屬性），而且要區(qū)分其無關特征（非本質屬性）。垂直概念的本質屬性是兩條直線相交成直角，非本質屬性包括兩條直線畫出來的

長短、是否相交、擺放位置等。上述教學片段中，林老師引導學生在變化對比中凸顯垂直的本質屬性，在操作體驗中外化垂直的本質屬性，在觀察辨析中運用垂直的本質屬性，幫助學生更好地建構垂直的概念：把握垂直的內(nèi)涵，識別垂直的圖形（尤其是“十”字形、“X”字形、“T”字形、“L”字形）。教學經(jīng)驗告訴我們，學生對垂直的認知遠遠低于對平行的認知。林老師深諳此理，在教學中投入了更多的時間，且針對學生的疑惑設計了比對、體驗、辨析等活動，逐步幫助學生澄清關于垂直概念的疑惑。

四、溝通聯(lián)系：從學習的混沌處完善

【教學片段】

師現(xiàn)在，我們知道了兩條直線的位置關系有相交和平行。（用兩根吸管演示）兩條直線相交有1個交點。那么平行呢？

生（用兩根吸管演示）沒有交點。

師如果兩條直線有無數(shù)個交點，那么這兩條直線會怎樣呢？請大家用兩根吸管演示一下。

生（部分）完全重合。

師的確，重合也是兩條直線的位置關系。不過，因為太特殊，所以數(shù)學上并不專門研究它。那么，重合、相交、平行之間有聯(lián)系嗎？用兩根吸管比畫比畫。

生重合的兩根吸管，把其中一根轉一下就相交了。

師這里的“轉一下”，用數(shù)學語言表達就是——

生旋轉。

生重合的兩根吸管，把其中一根移一下就平行了。

師這里的“移一下”，準確地說就是——

生平移。

（教師課件演示：在方格圖中，旋轉重合的兩條直線中的一條成相交、垂直、相交，平移重合的兩條直線中的一條成平行，如圖8。）

師那么，兩條直線的位置關系分成幾類呢？

生三類。

生四類。

師究竟分成幾類？誰來說說理由？

生我認為兩條直線的位置關系分成相交、平行和重合三類，因為垂直只是相交的一種特殊情況，不能算作單獨一類。

生（恍然大悟）喔！

師今天我們主要研究了其中哪兩類？

生平行和相交。

生平行和相交中的垂直。

師你說得更加到位了，了不起！