張齊華

摘要：延展式數(shù)學學習，旨在通過數(shù)學課程資源的雙向拓展與學習時空的雙向延伸，為學生建構(gòu)常規(guī)數(shù)學學習以外的具有拓展性、補償性和豐富性的數(shù)學學習生態(tài)。它可以為學生創(chuàng)造更豐富的學習資源、更開放的學習時空，幫助學生積累活動經(jīng)驗，感悟思想方法，實現(xiàn)數(shù)學學科與數(shù)學歷史文化、現(xiàn)實世界以及其他學科之間的深度關聯(lián)，拓展學科認知的邊界。它可以引導學生在更真實、更綜合的學習場景中獲得更多的學習機會，提升數(shù)學學習品質(zhì)，發(fā)展數(shù)學關鍵能力與必備品格，實現(xiàn)學科育人的根本宗旨。

關鍵詞：延展式數(shù)學學習內(nèi)容研發(fā)實施建議

《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》在課程總體目標中明確提出：“通過義務教育階段的數(shù)學學習，學生能獲得適應社會生活和進一步發(fā)展所必需的數(shù)學的基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗;體會數(shù)學知識之間、數(shù)學與其他學科之間、數(shù)學與生活之間的聯(lián)系，運用數(shù)學的思維方式進行思考，增強發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力?！焙喍灾?，就是要實現(xiàn)由“雙基”向“四基”的拓展，由“兩能”向“四能”的延伸，以更好地實現(xiàn)數(shù)學學科的育人價值。

2014年，教育部印發(fā)《關于全面深化課程改革落實立德樹人根本任務的意見》，提出“教育部將組織研究提出各學段學生發(fā)展核心素養(yǎng)體系，明確學生應具備的適應終身發(fā)展和社會發(fā)展需要的必備品格和關鍵能力”。至此，轉(zhuǎn)變原有的學科教學價值取向，確立“學科育人”的根本宗旨，成為各學科教學與研究的共同價值追求。

史寧中教授在闡明數(shù)學核心素養(yǎng)時明確提出，數(shù)學學習應該培養(yǎng)學生“會用數(shù)學的眼光觀察現(xiàn)實世界、會用數(shù)學的思維思考現(xiàn)實世界、會用數(shù)學的語言表達現(xiàn)實世界”。筆者以為，史教授提出的“三會”，是對數(shù)學學科如何實現(xiàn)學科育人功能的具體化，給數(shù)學教學實踐指明了方向。

當然，在具體的教育教學活動中，讓“四基”“四能”“三會”融入學生的學習，讓學科育人的理念真正落地，僅僅依靠課程理念的更新、教材編寫的調(diào)整以及教學行為的轉(zhuǎn)變還遠遠不夠。課程資源的拓展延伸、學科教學的跨界融合、學習生態(tài)的重新建構(gòu)等都應該成為實踐應對的重要路徑。本文擬從“延展式數(shù)學學習”視角，給出我們團隊近三年的探索與實踐，以與大家商討。

一、延展式數(shù)學學習的內(nèi)涵與意義

（一）延展式數(shù)學學習的內(nèi)涵

所謂延展式數(shù)學學習，是以“學科育人”為根本出發(fā)點，以《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》與現(xiàn)行數(shù)學教材為基本框架，結(jié)合當?shù)厣鐓^(qū)及學生的實際情況，通過數(shù)學課程資源的雙向拓展，學習時間、空間的雙向延伸，為學生建構(gòu)常規(guī)數(shù)學學習以外的具有拓展性、補償性和豐富性的數(shù)學學習生態(tài)。

（二）延展式數(shù)學學習的意義

通過延展式數(shù)學學習，在更豐富的數(shù)學學習資源、更開放的數(shù)學學習時空里，積累更多元的數(shù)學活動經(jīng)驗，感悟更豐富的數(shù)學思想方法;通過延展式數(shù)學學習，實現(xiàn)數(shù)學學科與數(shù)學歷史文化、現(xiàn)實世界以及其他學科之間的深度關聯(lián)，拓展學科認知的邊界;通過延展式數(shù)學學習，在更真實、更綜合的學習場景中，獲得更多的發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、做出假設、展開實驗、獲取結(jié)論、建構(gòu)模型、解釋應用的機會;通過延展式數(shù)學學習，創(chuàng)造更多的“用數(shù)學的眼光觀察現(xiàn)實世界、用數(shù)學的思維思考現(xiàn)實世界、用數(shù)學的語言表達現(xiàn)實世界”的機會，提升數(shù)學學習品質(zhì)，發(fā)展數(shù)學關鍵能力與必備品格。

二、延展式數(shù)學學習的內(nèi)容研發(fā)

內(nèi)容是學習的載體。如何研發(fā)出結(jié)構(gòu)完備、邏輯清晰、難度適宜的延展式數(shù)學學習內(nèi)容，是我們團隊首先面臨的問題。鑒于延展式數(shù)學學習特有的目標定位，我們從歸納與演繹兩個維度，雙線并進進行了學習內(nèi)容的研發(fā)。

一方面，我們結(jié)合目標預設，開發(fā)（歸納）了一組散點式、富有創(chuàng)意的延展式數(shù)學學習教學案例，如《數(shù)說淘寶》《肯德基定價的秘密》《沉默的數(shù)據(jù)》《三門問題》《正方形中的圓》《羊吃草問題》等。大量教學案例的積累，讓我們對“什么是好的延展式數(shù)學學習素材”“延展式數(shù)學學習素材從哪里來”等問題有了越來越清晰的認知。這些，為下一階段系統(tǒng)建構(gòu)延展式數(shù)學學習內(nèi)容奠定了基礎。

另一方面，我們也嘗試以演繹的路徑，建構(gòu)延展式數(shù)學學習相對系統(tǒng)的課程內(nèi)容。

（一）縱向延展：往學科縱深處探秘

延展式數(shù)學學習內(nèi)容，不能純粹成為天馬行空式的數(shù)學拓展產(chǎn)物。在我們看來，數(shù)學課程標準是綱，數(shù)學教材文本則是目。延展式數(shù)學學習應該在教材的基本框架內(nèi)，在已有知識內(nèi)容的基礎上，通過思維的縱向開拓、文化的深度勾連，以及與其他相關學科的跨界融合，創(chuàng)生出有結(jié)構(gòu)、有梯度、有邏輯的學習內(nèi)容。

1.向思維縱深處挺進。

這里的思維縱深處，既包括數(shù)學知識的縱深處、數(shù)學方法的縱深處，也包括數(shù)學思想與觀念的縱深處。當學生的學習觸角已經(jīng)突破教材的邊界，并匯聚了足夠的學習驅(qū)動力時，教師可以順勢而為，在知識、方法、思想、觀念等維度向外延展，以滿足學生更高的學習需求。比如，《多邊形的面積》單元結(jié)束后，我們結(jié)合學生的實際情況，延展出《萬能的梯形面積公式》一課——通過組織探究，引導學生發(fā)現(xiàn)，本單元的多邊形的面積，都可以借助梯形的面積公式進行計算。在探究、發(fā)現(xiàn)、驗證的過程中，既深化了各種多邊形的面積計算，又勾連了不同多邊形面積之間的關系。

2.向文化更遠方漫溯。

任何數(shù)學知識的發(fā)生、發(fā)展都能在數(shù)學歷史的長河中找到線索。單元學習后，我們通常會組織學生以“歷史回眸”的方式，整體回溯單元內(nèi)容的歷史事實與脈絡，幫助學生拓展視野，深化對數(shù)學本質(zhì)的把握。比如，同樣是《多邊形的面積》單元結(jié)束后，我們引導學生開展了《東西方數(shù)學史中的多邊形面積》項目化學習，讓學生在搜集資料、歷史回溯、東西方文化比照等過程中，深化對本單元內(nèi)容的理解和把握，獲得數(shù)學文化的熏陶。

3.向?qū)W科邊界處融合。

不同的學科，各有其基本的邊界;但其實學科之間具有巨大的融合空間與可能性。STEAM課程就是其中的典型樣態(tài)。比如，在《認識三角形》一課結(jié)束后，我們組織學生開展了STEAM課程《如何讓雞蛋從樓頂安全落地》的學習。學習過程中，既有對三角形穩(wěn)定性及其他平面圖形不具有穩(wěn)定性的體驗，同時又涉及科學、工程等學科內(nèi)容。這樣的延展，學科的邊界在消融，更完整、更綜合的跨學科學習得以發(fā)生。

當然，面對同一單元內(nèi)容的不同延展性的學習任務，學生應具有一定的選擇權(quán)——可以根據(jù)自己的興趣愛好與學習小組的實際情況，選擇適合的學習任務。這樣，既增加了延展式數(shù)學學習的選擇性與適切性，也不會對學生造成過重的學習負擔。

（二）橫向延展：在真實世界中探究

數(shù)學是對現(xiàn)實世界中的數(shù)量關系與空間形式的一種抽象化表達。然而，隨著分科學習的不斷推進，數(shù)學與現(xiàn)實世界在不斷疏離，數(shù)學學習越來越呈現(xiàn)出與世隔絕的孤立狀態(tài)。比如，掌握很多知識與方法，卻難以在真實的世界中解決復雜問題、解釋生活現(xiàn)象。鑒于此，我們希望讓數(shù)學有機會重新回歸現(xiàn)實世界，在學生解決復雜問題、解釋生活現(xiàn)象、重構(gòu)認知模型的過程中，重塑數(shù)學的意義與價值，彰顯學科育人的本義。

1.解決現(xiàn)實世界中的真問題。

現(xiàn)實世界充滿無窮的問題，數(shù)學不能解決全部，但至少給我們解決問題提供了獨特的工具與視角。我們應為學生創(chuàng)造平臺，讓數(shù)學有可能在現(xiàn)實世界中一展身手，彰顯價值。比如，“舊小區(qū)究竟該不該安裝電梯”是五年級學生自主研發(fā)的延展性學習內(nèi)容。這是一個十分真實的熱點話題。解決這樣的問題，既涉及費用的分配、房價的波動等數(shù)學知識，同時又會與經(jīng)濟考量、社會決策、人性博弈等深度關聯(lián)。這樣的延展式數(shù)學學習，呈現(xiàn)的是真實復雜的現(xiàn)實問題，還原的是多元融合的學習樣態(tài)，往往對學生具有超越一般數(shù)學內(nèi)容學習的更強的內(nèi)驅(qū)力。

2.解釋現(xiàn)實世界中的真現(xiàn)象。

世界萬事萬物運行的背后，都有某種秩序的支撐。而數(shù)學，往往是其中重要的構(gòu)成因子。透過紛繁復雜的現(xiàn)象，看到數(shù)學在其中所發(fā)揮的作用，是學生更好地理解數(shù)學、感悟數(shù)學的重要載體。比如，有學生發(fā)現(xiàn)，肯德基和麥當勞這兩家競爭對手常常會把門店開在一起。并且，類似的現(xiàn)象還有不少。這引發(fā)了六年級學生極強的探究興趣。于是，“肯德基和麥當勞為何開在一起”便成為延展式數(shù)學學習的話題。再如，肯德基（麥當勞）幾乎很難看到打折促銷活動，相應的優(yōu)惠券也從不會在柜臺上直接提供。于是，“肯德基優(yōu)惠券背后的秘密”也成為延展式數(shù)學學習的話題。隨著研究的推進，學生會不斷發(fā)現(xiàn)，這些看似尋常的生活現(xiàn)象背后，蘊含著一般人難以洞察的數(shù)學原理，比如博弈論中的納什平衡，比如差異定價與價格歧視，等等。這樣的延展式數(shù)學學習，幫助學生積累了活動經(jīng)驗，拓展了思維方式，深化了對數(shù)學意義和價值的深度體認。

3.重建認知世界的新模型。

日常的數(shù)學課堂教授學生認知世界的基本方式與邏輯，但現(xiàn)實世界顯然需要更開闊的思維視域和更全面的認知模型。以“統(tǒng)計與概率”領域的學習為例，我們研發(fā)了“數(shù)說淘寶”“沉默的數(shù)據(jù)”等一系列延展式數(shù)學學習內(nèi)容。如果說，前者給學生帶來的是“數(shù)據(jù)會說話”“數(shù)據(jù)會撒謊”“決策很艱難”等認知感悟，那么后者給學生帶來的則是“數(shù)據(jù)有時會沉默”“沉默的數(shù)據(jù)會帶來認知的偏差”“看得見的數(shù)據(jù)未必是有效的數(shù)據(jù)”“決策中常常會有偏見”等思維洞察。這樣的延展式數(shù)學學習，指向的往往不再是知識的加深，而是思維方式的重建、認知的迭代、解釋框架的更新。簡言之，就是數(shù)學頭腦的升級。而這，無疑是數(shù)學學習更值得期待的效能。

三、延展式數(shù)學學習的實施建議

由于學習目標新的定位，加上學習內(nèi)容的特殊性，延展式數(shù)學學習在付諸實踐的過程中，既有與日常數(shù)學課堂相通的地方，也有其特殊性。具體表現(xiàn)為教師的“教”、學生的“學”與師生的“評”。

（一）教師的“教”：重要的是學習支架的搭建

1.啟動學習。

由于延展式數(shù)學學習內(nèi)容具有一定的拓展性，并一般會與現(xiàn)實世界、生活實際及數(shù)學歷史的方方面面產(chǎn)生深度關聯(lián)。所以，正式的學習一定在課堂開始之前。教師應通過預習任務、前置學習單的設計，組織學生提前搜集資料、了解背景、調(diào)查數(shù)據(jù)，為課堂上延展式數(shù)學學習做好充分準備。

2.設計任務。

教師應根據(jù)學習目標，設計針對性、開放性、挑戰(zhàn)性、綜合性的學習任務，以學習流程圖、學習任務單、學習項目書等方式，給學生的延展式數(shù)學學習提供活動線索的指引、任務流程的示范和思維活動的“腳手架”等，為學生有序、高效地完成學習奠定基礎。

3.組織共享。

不同的學習個體或?qū)W習小組，會就某一話題有不同深度、不同層次、不同角度的理解。加上基于復雜現(xiàn)實背景的問題，更多的時候并沒有標準答案、唯一答案。所以，教師應引導學生充分地表達自己的觀點以及形成觀點的過程，關注他們的思維本身以及他們在此過程中的理解、體驗、情感等。共享的過程，是觀點分享的過程，是思維碰撞的過程，是觀念融合的過程，更是學科價值不斷內(nèi)化吸收的過程。

4.回顧梳理。

延展式數(shù)學學習非線性、不確定的特質(zhì)，需要教師在組織教學后引導學生回顧、梳理學習過程，對學習過程中的得失、感悟、啟迪等進行“復盤”。每一次的回顧、梳理，都會讓有益的方法得到鞏固，有效的思維得到提煉，正確的價值觀得到深化。所有這一切，會使學生在以后面對相似的學習任務或現(xiàn)實情境時，能夠舉一反三，實現(xiàn)思維與問題解決方法的遷移，最終實現(xiàn)數(shù)學素養(yǎng)的有效提升。

（二）學生的“學”：著眼深度卷入與對話

與教師的“教”相對應，學生的“學”也應該在如下四個方面做好規(guī)劃與設計：提前浸入、深度研究、多元對話與全面反思。在這里，特別需要提醒的是，在縱向延展式數(shù)學學習中，我們要鼓勵學生跳出知識與一般數(shù)學方法的局限，而更多地從數(shù)學思維方式、數(shù)學認知模式、方法論、數(shù)學文化理解等角度展開深度學習。在橫向延展式數(shù)學學習中，我們要鼓勵學生既基于數(shù)學學科的視角思考，感受數(shù)學思維對于理解、解釋現(xiàn)實問題的價值;同時，又不能囿于數(shù)學學科的視角，要敢于站在跨學科、全學科的立場上，多視角、整體性地把握問題，獲得對現(xiàn)實問題全局式的理解。表現(xiàn)在學習方式上，我們更倡導學生開展研究性學習、項目化學習、跨學科的STEAM學習，以便以一種更融合、更真實的視角，深度卷入學習過程，獲得思維、情感、人格的全面提升。

（三）師生的“評”：指向數(shù)學學科育人

評價是為了更好地省察延展式數(shù)學學習活動的過程及效能，評估師生在其中的收獲與成長，也為后續(xù)學習活動的設計、規(guī)劃與實施提供參照與借鑒。

1.評價教師的“教”。

對教師而言，這是一種反思性評價。學習任務結(jié)束后，教師需要對教學內(nèi)容的適切性、教學流程的科學性、教學任務的合理性、活動推進的有效性等多個維度，做出全面、客觀的評估。當然，學生對此也同樣具有評價的權(quán)利——他們可以以自己的切身體驗，通過問卷、訪談等方式給出自己的評價與建議。評價本身，既可以讓這一次延展式數(shù)學學習的任務得到修整與完善，為其他學生開展學習活動創(chuàng)造更好的學習環(huán)境，同時也有利于教師反思并完善下一次延展式數(shù)學學習，從而使教師在不斷的經(jīng)驗傳承過程中優(yōu)化教學活動的設計，提升延展式數(shù)學學習的整體效能。

2.評價學生的“學”。

評價的主體可以是學習者本身，也可以是學習團隊中的同伴，當然更離不開教師，以及協(xié)助參與延展式數(shù)學學習的家長及其他人群。評價主體的多元，可以消解單主體（一般為教師）評價所形成的偏見和盲區(qū)，可以讓評價更客觀、公正，也更有利于全方位展現(xiàn)學生的表現(xiàn)。評價的方式同樣可以多樣化——可以是學生的可視化作品，可以是師生間的互動訪談與交流，可以是項目實踐過程中的教師觀測，當然也可以是精心設計的基于任務的紙筆檢測等。評價內(nèi)容也較傳統(tǒng)數(shù)學課堂更開放、更多元——可以評價學生學習活動的參與度，學習過程中表現(xiàn)出的思維，解決問題過程中能否與同伴協(xié)作并共享，任務完成過程中是否積累活動經(jīng)驗、感悟思想方法、善于提出問題、形成數(shù)學眼光等。所有這一切，都指向上文中的“四基”“四能”“三會”的要求，并最終指向數(shù)學學科的育人價值這一核心訴求。