孫文敏

摘 要：隨著新課改的貫徹與實(shí)施，素質(zhì)教育越來越受到人們的重視，而以人文本的教學(xué)理念，要求高中數(shù)學(xué)教師在解題教學(xué)中，將側(cè)重點(diǎn)放在傳授學(xué)生解題思路和方法上面，代換法就是其中最常用的一種。通過對(duì)代換法的有效應(yīng)用，可以幫助學(xué)生簡(jiǎn)化數(shù)學(xué)題目，減低解題難度，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力和效率，是促進(jìn)學(xué)生在數(shù)學(xué)教學(xué)中實(shí)現(xiàn)全面發(fā)展的有效途徑。本文主要結(jié)合自身多年的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，對(duì)高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，最常見的代換類別進(jìn)行了簡(jiǎn)單的分析探討。

關(guān)鍵詞：代換法;高中數(shù)學(xué);解題教學(xué);應(yīng)用策略

引言

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，使用多樣化的代換法進(jìn)行解題，不僅能夠簡(jiǎn)化題目?jī)?nèi)容，降低題目難度，還可以拓展學(xué)生的解題思路，激發(fā)學(xué)生的發(fā)散思維，由此可見，靈活掌握代換法的運(yùn)用方法和規(guī)律，對(duì)促進(jìn)學(xué)生的綜合發(fā)展有著至關(guān)重要的推動(dòng)作用。

一、代換法的概述

代換法是數(shù)學(xué)解題中最常用的一種解題思路，利用代換法，學(xué)生可以在面對(duì)復(fù)雜數(shù)學(xué)問題的時(shí)候，通過數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)之間的內(nèi)在聯(lián)系，對(duì)題目中的數(shù)量關(guān)系進(jìn)行適時(shí)轉(zhuǎn)化，將問題簡(jiǎn)單化，進(jìn)而有效提高學(xué)生的解題效率。代換法在高中數(shù)學(xué)的解題中，主要有三角代換法、等量代換法、變量代換法、比值代換法等，通過對(duì)代換法的靈活運(yùn)用，不僅可以加強(qiáng)學(xué)生的解題能力，還可以鍛煉學(xué)生的思維能力，促進(jìn)學(xué)生的綜合發(fā)展。

二、代換法在高中數(shù)學(xué)解題中的有效應(yīng)用策略

（一）三角代換的應(yīng)用

三角代換法是高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中運(yùn)用比較廣泛的一種代換思維，通過數(shù)字表達(dá)與三角表達(dá)形式的相互轉(zhuǎn)化，可以幫助學(xué)生將復(fù)雜的問題簡(jiǎn)單化，利用三角式的證明和解答，降低代數(shù)式的解題難度。

例如，在求解高中函數(shù) ? ? ? ?取值范圍的時(shí)候，首先要對(duì)題目進(jìn)行分析，通過觀察可以發(fā)現(xiàn)該函數(shù)的定義域與正弦函數(shù)的值域是相對(duì)應(yīng)的，因此，教師可以引導(dǎo)學(xué)生套用正弦函數(shù)公式 ? ? ? ?，將代數(shù)函數(shù)轉(zhuǎn)化成三角函數(shù)，即 ? ? ? ? ? ?，最后通過對(duì)三角函數(shù)的計(jì)算，得到最終 ? 的值域。

（二）等量代換的應(yīng)用

等量代換指的就是用一種量來代替與之相等的另一種量，主要應(yīng)用在解決高中數(shù)學(xué)概率型題目過程中。而等量代換法的有效應(yīng)用，不僅需要學(xué)生具備較強(qiáng)的計(jì)算能力和清晰的解題思路，還需要學(xué)生擁有較強(qiáng)分析、概括的能力，從而能夠?qū)?fù)雜的概率問題進(jìn)行簡(jiǎn)化，降低解題難度。

例如，超市在開展抽獎(jiǎng)活動(dòng)的時(shí)候，在箱子里放了10個(gè)大小、形狀都一模一樣的小球，其中8個(gè)紅的，2個(gè)白的，每位顧客一次可以從中摸2個(gè)球，那么顧客摸出來2個(gè)都是白球的概率是多少？

在解題過程中，首先設(shè)置題目的未知量，即摸出2個(gè)白球的概率，可以用 ?來表示，然后運(yùn)用組合的計(jì)算形式，計(jì)算方程式 ? ? ? ，最終得出概率為0.02222。那么幾天后活動(dòng)繼續(xù)，小球沒有變，只是磨掉了球上的數(shù)字，那么此時(shí)一次摸出2個(gè)白球的概率是多少呢？可以用 ?來表示，假設(shè)個(gè)體有區(qū)別，對(duì)題目的運(yùn)算產(chǎn)生的影響，然后代入等量代換，會(huì)發(fā)現(xiàn)影響最終概率結(jié)果的只會(huì)是小球的顏色而不是號(hào)碼，最終得出 ? ? ?的結(jié)論。

（三）變量代換的應(yīng)用

所謂的變量代換，指的就是在解題過程中，利用變量的代換，對(duì)復(fù)雜數(shù)學(xué)問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，尋找易于求解的方法。在高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，變量代換法是最常用的一種代換方式，可以應(yīng)用在函數(shù)求解、證明計(jì)算等多種數(shù)學(xué)題目中，幫助學(xué)生脫離復(fù)雜題目的困惑，通過簡(jiǎn)化計(jì)算過程，實(shí)現(xiàn)階梯效率的提升，同時(shí)還可以鍛煉學(xué)生的發(fā)散思維能力，培養(yǎng)學(xué)生的問題分析能力和解決能力，為學(xué)生的綜合發(fā)展提供有效動(dòng)力。

例如，在解答不等式證明題：已知m>1，n>1，p>1。求證 ? ? ? ? 。通過分析不難發(fā)現(xiàn)，直接證明的解題方式在該題中并不適用，教師可以利用變量代換的方式，將題目中的變量進(jìn)行轉(zhuǎn)化，用以簡(jiǎn)化計(jì)算過程，如用χ代換m-1，用 y代換n-1，用z代換p-1，得出 ? ? ? ? ? ? ，已知條件中表明m，n，p均是大于1的，所以可以得出結(jié)論

都大于0，然后將變量代入不等式左側(cè)，可以得出 ? ? ? ? ? ? ? ?，通過計(jì)算得到最終結(jié)果證明， ? ? ?是成立的。

（四）比值代換的應(yīng)用

比值代換指的就是題目中已知條件或所求量與變量之間存在比值關(guān)系的時(shí)候，可以利用比值代換實(shí)現(xiàn)對(duì)問題的簡(jiǎn)化，進(jìn)而有效提高學(xué)生的解題效率，全面實(shí)現(xiàn)學(xué)生解題能力的提升。

例如，在解答直線方程題目的時(shí)候，已知該直線過點(diǎn)（-3，5，9），并與另一條直線L1/L2相交，其中 ? ? ? ? ，而 ? ? ? ? ?，那么該直線的方程式如何表示。在解題過程中，首先假設(shè)該直線方程為 ? ? ? ? ?，然后令其等于t，將運(yùn)算所得的 ? 代入到L1中，得到（m-3I）=1n=2I，在令其等于s，得到 ? ? ? ? ? ? ?，再將所得的 ? 代入到L2中，利用倒推法最終得出m-4I/n-5I=6，再對(duì)其代入n-2I，得出m=22I，最后令I(lǐng)=1求得m=22，n=2，由此可知該直線方程為 ? ? ? ? ? 。

結(jié)語(yǔ)

綜上所述，在高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，代換法是最常見，也是最有效的解題方法之一，不僅能夠幫助學(xué)生簡(jiǎn)化題目、梳理思路，還能夠鍛煉學(xué)生思維能力的發(fā)散性和敏捷性，通過對(duì)多種代換形式的靈活掌握和有效運(yùn)用，可以達(dá)到化繁為簡(jiǎn)、化難為易的其妙效果，進(jìn)而有效提高學(xué)生的解題水平和能力，增加學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信心，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和積極性，進(jìn)一步促進(jìn)學(xué)生綜合數(shù)學(xué)能力的提升與發(fā)展。

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