王凱東，李宏浩

(沈陽工業(yè)大學 國家稀土永磁電機工程技術研究中心，沈陽 110870)

0 引 言

永磁同步電機具有結構簡單、運行可靠，高效率等特點，在牽引系統(tǒng)、高精密控制系統(tǒng)等場合廣泛應用，特別是在高精度數(shù)控機床。采用永磁同步電機直接驅動的伺服系統(tǒng)中，不需要經(jīng)過機械傳動結構，負載與永磁同步電機直接相連。但采用這種直接連接的方式也帶來許多問題，如負載擾動、參數(shù)變化等，這對所設計的控制器能否保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性和抗干擾性能提出了更高的要求。因此，高精度永磁同步伺服電機系統(tǒng)必須滿足低速重切削、高速重加工以及負載突然變化系統(tǒng)的穩(wěn)定性、快速性，也就是要求系統(tǒng)具有一定的魯棒性。在實際應用中,不可避免地存在外界擾動以及系統(tǒng)不確定性, 而模型預測控制由于能夠方便地處理各種約束。因此,魯棒預測控制作為模型預測控制的重要分支,近年來受到各界的廣泛關注[1-2]。

由于可以方便地描述非線性對象以及參數(shù)變化對象等,不確定系統(tǒng)的預測控制器設計獲得普遍應用[3-6]。文獻基于不變集理論,采用LMI方法設計了魯棒控制器，考慮了H∞指標下的有約束預測控制問題。

文獻[4]考慮了H∞指標下的有約束預測控制問題.文獻[6]通過離線設計兩個橢圓不變集以降低設計的保守性,進而提出一種有界擾動系統(tǒng)的高效魯棒預測控制器(SD-ERPC)的設計方法。文獻[7]基于微分幾何理論，把系統(tǒng)模型轉化為線性模型而設計的H∞魯棒控制器。

在實際應用中,人們通?？梢赃x取H2性能指標來設計魯棒控制器以獲得較好的閉環(huán)控制性能。但是,外界擾動也是必須設計考慮的因素,否則可能會對整個閉環(huán)系統(tǒng)性能和穩(wěn)定性造成潛在的威脅。因此,對于實際應用而言,如何在控制器的設計中有效地平衡H2和H∞性能指標是一個重要問題。因此,在魯棒控制領域,一些研究者很自然的想到將二者結合。文獻[8]針對有擾動的線性定常系統(tǒng)采用混合指標方法進行魯棒預測控制器設計, 并將其應用到懸掛系統(tǒng)的控制中。文獻[9]的設計將給定的H2性能指標作為前提條件,通過在線優(yōu)化H2性能指標來決定系統(tǒng)的當前控制量,可以起到平衡系統(tǒng)的魯棒性和閉環(huán)控制性能的作用。但是,由于文獻[10]仍然采用文獻[4]中的反饋律和Lyapunov函數(shù)的設計,其設計的保守性將導致系統(tǒng)較小可行域和較差的閉環(huán)控制性能。

因此，本文提出了一種基于LMI的混合H2/H∞的永磁同步伺服系統(tǒng)的魯棒預測控制器，該控制器針永磁同步電機伺服系統(tǒng),將混合的H2/H∞性能指標與模型預測控制方法相結合,并且使用LMI進行求解，使得系統(tǒng)具有較好的魯棒性能和穩(wěn)定性,同時具有良好的跟蹤性能和較強的抗干擾能力。

1 永磁同步電機數(shù)學模型

永磁同步電機的在d-q坐標下的動態(tài)方程

(1)

永磁同步伺服電機是一個非線性、強耦合系統(tǒng),并且為隱極式永磁同步電機，即Ld=Lq,采用id=0的控制策略，則永磁同步電機的電磁轉矩方程可以簡化為

(2)

運動方程

(3)

利用向前差分對狀態(tài)方程離散化,得到以下離散化模型：

(4)

(5)

其中，s(k)=[id,iq,ωiq,ω]；u(k)=[ud,uq]；ω(k)=[0,0,0,TL]。式中，ud、uq、id、iq、Ld、Lq分別為d、q軸上的定子電壓、電流和電感；Rs為定子相繞組電阻；ψf為永磁磁鏈；ω為轉子角速度；J為轉動慣量；B為粘滯摩擦系數(shù)；Te為電磁轉矩；TL為負載轉矩；np為極對數(shù)；t為時間步長。

2 基于LMI的混合H2/H∞魯棒預測控制器的設計

(1)H∞性能指標,即擾動ω(k)到系統(tǒng)輸出z(k)的傳遞函數(shù)Tzω滿足

‖Tzω‖∞≤γ

(6)

(2)H2性能指標,即系統(tǒng)輸出z(k)滿足

(7)

基于上述設計目標，一般事先給定其中的一個性能指標，優(yōu)化另一個指標來設計控制器。文獻[8]通過擴展文獻[3]的方法給出了針對線性定常系統(tǒng)的混合H2/H∞魯棒預測控制的方法,并未考慮系統(tǒng)的不確定性。對于文獻[9]的方法由于擾動的存在無法保證系統(tǒng)的遞歸可行性。鑒于以上問題,本文提出了一種混合H2/H∞的魯棒預測控制綜計方法。

對控制策略中的反饋控制律u(k)=kx(k),設計Lyapunov函數(shù)V(x)=xTPx,且P>0。令φ(k)=A(k)+B(k)K，則

(8)

其中，

(9)

上式可轉化

(10)

由式(10)可知：

(1)根據(jù)魯棒控制理論,性能指標即擾動ω(k)到系統(tǒng)輸出z(k)的傳遞函數(shù)Tzω滿足‖Tzω‖∞≤γ；因此，當x(0)=0時擾動到輸出的傳遞性能為

(11)

所以若式(10)中M(k)≤0成立,則式(11)得以滿足,即H∞性能指標得以滿足。

(2)當M(k)≤0時，若

(12)

滿足,則H2性能指標得以滿足。其中M(k)≤0可改寫為

(13)

式(13)可以轉化為

(14)

應用Schur補性質,式(13)可寫成LMI形式

(15)

由式(14)可知,如果不確定系統(tǒng)模型的每個頂點都滿足式(14),則其凸組合也必然滿足式(14)。令Q=αP-1,K=YQ-1并將式(14)左、右乘以diag(P-1,I,I,I,I),可得若

(16)

滿足，則式(14)可以滿足。

考慮系統(tǒng)的不確定性時,式(16)即退化為文獻[8]中的結論。綜上所述,當系統(tǒng)滿足式(15)和式(16)時,系統(tǒng)同時滿足H2和H∞的性能指標。

3 系統(tǒng)可行性條件

考慮式(8),式(12)和式(15)可知,式(15)僅僅保證M(k)≤0。由式(8)可知,由于擾動存在,式(11)和式(12)不能保證γ2ωT(k)ω(k)-zT(k)z(k)<0始終成立。也就是說,當擾動存在時,不能保證Lyapunov函數(shù)遞減。因此,即便M(k)≤0,V(x(k+1))-V(x(k))≤0不是始終成立。這也就意味著,即便當前狀態(tài)x(k)屬于集合{x|xTQ-1x≤1},下一時刻狀態(tài)x(k+i)不能保證屬于{x|xTQ-1x≤1}。文獻[8]并沒有注意到這個問題,因此其算法不能保證遞歸可行性。設當前系統(tǒng)狀態(tài)為x(k), 則下一時刻系統(tǒng)狀態(tài)為φ(k)x(k)+Bωω(k),令V(k)=Bωω(k),x(k+1)為名義系統(tǒng)狀態(tài),要使系統(tǒng)狀態(tài)x(k+1)處于橢圓內,即要求xT(k+1)Q-1x(k+1)≤xT(k)Q-1x(k)≤1,等價于

(17)

[Bωω(k)ω(k)]T[Bωω(k)ω(k)]≤λωmaxI

式(18)可分解為

(18)

(19)

其中0≤α≤1，如果保證式(18)和式(19)成立，則式(17)成立，既保證了系統(tǒng)狀態(tài)x(k+1)處于橢圓里面。α為給定量，并且式(19)等價于

(20)

由文獻[10]，若

π=(1-α)(Q-λωmaxIα-1),i=1,2,…

(21)

成立，則是式(16)和式(19)成立。

如果系統(tǒng)當前狀態(tài)x(k)滿足式 (15), 則其處于集合{x|xTQ-1x≤1}中; 如果同時式 (18) 和式(19) 也滿足, 則可保證x(k+1)仍處于該集合中。 因為(1-α)Q≥(1-α)(Q-ωmaxIα-1), 由式 (21) 可得, 較大的α會造成系統(tǒng)可行域減小。

類似文獻[3]，對于集合{x|xTQ-1x≤1}，如果滿足

(22)

可以滿足，則約束條件式(4)可以保證，其中Zii為矩陣Z的對角線元素。對于約束條件(5)可以類似表示為

(23)

綜上所述，當給定H∞性能指標γ，可以表示為

(24)

s.t.式(21)，式(22)，式(23)

式(24)中，式(21)保證了系統(tǒng)H2/H∞指標，式(22)、式(23)保證系統(tǒng)輸出和輸入的約束。通過LMI求解工具，解出預測控制器K。

對于控制器(24),給定H2指標α，反過來也可以類似地給定H∞指標γ為優(yōu)化目標得到H∞魯棒預測控制器。

定理1 對于系統(tǒng)(5),在k時刻，式(23)可行，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。

4 仿真及分析結果

為了驗證混合H2/H∞魯棒預測控制器有效性，采用Matlab/Simulink進行仿真研究。PMSM伺服系統(tǒng)的參數(shù)為:磁鏈ψf=0.812 Wb，定子電阻Rs=0.506Ω,電感0.6385mH。帶入離散狀態(tài)方程，得到狀態(tài)方程參數(shù)分別為

根據(jù)式(22)，利用Matlab自帶的LMI工具箱進行求解，求得的混合H2/H∞魯棒預測控制器K為

圖1、圖2分別為采用PI調節(jié)器和魯棒預測控制器K的閉環(huán)系統(tǒng)階躍響應曲線，從圖中可以看出永磁電機在空載下，采用魯棒預測控制器K時的閉環(huán)系統(tǒng)的動態(tài)響應要比采用PI調節(jié)器快，超調量小，且不影響其穩(wěn)定性，改善了永磁伺服電機的動態(tài)響應能力，滿足其對快速性的要求。

由于永磁伺服電機系統(tǒng)易受負載擾動的影響。因此，當系統(tǒng)穩(wěn)定時，負載轉矩突然變大。采用混合H2/H∞魯棒預測控制器K所得到的閉環(huán)系統(tǒng)階躍響應曲線如圖3所示。仿真結果表明，當負載轉矩發(fā)生較大變化，所設計的控制器K仍能使閉環(huán)系統(tǒng)在較短時間內達到穩(wěn)態(tài)，而且超調較小，這說明伺服系統(tǒng)對參數(shù)變化具有較強的魯棒穩(wěn)定性。

在t=0.3s時加擾動TL=2Te，混合H2/H∞魯棒預測控制器閉環(huán)系統(tǒng)階躍響應曲線如圖4所示。仿真結果表明，在突加負載擾動情況下，閉環(huán)系統(tǒng)仍能短時間內恢復穩(wěn)定，說明系統(tǒng)具有較強的抗干擾能力，滿足了永磁電機伺服系統(tǒng)對抗干擾能力的要求。

圖1 閉環(huán)系統(tǒng)階躍響應曲線(PI調節(jié)器)

圖2 閉環(huán)系統(tǒng)階躍響應曲線(魯棒預測)

圖3 閉環(huán)系統(tǒng)階躍響應曲線(混合H2/H∞魯棒)

圖4 t=0.3s閉環(huán)系統(tǒng)階躍響應曲線(混合H2/H∞魯棒)

5 結 論

由于數(shù)控車床采用永磁電機直接驅動技術，因而易受外界及自身擾動的影響，這直接影響了系統(tǒng)的伺服性能。本文基于LMI設計的混合H2/H∞魯棒預測控制器同時考慮兩個重要的魯棒性能指標，不但保證了系統(tǒng)的穩(wěn)定性，改善了閉環(huán)系統(tǒng)的動態(tài)響應性能，還使系統(tǒng)具有較強的魯棒性，在一定程度上解決了快速性和魯棒性之間的矛盾，滿足了高精度直接驅動永磁電機伺服系統(tǒng)對快速性和魯棒性的要求。