吳超嫦

摘 要：數(shù)學(xué)既是一門(mén)演繹科學(xué)，又是一門(mén)實(shí)驗(yàn)歸納科學(xué)。在數(shù)學(xué)教育中，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的實(shí)施有助于學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)理論的直觀認(rèn)知，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是結(jié)合數(shù)學(xué)教育需要，適應(yīng)教育技術(shù)發(fā)展的重要手段。數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的類(lèi)型包括驗(yàn)證性數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)和探索性數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，驗(yàn)證性數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)立足已知的結(jié)論，通過(guò)實(shí)驗(yàn)形式展現(xiàn)推導(dǎo)過(guò)程，給予學(xué)生理論描述更直觀的體會(huì);探索性的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)則通過(guò)對(duì)未知結(jié)論的探索，引領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)思維的構(gòu)建。數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是數(shù)學(xué)理論的再發(fā)現(xiàn)的途徑之一，可豐富教學(xué)形式，推動(dòng)數(shù)學(xué)教育的發(fā)展。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)教育;數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn);探索性數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn);驗(yàn)證性數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn);教育發(fā)展

一、什么是數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)

在數(shù)學(xué)領(lǐng)域，對(duì)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)有著不同的理解和看法。本文中的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)并非簡(jiǎn)單地指“思維實(shí)驗(yàn)”，而是指在一定的實(shí)驗(yàn)條件下，借助一定的物質(zhì)手段，借助數(shù)學(xué)思維活動(dòng)，為獲得一定的數(shù)學(xué)理論和檢驗(yàn)一定的數(shù)學(xué)思想而進(jìn)行的探索和研究活動(dòng)。從實(shí)驗(yàn)的目的來(lái)看，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)可以分為驗(yàn)證性實(shí)驗(yàn)和探索性實(shí)驗(yàn)。

二、為什么要在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中開(kāi)展數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)

1.數(shù)學(xué)自身特點(diǎn)決定了要在教學(xué)中開(kāi)展數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)

美籍匈牙利數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)教育家喬治·波利亞（George Polya）曾精辟地指出：“數(shù)學(xué)有兩個(gè)側(cè)面，一方面它是歐幾里得式的嚴(yán)謹(jǐn)科學(xué)，從這個(gè)角度看，數(shù)學(xué)像是一門(mén)系統(tǒng)的演繹科學(xué);但另一方面，創(chuàng)造過(guò)程中的數(shù)學(xué)，看起來(lái)卻像一門(mén)實(shí)驗(yàn)性的歸納科學(xué)?！备鶕?jù)瑞士數(shù)學(xué)家歐拉的說(shuō)法，“數(shù)學(xué)是一門(mén)需要觀察和實(shí)驗(yàn)的科學(xué)。因此，數(shù)學(xué)不僅是一門(mén)演繹和推理的學(xué)科，也是一門(mén)實(shí)驗(yàn)和歸納的學(xué)科。

2.學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)決定了要在教學(xué)中開(kāi)展數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)

夸美紐斯，16世紀(jì)著名的捷克教育理論家和實(shí)踐者，在《大教學(xué)論》中提到過(guò)：“知識(shí)的開(kāi)端永遠(yuǎn)是從感官來(lái)的”“科學(xué)的真實(shí)性與可靠性，其所依賴于感官的證明比其他一切事項(xiàng)要多?！薄案泄偈怯洃涀羁尚诺钠鸵?，所以，如果這種感官的自覺(jué)方法能被普遍采用，它就能使知識(shí)一經(jīng)獲得以后，永遠(yuǎn)保住?！?/p>

皮亞杰的認(rèn)知發(fā)展理論認(rèn)為：認(rèn)知發(fā)展過(guò)程是主體的主動(dòng)建構(gòu)過(guò)程，主體對(duì)信息進(jìn)行整理、歸類(lèi)、創(chuàng)造，并將之納入已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中。因此，知識(shí)不是由教師傳授的，而是由學(xué)習(xí)者在一定的社會(huì)和文化背景下，在其他人（包括教師和學(xué)習(xí)伙伴）的幫助下，借助必要的學(xué)習(xí)材料和通過(guò)意義的建構(gòu)來(lái)獲得的。

美國(guó)教育家戴爾的“經(jīng)驗(yàn)之塔”理論把學(xué)習(xí)分為三類(lèi)，共十個(gè)層次，從下到上是寶塔形的，分別是做的經(jīng)驗(yàn)、觀察的經(jīng)驗(yàn)和抽象的經(jīng)驗(yàn)。戴爾認(rèn)為，教育應(yīng)該從具體的經(jīng)驗(yàn)開(kāi)始，逐步抽象。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的有效途徑應(yīng)該是充滿具體的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)的，而獲得數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)的最佳途徑就是做數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)。

3.數(shù)學(xué)教育的需求決定了要在教學(xué)中開(kāi)展數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)

在數(shù)學(xué)教育中，邏輯推理一直受到人們的重視，而實(shí)驗(yàn)、猜測(cè)、歸納、創(chuàng)新能力的培養(yǎng)，對(duì)科學(xué)突破具有重要意義，卻沒(méi)有得到足夠的重視。學(xué)生越來(lái)越不了解數(shù)學(xué)從何而來(lái)，感覺(jué)越來(lái)越枯燥，越來(lái)越不喜歡數(shù)學(xué)。

數(shù)學(xué)教育專(zhuān)家鄭毓信教授認(rèn)為，在數(shù)學(xué)教育中，我們不應(yīng)該唯一強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)知識(shí)的掌握，而應(yīng)更加重視，使學(xué)生像數(shù)學(xué)家一樣去工作，像數(shù)學(xué)家一樣去思維。而在數(shù)學(xué)教學(xué)中進(jìn)行數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，可以使學(xué)生在教師的指導(dǎo)下，從“聽(tīng)”轉(zhuǎn)變?yōu)椤白觥?。從過(guò)去被動(dòng)地接受現(xiàn)成的數(shù)學(xué)知識(shí)，轉(zhuǎn)變?yōu)楝F(xiàn)在像“研究者”一樣去發(fā)現(xiàn)和探索知識(shí)。中科院院士、數(shù)學(xué)教育學(xué)家姜伯駒指出，“應(yīng)該組織數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課程，在教師指導(dǎo)下，通過(guò)學(xué)生自己動(dòng)手計(jì)算、體驗(yàn)解決問(wèn)題的過(guò)程，探索某些理論或應(yīng)用的課題，使新鮮想法借助數(shù)學(xué)軟件可以迅速實(shí)現(xiàn)，從而在失敗與成功中得到真知。這種方式，變被動(dòng)的灌輸為主動(dòng)的參與，有利于培養(yǎng)學(xué)生的獨(dú)立工作能力和創(chuàng)新精神?！?/p>

4.教育技術(shù)發(fā)展的狀況決定了可以在教學(xué)中開(kāi)展數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)

近年來(lái)，多種多樣的實(shí)物模型變得非常常見(jiàn)，計(jì)算機(jī)、TI圖形計(jì)算器也逐漸在學(xué)校里普及，這為數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的開(kāi)展提供了物質(zhì)保障，《幾何畫(huà)板》《數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室》《Z+Z智能教育平臺(tái)》《Mathmatica》《Maple》《MATLAB》《MathCAD》等一批軟件的應(yīng)用則提供了強(qiáng)大的技術(shù)支持。現(xiàn)在，我們不僅能使用模型等實(shí)驗(yàn)手段進(jìn)行傳統(tǒng)的“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)”，也能利用各種軟件進(jìn)行廣泛的計(jì)算機(jī)輔助實(shí)驗(yàn)。

三、怎樣開(kāi)展數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)

1.數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)的基本原則

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)除了遵循教學(xué)設(shè)計(jì)的一般性原則以外，還應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：

（1）實(shí)驗(yàn)內(nèi)容應(yīng)當(dāng)適合學(xué)生的知識(shí)水平和年齡特點(diǎn)。

（2）實(shí)驗(yàn)問(wèn)題要貼近學(xué)生生活，以激發(fā)學(xué)生研究興趣，讓學(xué)生從實(shí)驗(yàn)過(guò)程中了解數(shù)學(xué)的價(jià)值。

（3）實(shí)驗(yàn)過(guò)程應(yīng)可控、可伸縮，可隨時(shí)添加一些數(shù)學(xué)元素或條件，以幫助探索問(wèn)題。

（4）實(shí)驗(yàn)通常由學(xué)生直接進(jìn)行，通過(guò)啟發(fā)式提問(wèn)，教師在學(xué)生實(shí)驗(yàn)過(guò)程中起到引導(dǎo)、輔導(dǎo)和幫助學(xué)生學(xué)習(xí)的作用。

（5）要設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)報(bào)告，學(xué)生在實(shí)驗(yàn)后完成。

2.驗(yàn)證性實(shí)驗(yàn)教學(xué)案例

驗(yàn)證性實(shí)驗(yàn)是通過(guò)實(shí)驗(yàn)操作和觀察，記錄和分析來(lái)測(cè)試數(shù)學(xué)判斷或結(jié)論的真實(shí)性的實(shí)驗(yàn)。作為一種常見(jiàn)的理解方式，這種數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是演繹與歸納相結(jié)合的。通常教師演繹新的結(jié)論時(shí)，由于抽象的結(jié)論和復(fù)雜的推理過(guò)程，學(xué)生在心理上較難接受，而通過(guò)實(shí)驗(yàn)，學(xué)生親身經(jīng)歷了知識(shí)產(chǎn)生、形成的過(guò)程，使新知識(shí)具體化，更好地提高了學(xué)生對(duì)新知識(shí)的認(rèn)識(shí)和理解。

案例1：

【實(shí)驗(yàn)課題】同時(shí)擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣時(shí)各事件發(fā)生的概率。

【實(shí)驗(yàn)內(nèi)容】同時(shí)擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣50次，統(tǒng)計(jì)“一枚正面朝上一枚反面朝上”“兩枚正面朝上”“兩枚反面朝上”三種結(jié)果發(fā)生的次數(shù)，驗(yàn)證這三個(gè)事件的概率分別為1/2、1/4、1/4，并根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分析其原因。

【實(shí)驗(yàn)?zāi)繕?biāo)】糾正學(xué)生的錯(cuò)誤觀點(diǎn)：“一枚正面朝上一枚反面朝上”“兩枚正面朝上”“兩枚反面朝上”三個(gè)事件是等可能事件。引導(dǎo)學(xué)生正確分析試驗(yàn)中的基本事件。

【實(shí)驗(yàn)準(zhǔn)備】?jī)擅顿|(zhì)地均勻的一元硬幣，兩人合作，一人擲硬幣，另一人記錄。

【實(shí)驗(yàn)過(guò)程】

（1）一人同時(shí)擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣50次，另一人記錄“一枚正面朝上一枚反面朝上”“兩枚正面朝上”“兩枚反面朝上”三種結(jié)果發(fā)生的次數(shù)。

（2）填表。

表1：擲硬幣試驗(yàn)次數(shù)n=50。

表2：匯總其他小組的試驗(yàn)結(jié)果后填寫(xiě)下表。其中擲硬幣試驗(yàn)次數(shù)為n，事件發(fā)生頻率為P。

（3）根據(jù)實(shí)驗(yàn)結(jié)果，我們可以估計(jì)同時(shí)擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，出現(xiàn)“一枚正面朝上一枚反面朝上”的概率為_(kāi)___________，出現(xiàn)“兩枚正面朝上”的概率為_(kāi)___________，出現(xiàn)“兩枚反面朝上”的概率為_(kāi)___________。

（4）試著根據(jù)這三個(gè)事件的概率大小，分析其原因。

【延伸實(shí)驗(yàn)】

將兩枚質(zhì)地均勻的硬幣分別標(biāo)上記號(hào)“A”“B”，再同時(shí)拋擲50次，會(huì)出現(xiàn)哪些試驗(yàn)結(jié)果？記錄并填寫(xiě)下表：

根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，我們可以估計(jì)同時(shí)擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，以上結(jié)果發(fā)生的概率各是多少？這個(gè)概率與前面的實(shí)驗(yàn)中所得的概率有什么聯(lián)系？

此案例的實(shí)驗(yàn)簡(jiǎn)單易操作，一方面讓學(xué)生體驗(yàn)了通過(guò)實(shí)驗(yàn)得出頻率，再用頻率估計(jì)概率的研究方法，另一方面用數(shù)據(jù)糾正了“擲兩枚硬幣出現(xiàn)‘一正一反的概率為1/3”的錯(cuò)誤認(rèn)識(shí)。通過(guò)對(duì)知識(shí)結(jié)論的驗(yàn)證，無(wú)論是積極的還是消極的，都可以培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)精神，而且可以鞏固學(xué)生所學(xué)的知識(shí)。

3.探索性實(shí)驗(yàn)教學(xué)案例

探究性實(shí)驗(yàn)是通過(guò)實(shí)驗(yàn)探索，回答學(xué)生不知道答案的數(shù)學(xué)問(wèn)題，一般也不提供實(shí)驗(yàn)材料，只提供實(shí)驗(yàn)課題。事實(shí)上，它為學(xué)生通過(guò)探究學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)提供了一種實(shí)用的途徑，強(qiáng)調(diào)探究過(guò)程中數(shù)學(xué)知識(shí)的獲取和數(shù)學(xué)理解。

案例2：

【實(shí)驗(yàn)課題】利用幾何畫(huà)板探索指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)。

【實(shí)驗(yàn)內(nèi)容】形如y=ax（a>0且a≠1）的函數(shù)叫作指數(shù)函數(shù)，本實(shí)驗(yàn)擬用幾何畫(huà)板作為工具探索指數(shù)函數(shù)值域、單調(diào)性、奇偶性以及底數(shù)a對(duì)函數(shù)圖象形狀的影響等方面的性質(zhì)。

【實(shí)驗(yàn)?zāi)繕?biāo)】探索利用動(dòng)點(diǎn)研究函數(shù)性質(zhì)，獲得指數(shù)函數(shù)相關(guān)性質(zhì)的方法，培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、抽象、概括等數(shù)學(xué)思維能力的實(shí)踐能力，并培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用計(jì)算機(jī)技術(shù)理解數(shù)學(xué)和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力。

【實(shí)驗(yàn)準(zhǔn)備】為每臺(tái)計(jì)算機(jī)安裝幾何畫(huà)板;要求學(xué)生復(fù)習(xí)幾何畫(huà)板的相關(guān)用途，如根據(jù)坐標(biāo)構(gòu)點(diǎn)、繪制函數(shù)圖象等;一組四人，每組一臺(tái)計(jì)算機(jī)。

【實(shí)驗(yàn)過(guò)程】

（1）從圖象探索指數(shù)函數(shù)的基本性質(zhì)。

打開(kāi)幾何畫(huà)板新建頁(yè)面1，新建參數(shù)a（設(shè)置參數(shù)鍵盤(pán)調(diào)節(jié)單位為0.2，下同），初始值a=0.1，繪制新函數(shù)y=ax;觀察圖象有什么特征？

觀察與思考：

①函數(shù)圖象分布在第幾象限？這說(shuō)明函數(shù)中x和y的取值范圍是什么？

②函數(shù)圖象從左往右看是上升還是下降？說(shuō)明指數(shù)函數(shù)的什么性質(zhì)？

③函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)性如何？反映了指數(shù)函數(shù)的什么性質(zhì)？

（2）探索底數(shù)a對(duì)函數(shù)圖象形狀的影響。

改變參數(shù)a的值，觀察指數(shù)函數(shù)圖象的變化，可以發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？

（3）研究指數(shù)函數(shù)y=ax和y=（1/a）x圖象的關(guān)系。

①繪制函數(shù)y=ax和y=（1/a）x的圖象，猜想________________________。

②選定函數(shù)y=ax圖象，構(gòu)造圖象上的動(dòng)點(diǎn)P，作出P關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P'，觀察P'的位置與函數(shù)圖象y=（1/a）x有什么關(guān)系？

③結(jié)論：________________________________________________。

在上面的案例中，教師提出問(wèn)題，在教師的指導(dǎo)下，學(xué)生在規(guī)定的時(shí)間內(nèi)按照預(yù)先安排的組織進(jìn)行實(shí)驗(yàn)材料的操作和實(shí)驗(yàn)。根據(jù)實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象的觀察或數(shù)據(jù)記錄以及數(shù)據(jù)分析和處理的結(jié)果，進(jìn)行初步的猜測(cè)，并考慮其原因。然后各個(gè)小組進(jìn)行討論和交流，最終獲得大家都認(rèn)可的結(jié)論。在這個(gè)過(guò)程中，學(xué)生自己動(dòng)手，通過(guò)實(shí)驗(yàn)來(lái)探索和發(fā)現(xiàn)各種規(guī)律。這不僅使新知識(shí)找到了堅(jiān)實(shí)的附著點(diǎn)，而且使學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)在探索過(guò)程中得到了發(fā)展。

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是再現(xiàn)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)過(guò)程的有效途徑。它豐富了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的形式，為學(xué)生提供了一個(gè)主體參與、積極探索、大膽實(shí)踐和創(chuàng)新的學(xué)習(xí)環(huán)境，為解決數(shù)學(xué)問(wèn)題提供了新的途徑。在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中開(kāi)展數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是現(xiàn)代教學(xué)方式發(fā)展的需要，這是改變教學(xué)方法的有益嘗試，它將促進(jìn)教育技術(shù)的發(fā)展，并將創(chuàng)造、豐富和發(fā)展創(chuàng)新教育理論。

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編輯 李燁艷