林莊燕 汪曉勤

【摘 要】HPM視角下的數(shù)學(xué)概念教學(xué)關(guān)注學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)和學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)，將概念的歷史序、邏輯序與學(xué)生的心理序統(tǒng)一起來，讓學(xué)生經(jīng)歷概念的發(fā)生和發(fā)展過程，充分揭示知識(shí)之諧，營造探究之樂;通過人文元素的植入，彰顯文化之魅，達(dá)成德育之效。文章以分式概念的教學(xué)為例，運(yùn)用HPM課例的分析框架，比較和分析兩位教師的教學(xué)內(nèi)容，以期為未來的HPM課例研究提供參考。

【關(guān)鍵詞】HPM;同課異構(gòu);分式概念;教育價(jià)值

一、引言

分式概念是滬教版數(shù)學(xué)七年級(jí)上冊(cè)第十章“分式”第一節(jié)的內(nèi)容。在學(xué)習(xí)本課之前，學(xué)生已經(jīng)具備了分?jǐn)?shù)、整式及其基本運(yùn)算的代數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)。教材以生活中學(xué)生熟悉的關(guān)于分式的實(shí)例引入，通過觀察代數(shù)式的表示與整式的區(qū)別，引出分式的概念。以往分式概念的教學(xué)設(shè)計(jì)往往從數(shù)學(xué)內(nèi)部出發(fā)，采用類比的方式展開：一種是類比分?jǐn)?shù)，抓住運(yùn)算這一核心，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷從整數(shù)的除法運(yùn)算到整式的除法運(yùn)算的一般化過程;另一種是類比有理數(shù)系的建立，引導(dǎo)學(xué)生嘗試建立代數(shù)式體系。

HPM視角下的數(shù)學(xué)概念教學(xué)關(guān)注學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)和學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)，將概念的歷史序、邏輯序與學(xué)生的心理序統(tǒng)一起來，讓學(xué)生經(jīng)歷概念的發(fā)生和發(fā)展過程，充分揭示知識(shí)之諧，營造探究之樂;通過人文元素的植入，彰顯文化之魅，達(dá)成德育之效。在實(shí)踐中，由于教師教學(xué)風(fēng)格、個(gè)人傾向、在數(shù)學(xué)史教育價(jià)值認(rèn)識(shí)上的差異，以及學(xué)生水平的不同，不同教師即使同樣采用HPM視角實(shí)施教學(xué)，最終呈現(xiàn)的課例也往往迥然不同。

對(duì)于“分式的概念”這一課題，HPM工作室的A教師和

教師分別從HPM視角進(jìn)行教學(xué)。他們多次參加HPM工作室舉行的教學(xué)設(shè)計(jì)研討，其教學(xué)設(shè)計(jì)都經(jīng)過了多次改進(jìn)。那么這兩位教師是如何選取和運(yùn)用史料的？數(shù)學(xué)史在這兩節(jié)課中都體現(xiàn)了哪些價(jià)值？兩節(jié)課各有哪些特色？為了回答上述問題，我們運(yùn)用HPM課例的分析框架，對(duì)這兩節(jié)課做出比較和分析，以期為未來的HPM課例研究提供參考。

二、分式概念的歷史素材

（一）分式方程

我們翻開歷史的書卷可以發(fā)現(xiàn)，早在分式概念產(chǎn)生之前，人們已經(jīng)會(huì)解分式方程了。很多數(shù)學(xué)家或物理學(xué)家往往在解決數(shù)學(xué)或物理問題時(shí)直接使用分式方程，這說明分式的產(chǎn)生源于實(shí)際問題，它是構(gòu)建某些實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模型的重要工具。

9世紀(jì)，阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家花拉子米（AlKhwarizmi）在《代數(shù)學(xué)》中已經(jīng)解決過有關(guān)分式方程問題，如：

將10分成兩部分，第一部分除以第二部分，第二部分除以第一部分，它們的和是二又六分之一。相應(yīng)的分式方程為10-xx+x10-x

216。

13世紀(jì)，意大利數(shù)學(xué)家斐波那契（L.Fi

onacci）在《計(jì)算之書》中列舉了許多用分式方程求解的問題，其中部分問題源于花拉子米。例如：

將10分成兩部分，將10除以其中一部分，所得商乘以另一部分，得2014。相應(yīng)的分式方程為10x·（10-x）

2014。

將10分成兩部分，10除以每一部分，兩商之和為5第納爾。相應(yīng)的分式方程為10x+1010-x

5。

13世紀(jì)，中國數(shù)學(xué)家李冶在《測圓海鏡》中通過建立分式方程來解決部分實(shí)際問題，如第七卷第2題涉及方程-x2+8640 + 652320x + 4665600x2

0。

18世紀(jì)，英國數(shù)學(xué)家桑德森（N.Saunderson）將分式方程寫入《代數(shù)基礎(chǔ)》中。在這本書中，桑德森提出分式方程的若干應(yīng)用題，例如：

在酒館中，若干人需付費(fèi)7英鎊4先令（1英鎊

20先令），其中兩人溜之大吉后，其余的人每人不得不多付1先令。問：共有多少人？可列分式方程144x-2 - 144x

1求解

（二）圓周率的分?jǐn)?shù)近似值

根據(jù)《隋書·律歷志》的記載，南北朝時(shí)期著名數(shù)學(xué)家祖沖之曾獲得圓周率的兩個(gè)分?jǐn)?shù)近似值為227與355113，分別稱為“約率”和“密率”。前者最早由古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德（Archimedes）求得，后者則是祖沖之首創(chuàng)。日本著名數(shù)學(xué)史家三上義夫（Y.Mikami）建議將其命名為“祖率”。由于祖沖之的《綴術(shù)》失傳，祖沖之計(jì)算圓周率的具體方法成了千古之謎。人們對(duì)此曾做過許多猜測，調(diào)日法

夾逼法）便是其中之一。

調(diào)日法背后的數(shù)學(xué)原理是分?jǐn)?shù)的如下性質(zhì)：若

a

a<

+da+c

）在其《算術(shù)三編》中最早給出該性質(zhì)。該性質(zhì)也適用于假分?jǐn)?shù)的情形，即若

a

且0

a<

+da+c

三、兩節(jié)HPM課的宏觀比較

（一）教學(xué)目標(biāo)

兩位教師設(shè)定的教學(xué)目標(biāo)基本相同：（1）了解學(xué)習(xí)分式的必要性，理解并掌握分式的概念;（2）會(huì)求分式有意義、無意義、分式值為零時(shí)字母的取值條件;（3）通過對(duì)相關(guān)數(shù)學(xué)史的了解，感悟數(shù)學(xué)與生活之間的密切關(guān)系，感悟數(shù)學(xué)文化之魅力。不同之處在于，A教師著重從歷史上的實(shí)際問題引入分式概念，同時(shí)通過整式與分式的比較，加深學(xué)生對(duì)分式概念的理解;

教師則讓學(xué)生經(jīng)歷從分?jǐn)?shù)到分式的探究過程，體驗(yàn)分式的一般性優(yōu)勢，了解學(xué)習(xí)分式的必要性，了解祖率的由來，體驗(yàn)數(shù)學(xué)文化之魅力。

（二）教學(xué)重難點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn)：理解分式的概念，會(huì)求分式有意義、無意義、分式值為零時(shí)字母的取值條件。

教學(xué)難點(diǎn)：調(diào)日法求圓周率的分?jǐn)?shù)近似值，如何用字母表示此類分?jǐn)?shù)的特征。

（三）教學(xué)過程

A教師和

教師的教學(xué)過程均由四個(gè)環(huán)節(jié)構(gòu)成，即創(chuàng)設(shè)情境、概念探究、新知運(yùn)用、課堂小結(jié)。具體內(nèi)容見表1。

表1 兩位教師的教學(xué)環(huán)節(jié)對(duì)比

教學(xué)

環(huán)節(jié)

A教師

教師

創(chuàng)設(shè)

情境

引入斐波那契的分10問題和桑德森的酒館付賬問題，引導(dǎo)學(xué)生得到分式與分式方程

（1）比較12、23和1+22+3的大小，猜想并驗(yàn)證兩個(gè)分?jǐn)?shù)的分子和分母分別相加得到的新分?jǐn)?shù)與原來兩個(gè)分?jǐn)?shù)的大小關(guān)系;

（2）運(yùn)用調(diào)日法求出π的分?jǐn)?shù)近似值——約率227

概念

探究

通過比較整式與分式的不同，得出分式概念

用字母表示上述調(diào)日法得到的一系列數(shù)，給出分式定義

新知

運(yùn)用

（1）判斷哪些式子是整式，哪些式子是分式;

（2）已知字母的賦值，求分式的值;

（3）求分式有意義、無意義、分式值為零時(shí)字母的取值條件

（1）給分式中的字母賦值，求出分式的值;

（2）探討字母是否可以賦任意值，得出分式有意義、無意義以及分式值為零的條件;

（3）探究密率355113的逼近過程

課堂

小結(jié)

（1）思考本節(jié)課的收獲;

（2）我國古代數(shù)學(xué)家對(duì)于分式的應(yīng)用;

（3）分式概念是如何提出的

（1）分式的概念、分式的值、分式有意義的條件;

（2）方法回顧：調(diào)日法（夾逼法）;

（3）歷史回眸：祖沖之與π的分?jǐn)?shù)近似值

從表1可以看出，A、

兩位教師均從HPM視角進(jìn)行教學(xué)，且在新知運(yùn)用環(huán)節(jié)，都讓學(xué)生探討了分式的賦值和分式有意義、無意義以及分式值為零的條件。但是，兩位教師在創(chuàng)設(shè)情境和概念探究兩個(gè)環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì)上卻大不相同，各有千秋。A教師主要從數(shù)學(xué)史上有趣的數(shù)學(xué)問題引入，讓學(xué)生通過觀察表達(dá)式的特點(diǎn)，區(qū)別于整式，給出分式概念;

教師利用調(diào)日法讓學(xué)生經(jīng)歷π的分?jǐn)?shù)近似值的產(chǎn)生過程，體會(huì)分式是分?jǐn)?shù)抽象化的結(jié)果。

四、兩節(jié)HPM課的微觀比較

我們根據(jù)HPM課例評(píng)價(jià)的四個(gè)指標(biāo)——史料的適切性、融入的自然性、方法的多樣性和價(jià)值的深刻性對(duì)這兩節(jié)HPM課進(jìn)行微觀比較[2]。

（一）史料的適切性

在HPM實(shí)踐中，選擇史料的原則有趣味性、科學(xué)性、有效性、可學(xué)性和人文性[3]。本文從教學(xué)的四個(gè)環(huán)節(jié)分析史料的適切性，具體分析見表2。

表2 A教師和

教師所用的史料分析

教學(xué)

環(huán)節(jié)

A教師

教師

創(chuàng)設(shè)情

境與概

念探究

（1）花拉子米的分10問題;

（2）桑德森的酒館付賬問題;

（3）斐波那契、桑德森的故事

（1）《九章算術(shù)》及其劉徽注中的圓周率近似值 3，15750，39271250 ;

（2）祖沖之的約率227和密率355113;

（3）15世紀(jì)法國數(shù)學(xué)家許凱在《算術(shù)三編》中給出的關(guān)于分?jǐn)?shù)的一個(gè)定理

新知運(yùn)

用與課

堂小結(jié)

（1）斐波那契關(guān)于分10問題的另一種設(shè)法;

（2）歷史上的分式方程與分式

（1）南北朝天文學(xué)家何承天的調(diào)日法;

（2）許凱關(guān)于分?jǐn)?shù)的定理;

（3）祖沖之的密率

A教師最先提出的“分10問題”與“酒館付賬問題”分別選自花拉子米的《代數(shù)學(xué)》和桑德森的《代數(shù)基礎(chǔ)》，根據(jù)問題寫出各項(xiàng)式子并列出方程，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，因此具有一定的科學(xué)性和可學(xué)性。其中，數(shù)學(xué)家桑德森的“酒館付賬問題”與生活實(shí)際息息相關(guān)，能夠快速吸引學(xué)生的注意力，具有一定的趣味性。此外，A教師還講述了兩位數(shù)學(xué)家的生平故事，著重介紹了數(shù)學(xué)家桑德森勵(lì)志的一生，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)背后的人文精神，符合人文性原則。A教師在新知運(yùn)用環(huán)節(jié)引導(dǎo)學(xué)生思考，對(duì)于分10問題還可以設(shè)為5-x和5+x的形式，在潛移默化中滲透“和差術(shù)”的思想，最后介紹了歷史上的分式與分式方程，為后續(xù)“和差術(shù)”思想與分式方程的學(xué)習(xí)埋下了伏筆，符合有效性原則。

教師在創(chuàng)設(shè)情境環(huán)節(jié)中設(shè)計(jì)學(xué)生熟悉的圓周率情境，并介紹多位古代數(shù)學(xué)家在計(jì)算圓周率時(shí)得到精度越來越高的近似值，激起了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，激發(fā)學(xué)生繼續(xù)探索的動(dòng)機(jī)，符合趣味性原則。此外，

教師將古人探索真理過程的艱辛和他們不斷追求真理、不斷鉆研、永不言棄的精神傳遞給學(xué)生，符合人文性原則。通過簡單的三個(gè)分?jǐn)?shù)之間的大小比較，引出許凱在《算術(shù)三編》中給出的關(guān)于分?jǐn)?shù)的定理，既擴(kuò)大了學(xué)生的知識(shí)面又符合學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)，還為求圓周率的調(diào)日法提供了思路，符合可學(xué)性和有效性原則。

教師利用上述定理和調(diào)日法，經(jīng)過一定的引導(dǎo)，使學(xué)生成功地探究出約率，有助于學(xué)生后續(xù)進(jìn)一步理解分式概念，符合可學(xué)性和有效性原則。在課堂小結(jié)環(huán)節(jié)，有了前面的引導(dǎo)與鋪墊，

教師繼續(xù)讓學(xué)生通過調(diào)日法進(jìn)一步探究密率，體現(xiàn)了可學(xué)性原則。

（二）融入的自然性

數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)，需要同時(shí)考慮所講授主題的邏輯序、歷史序和學(xué)生的心理序，自然地將數(shù)學(xué)史融入課堂教學(xué)中。以下是A教師和

教師的教學(xué)片段。

1.A教師的教學(xué)片段

師：9世紀(jì)阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家花拉子米在其《代數(shù)學(xué)》中提出如下問題：將10分成兩部分，第一部分除以第二部分，第二部分除以第一部分，它們的和是二又六分之一。如果我們假設(shè)第一部分是x，那第二部分是多少呢？

生：第二部分就是10-x。

師：那么由此得到的關(guān)于x的等式是什么呢？

生：等式是10-xx + x10-x

216。

師：很好！看來同學(xué)們對(duì)列方程解決問題掌握得很不錯(cuò)。我們接著看下一道題目。1739年，英國數(shù)學(xué)家桑德森在《代數(shù)基礎(chǔ)》一書中提出過這樣一個(gè)問題：在酒館中，若干人需付費(fèi)7英鎊4先令（1英鎊

20先令），其中兩人溜之大吉后，其余的人每人不得不多付1先令。問：共有多少人？這道題怎樣求解呢？

生：和上一題一樣，通過設(shè)未知數(shù)求解。

生：可以假設(shè)一共有y人，那最開始每個(gè)人付144y先令;走了兩個(gè)人后剩y-2人，那么每個(gè)人就要付144y-2先令。

師：那你能由此得出關(guān)于y的等式嗎？

生：等式是144y-2 - 144y

1。

師：很好！我們仔細(xì)觀察上述得到的各式，它們與我們之前學(xué)過的整式相比有什么不同呢？

A教師由此引出分式的概念，并順便介紹了分式方程。

【評(píng)析】A教師利用歷史上的兩個(gè)數(shù)學(xué)問題，先讓學(xué)生分析問題并列出分式方程，為后面引出方程中的某些項(xiàng)是分式做好鋪墊，與先有分式方程再有分式概念的歷史順序相吻合。在A教師的引導(dǎo)下，學(xué)生在學(xué)過的整式和整式方程的基礎(chǔ)上得到分式并列出分式方程。雖然A教師通過分式方程的建立，讓學(xué)生感受到了學(xué)習(xí)分式的必要性，但由于學(xué)生對(duì)分式方程比較陌生，因而在數(shù)學(xué)史融入的自然性方面還有待改進(jìn)。

2.

教師的教學(xué)片段

教師先讓學(xué)生比較12、23和1+22+3的大小，接著讓學(xué)生猜想并驗(yàn)證：把兩個(gè)分?jǐn)?shù)的分子和分母分別相加，所得到的新分?jǐn)?shù)與原來兩個(gè)分?jǐn)?shù)有怎樣的大小關(guān)系？

師：我國南北朝時(shí)期的天文學(xué)家何承天也發(fā)現(xiàn)了這個(gè)規(guī)律，并利用它來解決一些天文歷法問題，因此這種方法也常常被稱為“調(diào)日法”。直到15世紀(jì)，法國數(shù)學(xué)家許凱才用數(shù)學(xué)語言將這種性質(zhì)表達(dá)出來，即：若

a

a<

+da+c

a

，0

a<

+da+c

之后，

教師簡要回顧了π的歷史，并讓學(xué)生根據(jù)調(diào)日法得到π的近似分?jǐn)?shù)——約率227。

師：因?yàn)?1<π<41，根據(jù)何承天的調(diào)日法，我們應(yīng)該怎么取中間這個(gè)數(shù)呢？

生：分子、分母分別相加后可以得到中間這個(gè)數(shù)是72。

師：72和π哪個(gè)數(shù)更大？

生：72更大。

師：也就是說31<π<72。按照這個(gè)做法，利用調(diào)日法求出約率需要幾步？

生：六步。

師：為什么？

生：因?yàn)榈谝徊椒帜甘?，第二步分母是3，每步加1，分母是n+1，所以第六步分母就是6+1

7。

師：那你有沒有驗(yàn)證分子？

生：因?yàn)?，所以分?jǐn)?shù)每次都是分母加1，分子加3。

師：那你們會(huì)用字母來表示這一系列分?jǐn)?shù)嗎？

生：分母是n+1，分子是3（n+1）+1

3n+4，即3n+4n+1。

【評(píng)析】學(xué)生很熟悉用字母來表示一類整數(shù)，如用2n表示偶數(shù)，2n-1表示奇數(shù)，那么，如何用字母來表示一類分?jǐn)?shù)呢？

教師通過圓周率近似分?jǐn)?shù)的探究，既揭示了分式的必要性，又讓學(xué)生經(jīng)歷從分?jǐn)?shù)到分式的抽象過程，數(shù)學(xué)史融入得十分自然。但由于探究過程有一定的難度，因此在該環(huán)節(jié)花費(fèi)了較多的時(shí)間。

（三）方法的多樣性

數(shù)學(xué)史融入教學(xué)有附加式、復(fù)制式、順應(yīng)式以及重構(gòu)式四種方式[4]。

A教師在情境創(chuàng)設(shè)環(huán)節(jié)和新知運(yùn)用環(huán)節(jié)，根據(jù)教學(xué)的需要和學(xué)生的認(rèn)知，引入花拉子米和桑德森書中的數(shù)學(xué)問題，屬于復(fù)制式。之后，簡單介紹幾位數(shù)學(xué)家的生平故事，屬于附加式。在最后的課堂小結(jié)環(huán)節(jié)，關(guān)于分式方程與分式的歷史介紹也屬于附加式。

教師在情境創(chuàng)設(shè)和概念探究環(huán)節(jié)介紹了我國古代數(shù)學(xué)家在圓周率計(jì)算方面所做出的貢獻(xiàn)，屬于附加式。教師介紹并推廣法國數(shù)學(xué)家許凱的定理，采用定理的推論來推求圓周率的分?jǐn)?shù)近似值，進(jìn)而得到約率與密率，既有復(fù)制式又有順應(yīng)式。在探究過程中，教師引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷了從π的一個(gè)分?jǐn)?shù)近似值到一系列分?jǐn)?shù)近似值，再到以同一個(gè)分式來表達(dá)π的近似值，最后產(chǎn)生分式概念的過程，這個(gè)過程是對(duì)分式概念發(fā)生和發(fā)展過程的重構(gòu)，屬于重構(gòu)式。

可見，A教師主要采用附加式和復(fù)制式，而

教師運(yùn)用數(shù)學(xué)史的方式更為多元。

（四）價(jià)值的深刻性

數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)主要有六種教育價(jià)值：知識(shí)之諧、方法之美、探究之樂、能力之助、德育之效和文化之魅。

在創(chuàng)設(shè)情境環(huán)節(jié)，A教師直接給出歷史上涉及分式的兩個(gè)問題，讓學(xué)生與已經(jīng)學(xué)過的整式進(jìn)行比較，從而得到分式的概念。

教師通過引導(dǎo)學(xué)生對(duì)圓周率分?jǐn)?shù)近似值的探究，從一系列分?jǐn)?shù)抽象為分式的表示，讓學(xué)生經(jīng)歷了從分?jǐn)?shù)到分式，從具體到抽象，從特殊到一般的認(rèn)識(shí)過程，揭示新知識(shí)的必要性，也讓知識(shí)的產(chǎn)生更為自然。因而，

教師的創(chuàng)設(shè)情境環(huán)節(jié)更好地體現(xiàn)了知識(shí)之諧。

A、

兩位教師介紹數(shù)學(xué)家的生平及為數(shù)學(xué)貢獻(xiàn)的事跡，不僅讓學(xué)生感悟知識(shí)的源與流，體會(huì)數(shù)學(xué)文化的多元性，呈現(xiàn)數(shù)學(xué)史的文化之魅，而且還鼓勵(lì)學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中要學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)家們永不言棄、孜孜不倦的精神。此外，

教師在課堂上展示了我國古代數(shù)學(xué)家在圓周率計(jì)算方面所做出的貢獻(xiàn)，從而實(shí)施了愛國主義教育。因此，兩節(jié)課都體現(xiàn)了數(shù)學(xué)史的德育之效和文化之魅。

A教師在新知運(yùn)用環(huán)節(jié)介紹“分10問題”的另一種方法時(shí)，向?qū)W生傳遞“和差術(shù)”思想與方法多樣性思想。

教師雖然在概念探究環(huán)節(jié)花費(fèi)的時(shí)間較多，但是通過圓周率的分?jǐn)?shù)近似值的探究過程，學(xué)生不僅掌握了許凱《算術(shù)三編》中利用的定理及推論，而且經(jīng)歷了從分?jǐn)?shù)到分式的過程，進(jìn)一步加深對(duì)分式與分?jǐn)?shù)兩者關(guān)系的理解。因此，

教師的探究設(shè)計(jì)更能體現(xiàn)方法之美。同時(shí)，

教師給予學(xué)生充足的探究時(shí)間，并充分搭建“腳手架”，使學(xué)生對(duì)約率和密率的探究更具有方向性和目的性，能初步達(dá)到預(yù)期的探究目的，同時(shí)也充分發(fā)展學(xué)生的運(yùn)算能力、邏輯推理能力等，體現(xiàn)了探究之樂和能力之助的價(jià)值。

五、結(jié)語

盡管A教師和

教師都從HPM視角開展分式概念的教學(xué)，但兩節(jié)課的特點(diǎn)迥異。A教師和

教師所選擇的史料都符合趣味性、科學(xué)性、有效性、可學(xué)性和人文性原則，但A教師只采用了附加式和復(fù)制式，而

教師采用了附加式、復(fù)制式、順應(yīng)式、重構(gòu)式四種方式。A教師借鑒歷史，采用了從分式方程到分式的路徑，雖然符合歷史序，但不完全符合邏輯序和心理序，因而在融入的自然性上還有改進(jìn)的空間。從數(shù)學(xué)史教育價(jià)值來看，A教師和

教師的課堂都體現(xiàn)了文化之魅和德育之效，但由于

教師采用了重構(gòu)式，使分式概念的發(fā)生和發(fā)展過程更為自然，因而數(shù)學(xué)史幫助

教師呈現(xiàn)了知識(shí)之諧。A教師并未利用或借鑒歷史來設(shè)計(jì)探究活動(dòng)，而

教師設(shè)計(jì)了用調(diào)日法來推求約率和密率的探究活動(dòng)，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理等核心素養(yǎng)，因而營造了探究之樂，達(dá)成了能力之助?？偟恼f來，

教師的教學(xué)更能體現(xiàn)HPM教學(xué)的特點(diǎn)。

通過對(duì)兩節(jié)課的比較和分析，我們得到如下啟示。

（一）注重?cái)?shù)學(xué)史的選取與運(yùn)用

數(shù)學(xué)史素材豐富多彩，但不同的選擇與運(yùn)用方式可能導(dǎo)致課堂教學(xué)效果截然不同。恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)史料能夠?yàn)榻處熢O(shè)計(jì)探究活動(dòng)提供參照，而且能夠?qū)崿F(xiàn)數(shù)學(xué)史價(jià)值的多元化。

教師的教學(xué)之所以取得了良好的效果，在于讓學(xué)生通過π分?jǐn)?shù)近似值的探究活動(dòng)，經(jīng)歷分式概念再創(chuàng)造的過程。這是分式概念教學(xué)的創(chuàng)新之舉。

（二）尋求探究與練習(xí)的平衡

數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)，不可能脫離數(shù)學(xué)教學(xué)的現(xiàn)實(shí)，HPM只不過是常態(tài)課中的一種新視角，要符合統(tǒng)一的教學(xué)進(jìn)度，留給學(xué)生一定的鞏固和練習(xí)時(shí)間。因此，在實(shí)施探究活動(dòng)時(shí)，需要確保其他教學(xué)環(huán)節(jié)的完整性。

教師所設(shè)計(jì)的探究活動(dòng)，其目的不是許凱定理，而是圓周率的一類分?jǐn)?shù)近似值的獲得和分式概念的形成。因此，無須在許凱定理本身花費(fèi)太多時(shí)間。換言之，探究任務(wù)必須聚焦。

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