楊孝斌 黃晚桃 吳才鑫 羅紅梅

【摘 要】研究者通過對貴州水族文化生活中數(shù)學(xué)問題的研究，將其開發(fā)為數(shù)學(xué)課程資源，編撰成數(shù)學(xué)教學(xué)案例并加以實踐。教師在教學(xué)軸對稱、平方差公式、等比數(shù)列等知識點時引用相關(guān)案例，激發(fā)了各學(xué)段學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，促進(jìn)了數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量的提升。

【關(guān)鍵詞】民族數(shù)學(xué)文化;水族;課程資源;開發(fā);數(shù)學(xué)情境教學(xué)

一、水族數(shù)學(xué)文化概述

對水族人民生活中有關(guān)問題的考察和研究表明，水族人民生產(chǎn)生活中的許多現(xiàn)象，如語言文字中的數(shù)字符號，生產(chǎn)實踐中的計數(shù)習(xí)慣，社會生活中的習(xí)俗，建筑中的幾何圖案，各種長度、面積、角度的計算，水族地區(qū)廣泛使用的度量衡，水族的天文歷法，乃至水族服飾、銀飾、銅鼓、器具、竹編等傳統(tǒng)手工藝制品和常見的生活用品等，都蘊含著豐富的數(shù)學(xué)文化知識，承載著豐富的幾何紋樣、幾何變換等數(shù)學(xué)元素。凡此種種，都與數(shù)學(xué)有著密切的聯(lián)系。

在對水族數(shù)學(xué)文化研究的基礎(chǔ)上，出于課程與教學(xué)論研究的需要，我們進(jìn)一步將水族數(shù)學(xué)文化知識開發(fā)為數(shù)學(xué)課程資源，編撰成數(shù)學(xué)教學(xué)案例，并在各學(xué)段的數(shù)學(xué)課堂中加以實踐。實踐表明，水族數(shù)學(xué)文化課程資源及其教學(xué)案例的運用，可以激發(fā)各學(xué)段學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，促進(jìn)數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量的提升。

二、基于“情境—問題”數(shù)學(xué)教學(xué)模式的水族數(shù)學(xué)文化教學(xué)案例開發(fā)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出，課程內(nèi)容的選擇要貼近學(xué)生的實際，有利于學(xué)生體驗與理解、思考與探索;教師教學(xué)應(yīng)該以學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平和已有的經(jīng)驗為基礎(chǔ);在呈現(xiàn)作為知識與技能的數(shù)學(xué)結(jié)果的同時，重視學(xué)生已有的經(jīng)驗，使學(xué)生體驗從實際背景中抽象出數(shù)學(xué)問題、構(gòu)建數(shù)學(xué)模型、尋求結(jié)果、解決問題的過程[1]。為此，數(shù)學(xué)教師在教學(xué)時要結(jié)合學(xué)生實際，從學(xué)生熟悉的實際生活中開發(fā)數(shù)學(xué)課程資源，精心地、科學(xué)地創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)情境，讓學(xué)生在自己熟悉的生活情境中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)。

20世紀(jì)80年代以來，貴州師范大學(xué)呂傳漢、汪秉彝兩位教授對民族數(shù)學(xué)文化和跨文化數(shù)學(xué)教育進(jìn)行研究，并在此基礎(chǔ)上提出“情境—問題”數(shù)學(xué)教學(xué)模式，在我國西南地區(qū)乃至全國進(jìn)行了長年的教學(xué)實驗研究。“情境—問題”數(shù)學(xué)教學(xué)基本模式[2-4]如圖1所示。以此教學(xué)模式的相關(guān)理論和實踐經(jīng)驗為指導(dǎo)，我們可以在搜集、挖掘、整理水族數(shù)學(xué)文化資源的基礎(chǔ)上，嘗試開發(fā)水族數(shù)學(xué)文化教學(xué)案例，并引入水族地區(qū)中小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)。

圖1 “情境—問題”數(shù)學(xué)教學(xué)基本模式

下面分別選取小學(xué)數(shù)學(xué)、初中數(shù)學(xué)和高中數(shù)學(xué)的一個知識點，以水族數(shù)學(xué)文化資源作為教學(xué)情境，開展水族數(shù)學(xué)文化引入數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的案例設(shè)計與實踐探索。

案例1 水族服飾圖案與圖形變換的認(rèn)識

【知識點】軸對稱（人教版數(shù)學(xué)四年級下冊）

【數(shù)學(xué)情境】水族服飾因其圖案精美、顏色絢麗而受到大家的青睞。圖2依次是水族的男士上衣、女士背帶、女士圍腰、花帽頂部的繡花圖案。

圖2 水族服飾中的對稱

【提出問題】

①（教師用多媒體呈現(xiàn)圖2）同學(xué)們在生活中見過這些圖案嗎？

②（教師用多媒體動畫演示，呈現(xiàn)添加的線條）你認(rèn)為老師為什么要在每個圖案中添加一些線條？你能說說這些圖案有什么共同特點嗎？

③ 我們需要給具有這種特點的圖案取一個名稱，你覺得可以怎樣取？你還可以給圖中添加的線條取一個名字嗎？

④ 想一想，我們身邊還有哪些事物也具有這樣的特點？

【問題設(shè)計意圖】

① 吸引學(xué)生的注意力，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。對于展示的圖案，大多數(shù)水族學(xué)生應(yīng)該見過。

② 將學(xué)生的注意力和數(shù)學(xué)思維活動引向本節(jié)課的主題——軸對稱。學(xué)生可以清楚地看到每個圖案都可以被添加的線條一分為二，分得的兩部分具有對稱性。

③ 在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生嘗試說出軸對稱圖形的名稱，并進(jìn)一步認(rèn)識對稱軸。

④ 教師進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生尋找生活中的軸對稱圖形，讓學(xué)生體驗生活中處處有數(shù)學(xué)，進(jìn)一步激發(fā)學(xué)生喜歡數(shù)學(xué)、熱愛生活的情感。

【案例評析】

小學(xué)數(shù)學(xué)對“圖形的運動”（包括軸對稱、平移等）的學(xué)習(xí)重在了解、體驗、感知，并不需要給“軸對稱圖形”“對稱軸”等概念下嚴(yán)格的定義。教材中的例子與水族學(xué)生的知識經(jīng)驗、生活實際相去甚遠(yuǎn)。數(shù)學(xué)教師應(yīng)根據(jù)學(xué)生的實際情況，因地制宜選取數(shù)學(xué)教學(xué)素材，使數(shù)學(xué)教學(xué)更貼近學(xué)生的生活實際。上述數(shù)學(xué)情境的設(shè)計正是從水族學(xué)生常見的服飾圖案入手，開展“軸對稱”內(nèi)容的學(xué)習(xí)。教學(xué)實踐表明，這樣的情境引入很容易激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，教學(xué)效果良好。

類似的問題還有很多，比如在“圓的認(rèn)識”部分，教材中的例子是天壇、摩天輪等。少數(shù)民族地區(qū)的學(xué)生大多沒見過此類事物，不利于學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。但在學(xué)生的生活環(huán)境中，到處都有圓的身影。以水族為例，水族人民在生活中隨處可見各種圓形的木桶、圓形的簸箕，等等。而且，水族人民很早就知道為了制造半徑為R的木桶，需要做好若干木塊，使木塊寬度的總和大致等于3.15×2R，然后把這些做好的木塊凹面向下并列排在一起，剛好成一個無縫隙的圓桶[5]。

案例2 水族背帶與平方差公式的發(fā)現(xiàn)

【知識點】平方差公式（人教版數(shù)學(xué)八年級上冊）

【數(shù)學(xué)情境】水族衣服、背帶、繡花鞋以及孩童花帽等，在水族的生活中形成了一道靚麗的風(fēng)景線，其中也蘊含著許多數(shù)學(xué)知識。圖3是水族一款背帶的圖案[6]。

圖3 水族背帶圖案圖4 學(xué)生作圖

【提出問題】

① 請觀察圖3，作出它的幾何圖形。（學(xué)生通過觀察，可以作出如圖4所示的圖形，它由中心重合且對應(yīng)邊互相平行的兩個正方形構(gòu)成。）

② 假設(shè)正方形ABCD的邊長為a，正方形EFGH的邊長為b，兩個正方形的面積分別是多少？它們的面積之差是多少？

③ 這兩個正方形的面積之差還可以怎樣計算？

④ 四邊形ABFE、BCGF、CDHG、DAEH分別是什么圖形？它們的面積可以怎樣計算？

⑤ 四邊形ABFE、BCGF、CDHG、DAEH的面積分別是多少？它們的面積之和是多少？

⑥ 四個等腰梯形的面積之和與兩個正方形的面積之差有什么關(guān)系？

⑦ 由問題⑥，你能得到什么樣的等式關(guān)系？這個結(jié)果說明了什么？

⑧ 如圖5所示，如果兩個正方形的中心不重合，這個結(jié)論還成立嗎？

圖5 中心不重合的正方形

【問題設(shè)計意圖】

① 讓學(xué)生經(jīng)歷從生活情境中抽象出幾何圖形的過程;

② 引導(dǎo)學(xué)生計算兩個正方形的面積之差;

③ 引導(dǎo)學(xué)生計算四個等腰梯形的面積之和，從而用新的方法求出兩個正方形的面積之差，體會算法多樣化的思想;

④ 引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)平方差公式：a2-b2=（a+b）（a-b）;

⑤ 變式訓(xùn)練，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步思考問題的本質(zhì)。

【案例評析】

本案例從水族學(xué)生熟悉的圖形出發(fā)，為平方差公式找到了一個直觀的幾何模型。通過這個模型，學(xué)生可以得到關(guān)于平方差公式證明的一個很好的方法。在水族學(xué)生占多數(shù)的學(xué)校里講授平方差公式的證明時，教師不妨按此方法教學(xué)，讓學(xué)生在自己熟悉的文化中感受數(shù)學(xué)知識。從學(xué)生已有的經(jīng)驗出發(fā)，讓學(xué)生在熟悉的生活情境中開始一堂課的學(xué)習(xí)，能有效地吸引學(xué)生的注意力。這樣不僅能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，而且能讓他們感受到數(shù)學(xué)其實就在自己的身邊。

案例3 水族婦女手袋圖案與等比數(shù)列、數(shù)列極限的學(xué)習(xí)

【知識點】等比數(shù)列[人教版高中數(shù)學(xué)必修5（B版）]

【數(shù)學(xué)情境】圖6為水族婦女手袋圖案。

圖6 水族婦女手袋圖案

【提出問題】

① 請觀察圖6，作出它的抽象幾何圖形。（學(xué)生通過觀察，可以作出如圖7所示的圖形。）

圖7 水族婦女手袋圖案示意圖

② 假設(shè)大正方形的面積為1，從外到內(nèi)第二個、第三個、第四個正方形的面積分別是多少？

③ 這些數(shù)構(gòu)成的數(shù)列是等差數(shù)列嗎？

④ 這些數(shù)有什么規(guī)律可循？你可以給這樣的數(shù)列下一個定義嗎？

⑤ 按照這個規(guī)律繼續(xù)作圖，猜猜第六個正方形的面積應(yīng)該是多少？你可以寫出公式嗎？

⑥ 設(shè)最外面的正方形的面積為a1，從外到內(nèi)第二個正方形的面積是第一個正方形的q倍，第三個正方形的面積是第二個正方形的q倍……以此類推，第n個正方形的面積是多少？

⑦ 換一個角度，假設(shè)大正方形的面積為1，從外到內(nèi)第一圈四個直角三角形的面積之和是多少？第二圈四個直角三角形的面積之和是多少？第三圈呢？第n圈呢？隨著n的增大，第n圈四個直角三角形的面積之和是如何變化的？

⑧ 如果按照這個規(guī)律作圖，將每一圈的四個直角三角形的面積分別表示出來，再相加，你估計它們的面積之和是多少？這個結(jié)果說明了什么？

【問題設(shè)計意圖】

① 讓學(xué)生經(jīng)歷從生活情境中抽象出幾何圖形的過程;

② 引導(dǎo)學(xué)生逐步總結(jié)出等比數(shù)列的定義，并引導(dǎo)學(xué)生尋找等比數(shù)列的通項公式;

③ 引導(dǎo)學(xué)生感受數(shù)列的極限;

④ 引導(dǎo)學(xué)生感受無窮遞減等比數(shù)列（公比q<1，q≠0）前n項和的極限。

【案例評析】

等差數(shù)列、等比數(shù)列及其相關(guān)知識是高中數(shù)學(xué)的重點內(nèi)容，數(shù)列求和、數(shù)列極限是高中數(shù)學(xué)的難點知識。長期以來，部分教師沿用課本上的材料或著名數(shù)學(xué)家的趣聞軼事，如高斯小時候的故事、國際象棋發(fā)明者的故事、窮人向富人借錢的故事等，作為數(shù)列部分的數(shù)學(xué)情境。當(dāng)然，這些情境有其存在的合理性和教學(xué)價值。

本案例從水族數(shù)學(xué)文化資源出發(fā)，為等比數(shù)列的定義、通項公式以及數(shù)列極限等有關(guān)知識的教學(xué)找到了一個較好的例子。以這個例子作為問題情境，設(shè)置相應(yīng)的數(shù)學(xué)問題，通過不斷地啟發(fā)與暗示，同樣可以引出等比數(shù)列的定義，引導(dǎo)學(xué)生探究等比數(shù)列的通項公式;設(shè)置問題⑦和問題⑧是為學(xué)生將來學(xué)習(xí)數(shù)列極限以及無窮遞減等比數(shù)列前n項和的極限等問題做準(zhǔn)備。（注：問題⑦和問題⑧不宜在初學(xué)等比數(shù)列時展示給學(xué)生）

此外，對水族聚居地區(qū)的學(xué)生而言，水族婦女手袋的圖案是他們熟悉的圖案，更容易引起學(xué)生的共鳴。教師將水族婦女手袋的圖案作為數(shù)學(xué)問題情境引入課堂，可以發(fā)展學(xué)生的幾何直觀能力。我們還可以進(jìn)一步要求學(xué)生研究下面的圖案（如圖8所示），分別得到如下結(jié)果：

圖8 幾何直觀與數(shù)列極限[7]

左圖：12+14+18+116+…=1

右圖：34+316+364+…=1

三、民族數(shù)學(xué)文化課程資源開發(fā)與利用的“三結(jié)合”模式

從上述案例及討論可發(fā)現(xiàn)，以“民族數(shù)學(xué)文化情境”作為民族地區(qū)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的思維起點，使數(shù)學(xué)內(nèi)容的呈現(xiàn)貼近民族地區(qū)學(xué)生的生活實際，增強民族地區(qū)數(shù)學(xué)教育的文化適應(yīng)性，讓已經(jīng)存在于民族地區(qū)學(xué)生頭腦中非正規(guī)的數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)體驗上升發(fā)展為科學(xué)的數(shù)學(xué)結(jié)論，可以讓學(xué)生從中感受到民族文化的數(shù)學(xué)魅力，增強民族自豪感和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的自信心，體驗數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的樂趣。

要實現(xiàn)上述設(shè)想，達(dá)到以民族文化情境引導(dǎo)數(shù)學(xué)知識教學(xué)的目的，教師需要充分挖掘民族數(shù)學(xué)文化資源，進(jìn)一步與數(shù)學(xué)課程有關(guān)知識點結(jié)合，創(chuàng)設(shè)具有民族數(shù)學(xué)文化的教學(xué)情境。通過十年的努力，凱里學(xué)院“民族數(shù)學(xué)文化與教育研究”形成了“搜集與挖掘民族數(shù)學(xué)文化、開發(fā)數(shù)學(xué)課程資源、數(shù)學(xué)課堂教學(xué)實踐”三結(jié)合模式[8]（簡稱“三結(jié)合”模式，如圖9所示）。

圖9 民族數(shù)學(xué)文化課程資源開發(fā)與利用模式圖

“三結(jié)合”模式以學(xué)生熟悉的民族文化為素材創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)情境，有利于學(xué)生形成民族認(rèn)同感，有利于學(xué)生構(gòu)建數(shù)學(xué)概念、學(xué)會數(shù)學(xué)方法、掌握數(shù)學(xué)知識，是有效實施民族地區(qū)數(shù)學(xué)文化課程資源開發(fā)與利用，進(jìn)而促進(jìn)當(dāng)前少數(shù)民族地區(qū)數(shù)學(xué)教育的一種方法。

參考文獻(xiàn)：

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[3]楊孝斌，呂傳漢，汪秉彝.三論中小學(xué)“數(shù)學(xué)情境與提出問題”的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報，20034）：76-79.

[4]楊孝斌，汪秉彝.中小學(xué)“數(shù)學(xué)情境與提出問題”教學(xué)探析[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報，20044）：84-87.

[5]楊孝斌，羅永超，張和平.人類學(xué)視域下的水族數(shù)學(xué)文化研究[J].數(shù)學(xué)通報，20168）：9-16.

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[7]楊孝斌，呂傳漢.淺議高中階段“數(shù)學(xué)文化”的教學(xué)[J].黔西南民族師范高等?？茖W(xué)校學(xué)報，20041）：52-56.

[8]張和平.苗侗民族地區(qū)地方數(shù)學(xué)課程資源開發(fā)模式構(gòu)建[J].教學(xué)與管理，20123）：102-103.