占方印

摘 要：數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)與數(shù)學(xué)思想方法貫穿于數(shù)學(xué)教學(xué)之中，是長(zhǎng)期的數(shù)學(xué)發(fā)展所積累下的精髓?；诖?，本文結(jié)合高中數(shù)學(xué)教學(xué)特征，對(duì)如何挖掘和滲透數(shù)形結(jié)合思想方法，以及指導(dǎo)學(xué)生理解和運(yùn)用做簡(jiǎn)要分析。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué);數(shù)形結(jié)合;數(shù)學(xué)思想方法;滲透

數(shù)形結(jié)合思想是高中階段數(shù)學(xué)知識(shí)中最基本的思想方法之一，教師應(yīng)根據(jù)學(xué)生的實(shí)際認(rèn)知水平和特點(diǎn)，來選擇恰當(dāng)且有效的方法完成數(shù)學(xué)思想的滲透，長(zhǎng)此以往，促進(jìn)學(xué)生內(nèi)在掌握知識(shí)與方法的遷移，使數(shù)學(xué)素養(yǎng)在潛移默化中得以提高。

一、數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用原則

1、等價(jià)性

等價(jià)性指的是“數(shù)”本身的代數(shù)性質(zhì)與“形”的幾何直觀之間在進(jìn)行轉(zhuǎn)化時(shí)，必須是等價(jià)的。換言之，問題的數(shù)與形所反映的數(shù)量關(guān)系必須具有一致性，構(gòu)圖粗糙或者不準(zhǔn)確都有可能對(duì)問題的解決造成影響，從而導(dǎo)致結(jié)果出錯(cuò)。例如，方程1/3x=2sinx有（）個(gè)實(shí)根，分別有3、5、7、9四個(gè)選項(xiàng)，如果作y=x1/3和y=2sinx的見圖，由于兩個(gè)函數(shù)均為奇函數(shù)，所以只需要作x≥0的部分即可。即∵當(dāng)x>8時(shí)，x1/3>2≥2sinx∴只需要取[0，3π]上這一段即可。根據(jù)圖像還可以發(fā)現(xiàn)，除了原點(diǎn)之外有3個(gè)交點(diǎn)，再根據(jù)奇偶性還可以得知其余的7個(gè)交點(diǎn)，所以答案為7。從解題過程中可以發(fā)現(xiàn)，在解題時(shí)沒有遵循等價(jià)性的數(shù)轉(zhuǎn)形原則而導(dǎo)致了錯(cuò)誤，其實(shí)當(dāng)x=1/8時(shí)，（1/8）=1/3>1/2×1/8>2sin1/8，因此，在[0，3π]內(nèi)還有一個(gè)交點(diǎn)，所以正確答案是9。

2、雙向性

雙向性原則指的是將幾何圖形的直觀性與代數(shù)的抽象性進(jìn)行聯(lián)系，從而利用代數(shù)表達(dá)運(yùn)算比幾何圖形和結(jié)構(gòu)所具有的優(yōu)越性，來加以彌補(bǔ)，二者相互融合，體現(xiàn)出數(shù)與形的和諧統(tǒng)一。例如，設(shè)變量x，y滿足x+2y-5≤0，x-y-2≤0，x≥0這三個(gè)約束條件，那么目標(biāo)函數(shù)z=2x+3y+1的最大值是多少？四個(gè)選項(xiàng)分別為11、10、9、8.5。接著道題，首先要明確不等式組所表示的可行域，然后將z=2x+3y+1簡(jiǎn)化為y=-2/3x+z/3-1/3，再聯(lián)系圖像可以知道z=2x+3y+1在點(diǎn)A處可以取得最大值，進(jìn)而由x+2y-5=0和x-y-2=0得出x=3，y=1，所以z=2×3+3×1+1=10。故答案為10。

3、簡(jiǎn)單性

所謂簡(jiǎn)單性，指的是數(shù)與形在轉(zhuǎn)換過程中要盡可能確保幾何圖形的清楚和美觀，代數(shù)計(jì)算過程的簡(jiǎn)潔和明白。例如，如果函數(shù)f（x）=ax-x-a（a>0且a≠1）有兩個(gè)零點(diǎn)，那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是多少？首先，令g（x）=ax（a>0且a≠1），h（x）=x+a，就需要討論01這兩種情況，接著只需要在同一坐標(biāo)系中分別畫兩個(gè)函數(shù)的圖像，如果函數(shù)f（x）=ax-x-a有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，那么就說明函數(shù)g（x）和h（x）有兩個(gè)不同的交點(diǎn)。同樣，經(jīng)過觀察圖像也能夠看出來，只有在a>1時(shí)，才能夠?qū)崿F(xiàn)題中的要求，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍就是a>1。這道題的自變量x在指數(shù)位置，如果直接用代數(shù)方法，很難著手，而采用畫圖的方式來將代數(shù)式圖形化，既體現(xiàn)了簡(jiǎn)單性原則，也使結(jié)果自動(dòng)浮出水面。

二、數(shù)形結(jié)合思想的滲透途徑

1、學(xué)習(xí)新知，初探數(shù)形結(jié)合

數(shù)學(xué)知識(shí)分為表層知識(shí)與深層知識(shí)兩種。表層知識(shí)指的主要是概念類的基礎(chǔ)性知識(shí)，而深層知識(shí)則主要指的是思想方法等一些內(nèi)隱性知識(shí)，兩種知識(shí)之間的關(guān)系是相依相隨的。其實(shí)，在概念的形成、公式的推導(dǎo)以及問題的發(fā)現(xiàn)等過程中，到處都蘊(yùn)含著數(shù)學(xué)思想方法以及向?qū)W生滲透數(shù)學(xué)思想方法的機(jī)會(huì)。這需要教師在新知的教學(xué)過程中遵循學(xué)生的參與原則，長(zhǎng)此以往使學(xué)生自主養(yǎng)成思考的習(xí)慣，從而在探索與發(fā)現(xiàn)中感受數(shù)學(xué)思想方法的存在。

2、解決問題，鞏固數(shù)形結(jié)合

解決問題的過程是滲透數(shù)學(xué)思想方法一個(gè)不可錯(cuò)失的重要環(huán)節(jié)。在高中階段的數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)與形是最常見的探究對(duì)象，許多問題的求解都離不開數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用。但教師需要明確的是，數(shù)形結(jié)合思想作為一種解決問題的指導(dǎo)思想，它只能存在與人的思維當(dāng)中，因此只能讓學(xué)生在親自參與到探索問題的求解方法這一過程中，才能夠加深對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的理解。例如，在求解不等式丨x-2丨+丨x+3丨≥7中，一般地，教師給出問題后，先讓學(xué)生自己做，當(dāng)然，教師需要對(duì)絕大多數(shù)選擇的方法做到心中有數(shù)，在學(xué)生求解過程結(jié)束后，教師再?gòu)慕^對(duì)值的幾何意義入手，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)能夠借助數(shù)軸來求解不等式，這樣不僅保證每個(gè)學(xué)生都參與到了探索解題方法的過程中，也使其對(duì)數(shù)形結(jié)合思想有了更進(jìn)一步的了解。

3、知識(shí)歸納，概括數(shù)形結(jié)合

數(shù)學(xué)思想方法的存在形式是以數(shù)學(xué)知識(shí)為載體，滲透并依附于其中?？紤]到數(shù)學(xué)教材的安排是遵循知識(shí)發(fā)展規(guī)律進(jìn)行的系統(tǒng)化編排，呈螺旋上升式結(jié)構(gòu)，因而其中所涉及到的數(shù)學(xué)思想方法都是不具有連續(xù)性的。這就需要教師在固定時(shí)間范圍內(nèi)衣專題復(fù)習(xí)的形式來及時(shí)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行歸納總結(jié)，從而將其真正融入到學(xué)生的知識(shí)系統(tǒng)當(dāng)中，發(fā)揮其價(jià)值和作用。

綜上所述，數(shù)形結(jié)合思想可以實(shí)現(xiàn)抽象代數(shù)問題與直觀幾何問題之間的相互轉(zhuǎn)化，使復(fù)雜的問題變得直觀且簡(jiǎn)單易解，作為組織教學(xué)和引導(dǎo)學(xué)生的教師，應(yīng)選擇多種方式滲透數(shù)學(xué)思想方法，通過其獨(dú)特的魅力來吸引學(xué)生，從而認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)思想方法的重要性，在解決問題的過程中加以靈活運(yùn)用。

參考文獻(xiàn)：

[1]馬正勛.數(shù)形結(jié)合思想方法在高中數(shù)學(xué)教學(xué)與解題中的應(yīng)用[J/OL].學(xué)周刊，2019（31）：87[2019-10-17].

[2]楊克利.探析高中數(shù)學(xué)解題中數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用[J].中國(guó)校外教育，2019（27）：118.