李純良　曾計(jì)哲　景天聰

摘? 要：隨著我國老齡化問題的不斷深化及生活水平的快速提高，養(yǎng)老服務(wù)業(yè)取得一定程度的進(jìn)步，但養(yǎng)老供給與需求的矛盾依然比較突出?；诖艘饬x，本文建立了微分方程模型。首先，根據(jù)搜集的過去十年老年人口數(shù)量，預(yù)測(cè)2039-2048年老年人口變化趨勢(shì);接著進(jìn)行需求與供給的預(yù)測(cè)，并得出養(yǎng)老供給與需求仍不平衡，但它們之間的差距與之前相比縮小了一些。

關(guān)鍵詞：養(yǎng)老服務(wù)體系;供給與需求;微分方程模型

1.引言

隨著我國老齡化問題的不斷深化及生活水平的快速提高，養(yǎng)老問題引起了社會(huì)各界的關(guān)注。“十三五”規(guī)劃說明到2020年，老齡事業(yè)發(fā)展整體水平明顯提升，養(yǎng)老體系更加健全完善，及時(shí)科學(xué)應(yīng)對(duì)、綜合應(yīng)對(duì)人口老齡化的社會(huì)基礎(chǔ)更加牢固。雖然老年人的權(quán)益保障和養(yǎng)老服務(wù)業(yè)取得一定程度的進(jìn)步，但養(yǎng)老資源供給與需求的矛盾依然比較突出[1]。

對(duì)唐山市養(yǎng)老事業(yè)發(fā)展現(xiàn)狀的調(diào)查及研究，可發(fā)現(xiàn)唐山市養(yǎng)老需求與供給方面存在問題，因此，本文建立微分方程模型對(duì)養(yǎng)老需求進(jìn)行定量分析，進(jìn)而預(yù)測(cè)出20-30年老年人對(duì)養(yǎng)老需求的情況。

2養(yǎng)老服務(wù)需求預(yù)測(cè)的理論基礎(chǔ)

根據(jù)唐山統(tǒng)計(jì)年鑒，獲取有關(guān)老年人的相關(guān)數(shù)據(jù)，根據(jù)數(shù)據(jù)的特點(diǎn)，選擇微分方程模型對(duì)唐山市老年人口數(shù)量進(jìn)行預(yù)測(cè)。

老年人口是養(yǎng)老事業(yè)的核心，因此老年人口的數(shù)量規(guī)模、空間分布、行為方式，將直接影響?zhàn)B老需求與供給水平及空間差異性。

3 基于微分方程的老年人口數(shù)量預(yù)測(cè)

3.1模型的建立

本文采用微分方程模型，以2009-2018年人口數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)數(shù)據(jù)，預(yù)測(cè)未來20-30年老年人口數(shù)量的變化[3]。

假設(shè)老年人口凈增長(zhǎng)率是一常數(shù)，則：

于是滿足如下微分方程：

解得：

將老年人口凈增長(zhǎng)率變易為，通過建立唐山市老年人口Logistic模型來預(yù)測(cè)未來老年人口數(shù)量的變化。老年人口凈增長(zhǎng)率與唐山市總?cè)丝跀?shù)量有關(guān)，即

從而有：

對(duì)Malthus模型引入競(jìng)爭(zhēng)項(xiàng)，令，得到微分方程

即：，分離變量：，解出：。令，求得：

故滿足初始條件，得解為：

當(dāng)時(shí)，，即，故有，其中，代表為時(shí)刻時(shí)的老年人口數(shù)目，是某年的老年人口凈增長(zhǎng)率，是老年人口凈增長(zhǎng)率，是無窮值，是研究第一年的老年人口數(shù)量。

3.2模型預(yù)測(cè)求解

以及，代入中可得，另外根據(jù)可求出

得預(yù)測(cè)公式為：

未來20-30年唐山市老年人口總量預(yù)測(cè)如下表（萬人）：年份從2039-2048分別為308，324，341，359，378，398，419，442，465，490。

根據(jù)上述預(yù)測(cè)結(jié)果可知，2039年唐山市老年人口總量將達(dá)到307.59萬人，2048年老年人口總量是2039年的1.6倍，說明養(yǎng)老事業(yè)需求的主體數(shù)量龐大，潛力無窮。老年人口總量的預(yù)測(cè)結(jié)果可作為政府進(jìn)一步完善養(yǎng)老服務(wù)體系的依據(jù)。

3.3模型檢驗(yàn)

為確保所建立的模型具有較高的可信度，對(duì)模型預(yù)測(cè)結(jié)果進(jìn)行可信度檢驗(yàn)，微分方程預(yù)測(cè)模型預(yù)測(cè)值、相對(duì)誤差如下表：

得出五組原值-預(yù)測(cè)值-相對(duì)誤差分別為60.76，84.46，0.39、73.42，88.94，0.21、81.98，93.66，0.14、90.67，98.63，0.087、100.95，103.87，0.028平均相對(duì)誤差為：，對(duì)照精度檢驗(yàn)等級(jí)得出，相對(duì)誤差得等級(jí)為一級(jí)。利用微分方程模型對(duì)人口進(jìn)行預(yù)測(cè)的準(zhǔn)確率理想。對(duì)老年人在三方面（醫(yī)療需求、日常照料需求、精神慰藉需求）的需求分別做進(jìn)一步的研究。

4 不同需求預(yù)測(cè)與供給

由于唐山市養(yǎng)老服務(wù)產(chǎn)業(yè)目前不夠完善，養(yǎng)老供給不足，通過查閱相關(guān)文獻(xiàn)，搜集到唐山市老年人對(duì)精神需求、日常照料需求、醫(yī)療需求的需求百分比。2009-2018中精神需求（%）分別為30.64，31.26，32.50，34.80，35.26，37.24，40.92，41.67，42.67，45.27。日常生活（%）分別為38.47，40.68，42.98，44.30，46.17，48.21，49.52，50.67，53.63，56.25。醫(yī)療（%）分別為26.39，26.91，27.54，29.61，30.15，35.82，38.52，40.67，45.61，59.61。

使用微分方程計(jì)算出日常生活、醫(yī)療、精神需求三方面需求的預(yù)測(cè)公式：

預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)如下：2039-2048中精神需求（%）分別為30.64，31.26，32.50，34.8? 62，69.3，78.2，89.5，89.8，92.64。日常生活（%）分別為70.61，70.99，73.15，72.44，74.11，75.72，76.08，77.01，78.67，77.25。醫(yī)療（%）分別為66.03，66.97，67.38，68.70，71.09，70.93，75.81，80.21，83.64，85.33。

由表格中數(shù)據(jù)可得，隨著時(shí)間的推移，老年人對(duì)精神慰藉的需求愈來愈迫切，對(duì)日常照料的需求在75%上下波動(dòng)，對(duì)醫(yī)療的需求也在逐漸增長(zhǎng)，但增加的幅度小于精神需求的。到2048年，老人對(duì)精神方面需求已經(jīng)高達(dá)92.64%，與日常生活需求、醫(yī)療需求相比，有明顯的增長(zhǎng)趨勢(shì)，恰恰印證了現(xiàn)狀分析的準(zhǔn)確性。于是，以2039年為例，本文又將精神慰藉需求、日常照料需求、醫(yī)療需求細(xì)化分析，預(yù)測(cè)出唐山市老年人在2039年對(duì)各項(xiàng)事務(wù)需求的人數(shù)，并與2018年的做對(duì)比。通過預(yù)測(cè)出的養(yǎng)老需求呈上升趨勢(shì)，對(duì)養(yǎng)老精神需求的供給會(huì)不斷遞增，唐山市的養(yǎng)老供給在未來20-30年內(nèi)很大可能會(huì)穩(wěn)健的增長(zhǎng)[4]。

參考文獻(xiàn)

[1]常敏. 城市居民養(yǎng)老服務(wù)需求研究[D].西北大學(xué)，2018.

[2]侯冰. 城市老年人社區(qū)居家養(yǎng)老服務(wù)需求層次及其滿足策略研究[D].華東師范大學(xué)，2018.

[3]趙婧. 我國居家養(yǎng)老服務(wù)需求預(yù)測(cè)及其發(fā)展思考[D].浙江大學(xué)，2010.

[4]周緒鳳. 基于馬爾科夫模型的中國養(yǎng)老護(hù)理員需求量預(yù)測(cè)研究[D].蘇州大學(xué)，2018.

第一作者簡(jiǎn)介：李純良（1998.1.26）男，漢族，本科生，本科，數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)建模，數(shù)值計(jì)算，實(shí)變分析。