賈瑜

摘要：體積概念的度量本質(zhì)包括“有限可加性”“運(yùn)動(dòng)不變性”和“正則性”。從對(duì)蘇教版和人教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材相關(guān)內(nèi)容的分析中可以發(fā)現(xiàn)，體積概念的教學(xué)應(yīng)該緊緊把握這三條性質(zhì)，突出度量本質(zhì)。

關(guān)鍵詞：體積概念度量本質(zhì)有限可加性運(yùn)動(dòng)不變性正則性

張奠宙教授指出：“長(zhǎng)度、面積和體積都是幾何度量領(lǐng)域的概念。這三者除了圖形的維度不同，作為一種測(cè)量過(guò)程，其本質(zhì)是一樣的。”那么，度量（測(cè)量）的本質(zhì)是什么？現(xiàn)代科學(xué)理論認(rèn)為，度量是武斷而又系統(tǒng)地將數(shù)字排列、分配、定名——基于這一觀點(diǎn)，人們才對(duì)社會(huì)科學(xué)中度量的困難和局限感到釋然，并逐漸使社會(huì)科學(xué)像自然科學(xué)那樣“數(shù)學(xué)化”，成為現(xiàn)代認(rèn)識(shí)中所謂的“成熟的科學(xué)”。

張教授引用現(xiàn)代數(shù)學(xué)中的測(cè)度理論，給出了面積的定義：

設(shè)∑是一些封閉平面圖形組成的集合。m是定義在∑上取值于非負(fù)數(shù)的一個(gè)映射：m（A），A∈∑。它滿足以下條件：

1.（有限可加性）若A、B∈∑，A與B不相交，那么m（A∪B）=m（A）+m（B）。

2.（運(yùn)動(dòng)不變性）如果圖形A∈∑，經(jīng)過(guò)平移、旋轉(zhuǎn)、反射的運(yùn)動(dòng)成為圖形A′∈∑，那么m（A）=m（A′）。

3.（正則性）邊長(zhǎng)為1的正方形I∈∑，且m（I）=1。

我們將映射m稱為圖形的面積。

由此可見(jiàn)，面積本質(zhì)上是對(duì)不同的平面圖形分別指定一個(gè)數(shù)（0或正數(shù)），即賦值;而且指定的方法必須滿足“有限可加性”“運(yùn)動(dòng)不變性”和“正則性”三個(gè)條件，這三條也可以看作“面積公理”。

其實(shí)，面積定義的基本思想也適用于長(zhǎng)度、體積概念。本文嘗試基于這一基本思想，結(jié)合蘇教版和人教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材的相關(guān)內(nèi)容，探討如何在體積概念的教學(xué)中突出度量本質(zhì)。

體積概念的教學(xué)，蘇教版教材安排在六年級(jí)上冊(cè)第一單元《長(zhǎng)方體和正方體》中，人教版教材安排在五年級(jí)下冊(cè)第三單元《長(zhǎng)方體和正方體》中。兩個(gè)版本的教材都是緊密結(jié)合長(zhǎng)方體和正方體這兩個(gè)基本的立體圖形來(lái)研究體積的。

一、關(guān)于“什么是體積”

關(guān)于“什么是體積”，蘇教版教材分三個(gè)層次來(lái)組織學(xué)生活動(dòng)（詳見(jiàn)圖1）：第一個(gè)層次是體會(huì)物體是占有一定空間的;第二個(gè)層次是體會(huì)物體所占的空間是有大小的;第三個(gè)層次是比較哪個(gè)物體所占的空間最大。最后，揭示“物體所占空間的大小叫作物體的體積”。人教版教材也采取類似方法逐步呈現(xiàn)，并揭示定義（詳見(jiàn)圖2）。

“物體所占空間的大小叫作物體的體積”，這不是嚴(yán)格的定義，只是對(duì)“體積”的一種解釋。實(shí)際上，“空間”比體積本身更難理解。仔細(xì)推敲，就會(huì)發(fā)現(xiàn)越說(shuō)越糊涂。當(dāng)然，小學(xué)階段的任務(wù)是對(duì)有關(guān)幾何圖形體積的經(jīng)驗(yàn)型知識(shí)進(jìn)行數(shù)學(xué)描述，不可能也沒(méi)有必要進(jìn)行嚴(yán)格的定義。體積是對(duì)物體大小的量度，憑直覺(jué)就能理解。

二、關(guān)于體積的“有限可加性”

通俗地講，體積的“有限可加性”就是把幾何體分成若干部分，則其體積等于各部分體積的和——或者說(shuō)不重疊的兩個(gè)物體之并的體積等于原來(lái)兩物體的體積之和。

關(guān)于體積的“有限可加性”，蘇教版教材呈現(xiàn)了一個(gè)長(zhǎng)方體和一個(gè)正方體，讓學(xué)生感受通過(guò)觀察直接比較它們體積的大小，有一定的困難，從而啟發(fā)他們想到可以把它們分成同樣大的小正方體，再進(jìn)行比較（詳見(jiàn)下頁(yè)圖3）。如果學(xué)生有困難，可以引導(dǎo)他們回憶在認(rèn)識(shí)面積單位時(shí)，是怎樣比較兩個(gè)圖形面積的大小的，把平面圖形的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)遷移過(guò)來(lái);然后提示他們?nèi)绻褍蓚€(gè)物體都分成同樣大小的正方體，能不能比較它們的大小，使學(xué)生明確解決問(wèn)題的方法。在此基礎(chǔ)上，可以通過(guò)在長(zhǎng)方體和正方體的物體上畫一畫，或利用多媒體演示，引導(dǎo)學(xué)生數(shù)一數(shù)、比一比，發(fā)現(xiàn)長(zhǎng)方體的體積是9個(gè)同樣大小的正方體體積之和，正方體的體積是8個(gè)同樣大小的正方體體積之和，所以長(zhǎng)方體的體積大。

圖3

建立1立方厘米的概念后，蘇教版教材呈現(xiàn)了兩個(gè)由棱長(zhǎng)1厘米的正方體擺成的長(zhǎng)方體，讓學(xué)生說(shuō)出它們的體積各是多少立方厘米（詳見(jiàn)圖4）。學(xué)生可以看圖形數(shù)一數(shù);也可以照樣子用1立方厘米的正方體擺一擺，再數(shù)一數(shù)。通過(guò)交流，學(xué)生能夠認(rèn)識(shí)到：一個(gè)物體中含有多少個(gè)1立方厘米，這個(gè)物體的體積就是多少立方厘米?！皫琢⒎嚼迕住本褪菐讉€(gè)1立方厘米累加的結(jié)果，這充分體現(xiàn)了體積具有有限可加性。

圖4

蘇教版教材在練習(xí)中，也滲透了體積的有限可加性，讓學(xué)生在用小正方體擺大正方體、長(zhǎng)方體及其他形狀物體的操作中，理解擺成的物體的體積是由擺這個(gè)物體所用的小正方體的個(gè)數(shù)決定的：用的小正方體個(gè)數(shù)多，物體的體積就大;用的小正方體的個(gè)數(shù)相等，物體的體積也相等。

而關(guān)于體積的“有限可加性”，人教版教材也有類似的設(shè)計(jì)。

三、關(guān)于體積的“運(yùn)動(dòng)不變性”

體積的“運(yùn)動(dòng)不變性”是指物體運(yùn)動(dòng)或變形（即部分運(yùn)動(dòng)）后體積不變。

蘇教版教材在練習(xí)中，滲透了體積的運(yùn)動(dòng)不變性（詳見(jiàn)圖5）。把同樣的盒裝餅干擺成3堆，因?yàn)槎际怯?盒餅干堆成，所以它們所占的空間大小相等，體積也就相等。由此，學(xué)生可以體會(huì)體積指的是物體所占空間的大小，與物體的形狀無(wú)關(guān)。

圖5

而人教版教材在練習(xí)中，對(duì)此也有所體現(xiàn)（詳見(jiàn)圖6）。由于小正方體的個(gè)數(shù)不變，無(wú)論擺成哪種幾何體，體積都不變。

圖6

此外，測(cè)量體積或估計(jì)體積的過(guò)程不僅包含了體積的有限可加性，而且隱含了體積的運(yùn)動(dòng)不變性。

蘇教版教材在認(rèn)識(shí)1立方分米時(shí)，先給出定義，讓學(xué)生根據(jù)對(duì)1分米的已有經(jīng)驗(yàn)，想象1立方分米的實(shí)際大小;再出示棱長(zhǎng)1分米的正方體模型，讓學(xué)生觀察，以強(qiáng)化對(duì)1立方分米的感知（詳見(jiàn)圖7）。在此基礎(chǔ)上，讓學(xué)生說(shuō)說(shuō)生活中哪些物體的體積大約是1立方分米，也就是將不同物體的大小與1立方分米進(jìn)行比較，從而讓學(xué)生體會(huì)如果兩個(gè)物體所占的空間大小相等，即使它們的位置不同，體積也是相等的。

圖7

人教版教材在探究測(cè)量不規(guī)則物體的體積時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生利用橡皮泥可以變形的特點(diǎn)，把橡皮泥捏成長(zhǎng)方體或正方體，從而獲得把不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化成規(guī)則圖形，再測(cè)量、計(jì)算的策略（詳見(jiàn)圖8）。

圖8

四、關(guān)于體積的“正則性”

體積的“正則性”是指在度量物體的體積時(shí)，要用統(tǒng)一的體積單位來(lái)表示。通常選定一個(gè)立方體，規(guī)定這個(gè)立方體的體積為1，作為比較的標(biāo)準(zhǔn)，稱其為單位立方體。因此，一個(gè)立體圖形與單位立方體比較后所得的量數(shù)就是這個(gè)立體圖形的體積。通常以邊長(zhǎng)為單位長(zhǎng)（如1厘米、1分米、1米）的正方體的體積作為體積單位。因此，常用的體積單位有立方厘米、立方分米和立方米。簡(jiǎn)單地說(shuō)，立體圖形占有空間的大小，是在兩個(gè)立體圖形的比較中產(chǎn)生的。

蘇教版教材在探究長(zhǎng)方體體積公式時(shí)，呈現(xiàn)了例9和例10兩個(gè)例題（詳見(jiàn)圖9）。例9讓學(xué)生小組合作，用若干個(gè)1立方厘米的小正方體擺出不同的長(zhǎng)方體，記錄長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高，小正方體的個(gè)數(shù)及長(zhǎng)方體的體積。這樣的設(shè)計(jì)，可以使學(xué)生在用1立方厘米的小正方體一個(gè)一個(gè)地?cái)[出一排，一排一排地?cái)[出一層，一層一層地?cái)[出一個(gè)長(zhǎng)方體的過(guò)程中，親身經(jīng)歷用單位體積構(gòu)建長(zhǎng)方體的過(guò)程，充分感知擺出的長(zhǎng)方體的體積（含有1立方厘米的小正方體的個(gè)數(shù)）與它的長(zhǎng)、寬、高之間的關(guān)系。在例9的基礎(chǔ)上，例10讓學(xué)生以給出的長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高為條件，探索長(zhǎng)方體中含有多少個(gè)1立方厘米的小正方體，發(fā)現(xiàn)長(zhǎng)方體體積的計(jì)算方法。學(xué)生在觀察、操作、比較、交流的過(guò)程中，可以充分地體會(huì)到正因?yàn)殚L(zhǎng)方體所含體積單位的數(shù)量就是長(zhǎng)方體的體積，長(zhǎng)方體的體積才可以通過(guò)將長(zhǎng)、寬、高分別分割成若干個(gè)基本單位，從而將長(zhǎng)方體分割成它們的若干（乘積數(shù)）個(gè)基本單位來(lái)計(jì)算。

圖9

人教版教材在探究長(zhǎng)方體體積公式時(shí)，也有類似的設(shè)計(jì)。

從以上研究可以看出，蘇教版和人教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材在體積概念的教學(xué)中，注重引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)觀察、操作、比較、分析、類比、歸納等活動(dòng)，感受體積的“有限可加性”“運(yùn)動(dòng)不變性”和“正則性”。因此，我們?cè)隗w積概念的教學(xué)中，應(yīng)該緊緊把握這三條性質(zhì)，突出度量本質(zhì)。

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