董文彬

摘要：圖形內(nèi)容的教學(xué)應(yīng)緊扣圖形的核心本質(zhì)特征。圓的核心本質(zhì)特征包括圓的普遍存在性、廣泛對稱性、各點(diǎn)均勻性以及“以直代曲”“化無窮為有限”的曲線研究方法。小學(xué)數(shù)學(xué)《圓》這個單元的教學(xué)，應(yīng)該設(shè)計相應(yīng)的問題，驅(qū)動圓的學(xué)習(xí)，調(diào)動學(xué)生的知識經(jīng)驗，促進(jìn)學(xué)生的思維碰撞，引導(dǎo)學(xué)生對圓達(dá)到最核心、最本質(zhì)的認(rèn)識與理解。

關(guān)鍵詞：《圓》廣泛對稱各點(diǎn)均勻轉(zhuǎn)化思想極限思想

“圖形與幾何”是小學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容。無疑，圖形內(nèi)容的教學(xué)應(yīng)緊扣圖形的核心本質(zhì)特征。只有這樣，才能促進(jìn)學(xué)生更深刻地認(rèn)識圖形，進(jìn)而發(fā)展學(xué)生的空間觀念和高階思維。那么，《圓》這個單元的教學(xué)如何做到這一點(diǎn)呢？

一、圓的核心本質(zhì)特征分析

在小學(xué)階段學(xué)習(xí)圓，最重要的是認(rèn)識什么？我認(rèn)為，應(yīng)該是圓的三個特性和一種研究方法。

（一）圓的普遍存在性

在現(xiàn)實(shí)世界中，從建筑、圖案設(shè)計到天體、粒子運(yùn)動，圓的模型幾乎是無處不在的。而作為思維對象的圓因其思維特征體現(xiàn)為高度與完全的抽象、純粹，又只存在于數(shù)學(xué)世界里。

（二）圓的廣泛對稱性

其一，圓是軸對稱圖形，并且有無數(shù)條對稱軸，任何一條直徑所在的直線都是圓的對稱軸。其二，圓是旋轉(zhuǎn)對稱圖形，并且具有任意的旋轉(zhuǎn)不變性，繞圓心旋轉(zhuǎn)任意角度都映射到自身上。從這個角度來看，圓是所有平面圖形中最“和諧”的一種圖形。

（三）圓的各點(diǎn)均勻性

圓的各點(diǎn)均勻性是指圓上任意一點(diǎn)到圓心的距離都相等（即“一中同長”），圓上每一點(diǎn)附近的弧的向心（即彎曲）程度都一樣（由圖1可以很好地看出圓上一段弧的彎曲程度）?？梢哉f，圓上的每一點(diǎn)都是“平等”的。

圖1

（四）圓的曲線研究方法

圓是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中第一個認(rèn)識的曲邊平面圖形。用直線逼近曲線，用有限逼近無限，這種“以直代曲”“化無窮為有限”的數(shù)學(xué)方法（如圖2示例）貫穿于所有曲邊平面圖形的學(xué)習(xí)中。而這種轉(zhuǎn)化與極限的思想也是學(xué)生最難理解的。

圖2

如果說圓心、半徑、直徑等是圓的外在“相貌”的話，那么圓的普遍存在性、廣泛對稱性、各點(diǎn)均勻性和“以直代曲”“化無窮為有限”的研究方法就是圓的內(nèi)在“性格”。在實(shí)際教學(xué)中，教師要特別重視讓學(xué)生感受圓的這種內(nèi)在“性格”，逐步積累研究曲邊圖形的經(jīng)驗。

此外，在《圓》這個單元的后續(xù)教學(xué)中，學(xué)生還要學(xué)習(xí)圓的周長和面積以及實(shí)際應(yīng)用等內(nèi)容。認(rèn)識了圓的上述“性格”，才能夠更好地探索圓的周長和面積的推導(dǎo)過程和方法，以及圓的實(shí)際應(yīng)用問題的解決過程和方法。同時，關(guān)注這些過程和方法，可以引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷圖形轉(zhuǎn)化、對應(yīng)關(guān)系等諸多思考，從而有助于學(xué)生對圓的核心本質(zhì)特征的再認(rèn)識。

二、問題驅(qū)動圓的學(xué)習(xí)

為了幫助學(xué)生深刻地認(rèn)識圓的核心本質(zhì)特征，教師可以設(shè)計相應(yīng)的問題，驅(qū)動圓的學(xué)習(xí)，調(diào)動學(xué)生的知識經(jīng)驗，促進(jìn)學(xué)生的思維碰撞，引導(dǎo)學(xué)生對圓達(dá)到最核心、最本質(zhì)的認(rèn)識與理解。下面舉例說明。

（一）驅(qū)動圓的廣泛對稱性的學(xué)習(xí)

對于圓的廣泛對稱性，學(xué)生需要在平時的教學(xué)中不斷經(jīng)歷想象、操作的學(xué)習(xí)活動，在比較中深刻認(rèn)識圓的這種區(qū)別于其他圖形的本質(zhì)特征。

問題1請在圖3的大圓中描出一個或幾個小圓，使原來的大圓和描出的小圓組成的新圖形分別滿足“有無數(shù)條對稱軸”“只有一條對稱軸”“只有兩條對稱軸”“只有三條對稱軸”。分別應(yīng)該怎樣描？

圖3

此題可以驅(qū)動圓的軸對稱性的學(xué)習(xí)。學(xué)生需要思考多個圓組合在一起時對稱軸數(shù)量的變化情況，對圓的軸對稱性產(chǎn)生新的認(rèn)識。

問題2圖4中的圓、正方形和等邊三角形標(biāo)出了中心點(diǎn)A。想象將它們分別繞著中心點(diǎn)A轉(zhuǎn)動，每個圖形至少旋轉(zhuǎn)多少度才能與原來的圖形重合？每個圖形在旋轉(zhuǎn)一周的過程中與原來的圖形重合了幾次？

圖4

此題可以驅(qū)動圓的旋轉(zhuǎn)對稱性的學(xué)習(xí)。學(xué)生通過想象與操作可以發(fā)現(xiàn)：正方形至少旋轉(zhuǎn)90°才能與原來的圖形重合，等邊三角形至少旋轉(zhuǎn)120°才能與原來的圖形重合，而圓旋轉(zhuǎn)任意一個角度都可與原來的圖形重合;正方形旋轉(zhuǎn)一周會與原來的圖形重合4次，等邊三角形旋轉(zhuǎn)一周會與原來的圖形重合3次，而圓旋轉(zhuǎn)一周可與原來的圖形重合無數(shù)次。

（二）驅(qū)動圓的各點(diǎn)均勻性的學(xué)習(xí)

對于圓的各點(diǎn)均勻性，學(xué)生也需要在觀察、想象、操作、思考、比較中體會圓的這種區(qū)別于其他平面圖形的本質(zhì)特征。

問題3圖5所示是兩塊不同的圓形銅鏡邊緣的殘片。對比這兩塊殘片，哪塊銅鏡的面積更大？

圖5

此題可以驅(qū)動圓的各點(diǎn)均勻性的學(xué)習(xí)。學(xué)生可以借助對圓的特征的理解，通過具體操作（延長外圓）找到圓的半徑，或者通過感性思考（空間想象）還原圓的整體，或者通過理性思考（看弧度：圓越大，彎曲的程度就越小;圓越小，彎曲的程度就越大）來解決。

問題4有圖6所示的幾種形狀的硬紙板。將這幾塊硬紙板分別沿一條直線滾一滾，描出滾動過程中O點(diǎn)留下的痕跡。

圖6

下面（）痕跡是圓形紙板滾動過程中留下的。

此題可以驅(qū)動圓的“一中同長”特征的學(xué)習(xí)。學(xué)生需要想象不同圖形的中心在運(yùn)動中的高低變化，重點(diǎn)理解為什么圓心的運(yùn)動痕跡是直線，進(jìn)而體會圓區(qū)別于其他平面圖形的核心本質(zhì)特征——圓心到圓周的距離是圓的半徑，同一個圓的半徑是相等的。在運(yùn)動過程中，圓心到滾動面的距離一直等于半徑，所以圓心的運(yùn)動痕跡是一條直線。這也從數(shù)學(xué)的角度解釋了“為什么車輪是圓的”。

問題5在自制的陀螺上點(diǎn)一個黑點(diǎn)，在陀螺旋轉(zhuǎn)時，黑點(diǎn)便可以形成一個圓形的痕跡（如圖7）。淘氣也自制了幾個陀螺，并點(diǎn)上了黑點(diǎn)（如圖8，“×”標(biāo)出的是插入旋轉(zhuǎn)軸的地方）。其中哪個陀螺在旋轉(zhuǎn)時，黑點(diǎn)可以形成一個圓形的痕跡？

圖7

圖8

此題也可以驅(qū)動圓的“一中同長”特征的學(xué)習(xí)。學(xué)生可以在想象、操作中，感悟圓的定點(diǎn)、定長，體會只要給一個定點(diǎn)，那么以一定長度為距離旋轉(zhuǎn)一周所形成的封閉曲線就是圓，即圓是到定點(diǎn)的距離等于定長的所有點(diǎn)的集合。圖9

圖10

（三）驅(qū)動圓的曲線研究方法的學(xué)習(xí)

對于圓的曲線研究方法，學(xué)生需要基于有限情況下的操作，展開無限情況下的想象，逐漸由“動手”轉(zhuǎn)向“動腦”，從而領(lǐng)悟“以直代曲”“化無窮為有限”的思想。

問題6如圖9，用一張正方形紙這樣折疊三次后，沿虛線剪出一個等腰三角形，打開后的圖形接近圓。如圖10，用一張同樣大的正方形紙這樣折疊四次后，沿虛線剪出一個等腰三角形，打開后的圖形也接近圓。上述哪一種方式剪出的圖形更接近圓呢？

此題可以驅(qū)動圓的曲線研究方法的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生感悟正多邊形邊的條數(shù)越多，圖形越接近圓，體會正多邊形逼近于圓的轉(zhuǎn)化與極限思想。

問題7將一個圓形紙片沿著它的半徑平均分成若干份后剪開，用它們可拼成一個近似的平行四邊形（如圖11）。已知這個平行四邊形的周長是16.56厘米，那么這個圓形紙片的面積是（）平方厘米。

圖11

此題可以驅(qū)動圓的面積公式推導(dǎo)過程中圖形轉(zhuǎn)化時對應(yīng)關(guān)系的學(xué)習(xí)。學(xué)生需要根據(jù)平行四邊形相鄰兩條邊的長度分別對應(yīng)圓的周長的一半和圓的半徑，以及圓的周長和半徑的關(guān)系，反向算出圓的半徑，進(jìn)而計算圓的面積。教師在教學(xué)過程中，要引導(dǎo)學(xué)生將圓盡可能多地等分，同時想象轉(zhuǎn)化后的情況，然后啟發(fā)學(xué)生思考：為什么要盡可能多地等分？在圖形轉(zhuǎn)化的過程中，什么變了？什么沒變？如果學(xué)生能夠體會到在這個過程中圓的周長增加，面積守恒，形狀不斷趨近于長方形，那么，他們對轉(zhuǎn)化與極限思想的理解就算有了一定的深度了。