華兵

摘要：數(shù)學(xué)模型思想比較抽象，對(duì)仍以直觀形象化思維為主的小學(xué)生來(lái)說(shuō)有一定的難度，但可以在日常教學(xué)中開(kāi)展?jié)B透式培養(yǎng)，為學(xué)生關(guān)鍵能力和必備品格的形成奠定基礎(chǔ)。《因數(shù)與倍數(shù)》一課教學(xué)，從現(xiàn)實(shí)生活或具體情境中抽象出數(shù)學(xué)模型，并用符號(hào)、字母等表示出模型，再運(yùn)用模型解決實(shí)際問(wèn)題。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué)模型思想《因數(shù)與倍數(shù)》

數(shù)學(xué)模型，即“把某種事物系統(tǒng)的主要特征、主要關(guān)系抽象出來(lái)，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言概括地或近似地表述出來(lái)的一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)”。小學(xué)數(shù)學(xué)中的數(shù)學(xué)模型主要有數(shù)的概念、計(jì)算法則、公式、性質(zhì)、數(shù)量關(guān)系等。數(shù)學(xué)模型思想就是通過(guò)對(duì)這些數(shù)學(xué)模型的研究來(lái)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的一種數(shù)學(xué)思想方法。數(shù)學(xué)模型思想比較抽象，對(duì)仍以直觀形象化思維為主的小學(xué)生來(lái)說(shuō)有一定的難度，但可以在日常教學(xué)中開(kāi)展?jié)B透式培養(yǎng)，為學(xué)生關(guān)鍵能力和必備品格的形成奠定基礎(chǔ)。具體地，可從現(xiàn)實(shí)生活或具體情境中抽象出數(shù)學(xué)模型，并用符號(hào)、字母等表示出模型，再運(yùn)用模型解決實(shí)際問(wèn)題。下面以《因數(shù)與倍數(shù)》一課教學(xué)片段為例加以說(shuō)明。

一、在具體實(shí)例中抽象提取模型

【片段1】

師你能用12個(gè)相同的小正方形擺成幾種不同形狀的長(zhǎng)方形？分別說(shuō)一說(shuō)你是怎么擺的，并用乘法算式表示出來(lái)。

（學(xué)生交流擺法和算式：1×12=12、2×6=12、3×4=12。）

師以3×4=12這個(gè)算式為例，在數(shù)學(xué)上我們說(shuō)3是12的因數(shù)，12是3的倍數(shù)。能單獨(dú)說(shuō)3是因數(shù)，12是倍數(shù)嗎？

生不能。因數(shù)與倍數(shù)是指兩個(gè)數(shù)之間的關(guān)系，所以一定要說(shuō)清楚哪個(gè)數(shù)是哪個(gè)數(shù)的因數(shù)，哪個(gè)數(shù)是哪個(gè)數(shù)的倍數(shù)。

師你能再把另外兩個(gè)乘法算式像這樣說(shuō)給你的同桌聽(tīng)嗎？

（學(xué)生交流。）

師觀察剛剛用小正方形拼長(zhǎng)方形時(shí)得到的三個(gè)算式，有什么共同的特點(diǎn)？

生都是乘法算式。

生都是自然數(shù)的算式。

生積都是12。

師那說(shuō)明這些都是12的因數(shù)。12還有其他因數(shù)嗎？5是不是12的因數(shù)？

生不是，因?yàn)?×2.4=12，2.4不是自然數(shù)。

師所以在研究因數(shù)與倍數(shù)時(shí)，所指的數(shù)一般都是非0的自然數(shù)。（稍停）請(qǐng)同學(xué)們自己想一個(gè)算式，并說(shuō)一說(shuō)誰(shuí)是誰(shuí)的因數(shù)，誰(shuí)是誰(shuí)的倍數(shù)。

（學(xué)生交流。）

師你們?cè)谂e例時(shí)都依據(jù)了什么？

生（同步上臺(tái)板演并說(shuō)明）我們想到的是（）×（）=（）。第一個(gè)乘數(shù)和第二個(gè)乘數(shù)就是乘積的因數(shù);乘積就是第一個(gè)乘數(shù)的倍數(shù)，也是第二個(gè)乘數(shù)的倍數(shù)。

小學(xué)階段因數(shù)與倍數(shù)概念的教學(xué)不能完全從數(shù)學(xué)抽象的意義上展開(kāi)，而要通過(guò)若干例子，指出兩個(gè)非0自然數(shù)之間存在因數(shù)與倍數(shù)的關(guān)系，從而體會(huì)因數(shù)與倍數(shù)概念。所以這里讓學(xué)生充分舉例，總結(jié)發(fā)現(xiàn)兩個(gè)非0自然數(shù)之間的關(guān)系，從而在具體實(shí)例中抽象、提煉出因數(shù)與倍數(shù)的數(shù)學(xué)模型——（）×（）=（）。

二、在圖示和辨析中解讀、理解模型

【片段2】

師剛才他們的發(fā)言大家都明白了嗎？（同步板書(shū)，見(jiàn)圖1）我們?cè)佼?huà)一些箭頭，就更容易理解了。

圖1

（教師出示如下判斷題。學(xué)生判斷后交流。）

1.?因?yàn)?×1=3，所以3是3的倍數(shù)，3也是3的因數(shù)。（）

2.?因?yàn)?×5=15，所以3是因數(shù)，15是倍數(shù)。（）

3.?因?yàn)?÷2=4，所以2是8的因數(shù)，8是2的倍數(shù)。（）

4.?因?yàn)?0×3.2=32，所以10是32的因數(shù)。（）

師第3題你是怎么想的？

生因?yàn)槌ㄊ浅朔ǖ哪孢\(yùn)算，所以可以將除法轉(zhuǎn)化為乘法。8÷2=4可以轉(zhuǎn)化為4×2=8，那么就可以得到2是8的因數(shù)，8是2的倍數(shù)，所以這題是對(duì)的。

師也就是說(shuō)，因數(shù)與倍數(shù)的背后總能找到相應(yīng)的乘法算式或者除法算式。

模型剛抽象、提取出來(lái)，一部分學(xué)生還沒(méi)有充分理解，這就需要教師在這一難點(diǎn)處放慢腳步，帶領(lǐng)學(xué)生解讀、理解模型。這里，首先通過(guò)板書(shū)，讓學(xué)生重點(diǎn)看圖中箭頭，理解因數(shù)與倍數(shù)之間的關(guān)系;然后通過(guò)判斷題，加深學(xué)生對(duì)模型正向和反向的理解。

三、在問(wèn)題解決中應(yīng)用深化模型

【片段3】

師那任意給你一個(gè)數(shù)，你能找到它的所有因數(shù)嗎？比如36，先獨(dú)自想一想，然后全班交流。

生只要兩個(gè)數(shù)乘積等于36，那么這兩個(gè)數(shù)就都是36的因數(shù)。

生我有補(bǔ)充。只要想（）×（）=36，填進(jìn)算式的兩個(gè)數(shù)就是36的因數(shù)。

生用除法也可以，可以想36÷（）=（），括號(hào)里的兩個(gè)數(shù)就是36的因數(shù)。

師同學(xué)們真棒！用我們之前的乘法算式“模板”，就簡(jiǎn)便地找到了36的因數(shù)。那36最小的因數(shù)是多少？最大的呢？

生因?yàn)椋ǚ?的）自然數(shù)最小是1，且符合算式，所以最小的因數(shù)是1，那么，最大的因數(shù)就是36。

師我們繼續(xù)來(lái)研究一個(gè)數(shù)的倍數(shù)。以3為例，你能找出3的所有倍數(shù)嗎？

生只要找3乘幾，用3和（非0的）自然數(shù)相乘，積就是3的倍數(shù)。

生只要從3開(kāi)始，后面依次加3，得到的數(shù)就是3的倍數(shù)。

生我想到的是3×（）=（），從1開(kāi)始乘自然數(shù)，乘出的結(jié)果就是3的倍數(shù)。

師這三位同學(xué)想的方法都很好！其中第三位同學(xué)又想到了一個(gè)乘法算式?？磥?lái)，乘法算式在找一個(gè)數(shù)的倍數(shù)時(shí)，也是至關(guān)重要的。

師3的倍數(shù)還有什么特點(diǎn)？

生根據(jù)算式3×（）=（），因?yàn)樽匀粩?shù)有無(wú)窮多個(gè)，所以3的倍數(shù)也有無(wú)窮多個(gè)。

師那有最大的3的倍數(shù)嗎？

生沒(méi)有。

師最小的呢？

生（非0的）自然數(shù)中1最小，根據(jù)算式，3的最小的倍數(shù)是3×1=3。

師也就是3本身?？磥?lái)，同學(xué)們學(xué)得都很好，那讓我們來(lái)做個(gè)小游戲吧！老師這里有個(gè)神秘的數(shù)，并且和這里的六張牌上的數(shù)字有關(guān)，這些數(shù)字都是從小到大排列的，你能根據(jù)這些牌找出這個(gè)神秘的數(shù)嗎？

生（自信地）能！

師那我們來(lái)試試看吧。如果這些牌上的數(shù)字都是這個(gè)數(shù)的因數(shù)。你認(rèn)為你只要翻開(kāi)哪些牌，就能找出這個(gè)數(shù)？

生只要翻開(kāi)最后一張，因?yàn)橐粋€(gè)數(shù)最大的因數(shù)是它本身。

師如果不允許翻開(kāi)最后一張呢？

生翻開(kāi)第二張和第五張，或者第三張和第四張，因?yàn)樗鼈兊某朔e就是這個(gè)數(shù)。

師如果這些牌都是這個(gè)數(shù)的倍數(shù)，只要翻開(kāi)哪些牌，就能知道這個(gè)數(shù)？

生只要翻開(kāi)第一張，因?yàn)橐粋€(gè)數(shù)最小的倍數(shù)就是它本身。

生翻開(kāi)第二張也行，因?yàn)榈诙埵沁@個(gè)數(shù)的2倍，只要除以2就知道了。

生翻開(kāi)任意一張都可以，只要拿這一張除以它的位置（序數(shù)），都能得到這個(gè)數(shù)。

在學(xué)生建構(gòu)、理解模型之后，通過(guò)猜卡片數(shù)字的游戲，引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用模型。特別是找一個(gè)數(shù)的倍數(shù)，學(xué)生不僅想到第一個(gè)數(shù)就是要找的數(shù)，而且知道原因（最小的倍數(shù)就是數(shù)本身），還知道翻開(kāi)任何一張牌都能找出這個(gè)神秘的數(shù)。這正是“（）÷（）=（）”模型已深深扎根在學(xué)生心中、融入學(xué)生知識(shí)結(jié)構(gòu)中的最好表現(xiàn)。

參考文獻(xiàn)：

[1]?顧泠沅.數(shù)學(xué)思想方法[M].北京：中央廣播電視大學(xué)出版社，2004.