彭亮 陸世奇 徐文彬

摘要：中國學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的獲得部分緣于“題海戰(zhàn)術(shù)”，這與作為核心素養(yǎng)的“數(shù)學(xué)運(yùn)算”培養(yǎng)有些差距。因此，需進(jìn)一步明晰小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中“數(shù)學(xué)運(yùn)算”的相關(guān)問題。可從數(shù)的構(gòu)成、四則運(yùn)算的意義、運(yùn)算律、運(yùn)算規(guī)則四個方面重新審視數(shù)學(xué)運(yùn)算中的算理。具體地，應(yīng)注意四則運(yùn)算意義、分類思維、有序思維、整體思維、具體思維、抽象思維的滲透。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)運(yùn)算運(yùn)算意義思維滲透

數(shù)學(xué)運(yùn)算對于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)十分重要。在國際數(shù)學(xué)教育比較中，中國學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)上的優(yōu)勢集中體現(xiàn)在數(shù)學(xué)運(yùn)算上，這說明我國數(shù)學(xué)教育較為重視學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的培養(yǎng)，且效果也較為明顯。然而，中國學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的獲得部分緣于“題海戰(zhàn)術(shù)”，這與作為核心素養(yǎng)的“數(shù)學(xué)運(yùn)算”培養(yǎng)有些差距。因此，需進(jìn)一步明晰小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中“數(shù)學(xué)運(yùn)算”的相關(guān)問題。

一、“數(shù)學(xué)運(yùn)算”培養(yǎng)的一個案例

本文選取的案例是《分?jǐn)?shù)四則混合運(yùn)算》一課。

（一）教材呈現(xiàn)

蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)六年級上冊《分?jǐn)?shù)四則混合運(yùn)算》中的例1，包含情境圖（見下頁圖1）、問題“兩種中國結(jié)各做18個，一共用彩繩多少米？”和兩種算法（見下頁圖2、下頁圖3）。

這道例題的本意是，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)分?jǐn)?shù)四則混合運(yùn)算的運(yùn)算順序與整數(shù)相同，且在兩種算法的比較中得出第二種算法的簡便性，為后續(xù)簡算教學(xué)做鋪墊。例題之后是相應(yīng)的練習(xí)題。

（二）教學(xué)設(shè)計

僅就這道例題而言，部分教師可能會將著力點放在分?jǐn)?shù)四則混合運(yùn)算的規(guī)律及后續(xù)的練習(xí)上。但從培養(yǎng)學(xué)生“數(shù)學(xué)運(yùn)算”核心素養(yǎng)的角度來看，可對教學(xué)內(nèi)容做如下改編：

首先，出示教材的情境圖和“兩種中國結(jié)各做10個，一共用彩繩多少米？”這一問題，旨在以簡單的運(yùn)算調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性。

其次，呈現(xiàn)教材的另一個問題：“兩種中國結(jié)各做18個，一共用彩繩多少米？”有了前一個問題的鋪墊，學(xué)生應(yīng)該能夠較為順利地得出第一種算法，此時，可以繼續(xù)讓學(xué)生思考“還可以用什么方法來解決”，得出第二種算法。然后，讓學(xué)生比較兩種算法，發(fā)現(xiàn)其中存在的運(yùn)算規(guī)律，即乘法分配律同樣適用于分?jǐn)?shù)。

再次，讓學(xué)生聯(lián)系運(yùn)算規(guī)律，思考第一問的分配律算法，旨在讓學(xué)生進(jìn)一步熟悉分?jǐn)?shù)的運(yùn)算規(guī)律，感知此時兩種解法的復(fù)雜程度基本相同。然后，出示新的問題情境：“一種中國結(jié)每個用35米彩繩，另一種中國結(jié)每個用13米彩繩，兩種中國結(jié)各做15個，一共用彩繩多少米？”讓學(xué)生感受算法的簡單或復(fù)雜由問題情境決定，應(yīng)根據(jù)實際情況合理選擇相應(yīng)的算法。

最后，出示問題情境：“一種中國結(jié)每個用25米彩繩，做15個，另一種中國結(jié)每個用35米彩繩，做20個，一共用彩繩多少米？”讓學(xué)生靈活地運(yùn)用分?jǐn)?shù)的運(yùn)算規(guī)律。這里，可以相機(jī)引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)分?jǐn)?shù)四則運(yùn)算的運(yùn)算順序和運(yùn)算律，體會運(yùn)算順序和運(yùn)算律的一般性。

二、“數(shù)學(xué)運(yùn)算”培養(yǎng)的注意事項

我們可從四個方面重新審視“數(shù)學(xué)運(yùn)算”中的算理：數(shù)的構(gòu)成、四則運(yùn)算的意義、運(yùn)算律、運(yùn)算規(guī)則。其中，數(shù)的構(gòu)成是教學(xué)中經(jīng)常強(qiáng)調(diào)的，教材的編寫也遵循先認(rèn)數(shù)后學(xué)運(yùn)算的順序;四則運(yùn)算的意義是指加、減、乘、除的意義;運(yùn)算律是運(yùn)算的基本規(guī)律;運(yùn)算規(guī)則是由運(yùn)算律延伸的運(yùn)算法則。由此，小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中“數(shù)學(xué)運(yùn)算”的培養(yǎng)需要注意以下幾個問題：

（一）四則運(yùn)算意義的滲透

無論從哪個途徑入手，從本質(zhì)上來說，我們都是通過四則運(yùn)算的意義去分析混合運(yùn)算的運(yùn)算順序的。因此，相較于讓學(xué)生明白為什么先乘、除后加、減，也許整體性地理解加、減、乘、除的意義更為重要。

加法，即統(tǒng)計相同性質(zhì)的事物集合的總數(shù)時所用的計數(shù)方法。加法所指向的事物必須是相同性質(zhì)的。比如，我們不可以用中國象棋的單價與它的個數(shù)相加，這是不符合現(xiàn)實意義的。

減法，即當(dāng)一個已知群體，需要把單個個體或部分個體集合移除初始群體，再計數(shù)初始群體所剩個體數(shù)量時的運(yùn)算行為。顯然，減法是加法的逆運(yùn)算，因此與加法擁有同樣的現(xiàn)實意義。

乘法，即具有相同性質(zhì)和數(shù)量的若干個集合相加，計算變化后集合的個體數(shù)量的運(yùn)算行為。所以，乘法的本質(zhì)還是加法。乘法的現(xiàn)實意義主要對應(yīng)三種不同的類型：形如數(shù)量乘單價得到總價的類型，形如米乘米得到平方米的類型，形如數(shù)量乘倍數(shù)得到數(shù)量的類型。從這一程度上看，乘法的意義遠(yuǎn)比加法豐富。

除法，即求已知初始集合包含已知相同性質(zhì)個體集合的個數(shù)的運(yùn)算行為。顯然，除法是乘法的逆運(yùn)算，因此與乘法擁有同樣的現(xiàn)實意義。

以上較為抽象的意義不能直接“給”學(xué)生，而要讓他們在對混合運(yùn)算的探究過程中自我內(nèi)化，通過對一個個具體實例的分析，不斷地滲透意義的理解。

（二）分類思維與有序思維的滲透

要處理計算順序的問題，首先要處理能不能計算的問題。跳過后者直接對前者進(jìn)行探討是一種本末倒置的做法，因為這兩個問題的背后是兩種數(shù)學(xué)思維，即分類與有序。

分類在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與生活中有著廣泛的運(yùn)用。它既是一種活動形式，如把男生、女生分為兩類，把長方形與菱形歸類在平行四邊形中，等等;也是一種思維形式，一種抽象的數(shù)學(xué)思維形式，即將原有的事物按照一定的標(biāo)準(zhǔn)分門別類，從而反映其一些特征與屬性。其中，標(biāo)準(zhǔn)是分類的關(guān)鍵。

例如，我們把加、減、乘、除四種運(yùn)算進(jìn)行分類，以它們不同的意義為標(biāo)準(zhǔn)，把加、減分為一類，稱為一級運(yùn)算;把乘、除分為一類，稱為二級運(yùn)算。這樣，就能體現(xiàn)出兩類運(yùn)算的等級屬性。因此，在混合運(yùn)算問題中，能不能計算實際上指向一級運(yùn)算的元素只能與一級運(yùn)算的元素進(jìn)行計算，二級運(yùn)算的元素只能與二級運(yùn)算的元素進(jìn)行計算。如在25×18+35中，18與35就不能進(jìn)行計算，因為35是一級運(yùn)算的元素，而18是二級運(yùn)算的元素，只能與另一個二級運(yùn)算的元素25進(jìn)行運(yùn)算;而類似于25×15+35×20這樣的式子，由于兩個二級運(yùn)算中間隔著一個一級運(yùn)算，所以兩個二級運(yùn)算元素也不能直接進(jìn)行運(yùn)算。

可以看出，正是由于對加、減、乘、除進(jìn)行了運(yùn)算等級的分類，才能夠討論能不能運(yùn)算的問題。其實，還可以思考：如果把加、乘分為一類，把減、除分為一類，就可以解決從左往右算這一算法問題。此外，分類應(yīng)具有明確的目的性，而不應(yīng)為了分類而分類，更不應(yīng)刻意追求“與眾不同”。

既然有了兩類運(yùn)算，自然就有了運(yùn)算順序的問題，這就涉及第二種思維——有序思維。

有序思維學(xué)生很早就體驗過，數(shù)數(shù)就是一個典型的例子。無論以什么樣的方式，數(shù)數(shù)都是按照順序的——這其實就是數(shù)的雙重意義中的序數(shù)意義（而用序數(shù)意義的最后一個數(shù)代表這些數(shù)的基數(shù)意義）。從數(shù)數(shù)活動發(fā)展出的有序思維十分廣泛。而在這之前，會有一個有意或無意的分類過程，如一個一個數(shù)就是把單個東西作為一類，兩個兩個數(shù)就是把兩個東西作為一類。

可以看出，有序思維是與分類思維密不可分的。兩者從不同方面對事物進(jìn)行了審視，但總體來說，都是通過思維的力量（這種思維的力量在混合運(yùn)算中指向的就是對加、減、乘、除意義的理解）讓我們對所審視的事物有更深的理解——這也可以被理解成是抽象的一種目的。在此，我們就可以明晰：先乘、除后加、減問題，實際上是一種在分類思維基礎(chǔ)上的有序思維活動;想要探究順序的問題，就必定要考慮分類的問題。

（三）整體思維的滲透

整體思維是貫穿整個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程的重要思維。分?jǐn)?shù)學(xué)習(xí)中，一個蘋果、一些蘋果、半個蘋果都能看作一個整體;代數(shù)學(xué)習(xí)中，a和a+b都能看作一個整體;到了更高層次的學(xué)習(xí)中，甚至可以把任何事物看作一個整體，如高中數(shù)學(xué)中的“設(shè)而不求”思想實際上也是一種整體思想。由此可見，學(xué)生對什么可以作為整體的思維實際上是一個不斷擴(kuò)充的過程——從一個物體到一些物體再到半個物體，是一種擴(kuò)充，從a和a+b再到復(fù)雜的代數(shù)式，也是一種擴(kuò)充。

在混合運(yùn)算中，分步算式與綜合算式的區(qū)別與聯(lián)系就充分體現(xiàn)了整體思維。對于同一個問題，我們可以通過分步算式與綜合算式兩種形式進(jìn)行計算。比如，對問題“馬路左邊有150棵果樹;右邊有120棵樹，有6行，其中5行是果樹。問：兩邊一共有多少果樹？”分步列式，即用120÷6=20、20×5=100、100+150=250三個算式得到答案;綜合列式，即用150+120÷6×5或120÷6×5+150一個算式得到答案。從意義上考察，能夠把形如120÷6與120÷6×5這樣的式子看成一個整體，是理解綜合算式的關(guān)鍵所在。分步列式是把每一個意義都算出結(jié)果來，再進(jìn)行意義關(guān)系的聯(lián)結(jié);而綜合列式是列出每一個意義之間的關(guān)系，再進(jìn)行計算。后者需要學(xué)生能夠把一個式子也看成一個意義，知道它是一個意義主體。這實際上就體現(xiàn)了整體思維。

（四）具體思維與抽象思維的滲透

另一個值得研究的矛盾關(guān)系是具體與抽象。小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，雖然需要具體的直觀體驗，但仍然少不了抽象——如上述所說的分類思維與有序思維即是一種抽象。

混合運(yùn)算的意義探討中，有教師運(yùn)用數(shù)珠子的具體情境作為學(xué)習(xí)的載體，先數(shù)珠子，再將具體的珠子轉(zhuǎn)化為圓片去數(shù)。這里的轉(zhuǎn)化即是一種抽象，去除了原來具體的珠子的很多質(zhì)的屬性，使其量的特征更為明顯。這實際上就是數(shù)學(xué)抽象的一個最為重要的目的——排除原有事物其他屬性的干擾，以突出其量的特征。在此基礎(chǔ)上，再通過圓片思考算式，從而使得算式從原來珠子的意義，轉(zhuǎn)化為現(xiàn)在圓片的意義，得到更抽象、更廣泛的意義。這也就指出了事物的抽象既在不斷縮小其內(nèi)涵，同時也在不斷擴(kuò)大其外延：原來的珠子抽象成了圓片，此時就可以把圓片當(dāng)作其他具有相同數(shù)量關(guān)系的事物來看待，從而去研究更廣泛的現(xiàn)實情境。這種從珠子到圓片再到算式的過程，就是一種不斷抽象的過程，也是學(xué)生可以接受的、能夠內(nèi)化的過程。而且，這并不是終點。得到了抽象的算式，得到了最為廣泛的意義后，學(xué)生應(yīng)該在理解算式意義的基礎(chǔ)上，去嘗試賦予其具體意義，也就是編故事、創(chuàng)設(shè)情境，從而形成“具體—抽象—具體”的螺旋上升過程。此時的具體相比于之前珠子的具體已經(jīng)是更高層次的了，它指向?qū)W生實際生活的方方面面：只要是擁有這種數(shù)量關(guān)系的情境，都是我們的“故事”。這實際上是一種自我意義的建構(gòu)過程。由此，學(xué)生就從一個珠子的“故事”學(xué)習(xí)到了無數(shù)個“故事”。

*本文系江蘇省社會科學(xué)基金項目“互聯(lián)網(wǎng)時代下基礎(chǔ)教育教師教學(xué)觀念的轉(zhuǎn)變與實踐研究”（編號：18JYC001）的階段性研究成果。

參考文獻(xiàn)：

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