李瑞喜

【摘要】隨著社會(huì)經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，人們逐漸對(duì)教育提出了更高的要求，不僅體現(xiàn)在學(xué)生的學(xué)習(xí)方法上，還體現(xiàn)在教師的教育思路上。本文從教師教學(xué)所需要的數(shù)學(xué)知識(shí)（MKT）角度對(duì)零點(diǎn)進(jìn)行分析，以期尋求新的教學(xué)模式，進(jìn)而加快教育的改革與發(fā)展步伐，提高學(xué)生的思維能力與創(chuàng)新能力。

【關(guān)鍵詞】MKT;教育改革;零點(diǎn)

零點(diǎn)是人教版必修一中第三章的教學(xué)內(nèi)容。陳舊的教育方式具有難、繁、偏、舊等問(wèn)題，已不適合現(xiàn)代教育及學(xué)生的身心發(fā)展，于是新型的教育方式應(yīng)運(yùn)而生。教師要學(xué)會(huì)在Mathematical Knowledge For Teaching（以下簡(jiǎn)稱MKT）視角下對(duì)教育方式進(jìn)行研究，以便于協(xié)助學(xué)生構(gòu)建新的知識(shí)框架。

一、“晨曦”MKT理論的光輝

1986年美國(guó)教育學(xué)家舒爾曼提出教學(xué)內(nèi)容知識(shí)（Pedagogical Content Knowledge）理論，簡(jiǎn)稱PCK，隨后Ball及其團(tuán)隊(duì)從基礎(chǔ)教育的實(shí)踐中出發(fā)，對(duì)教師教學(xué)知識(shí)進(jìn)行測(cè)量、分析和分類，形成了一套有關(guān)教師用于教學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)的理論體系，簡(jiǎn)稱MKT。

二、“余暉”下的零點(diǎn)

本節(jié)主要內(nèi)容是在教師MKT視角下用函數(shù)的圖像及其基本的性質(zhì)來(lái)探討零點(diǎn)的存在性和研究性。其中MKT視角下的零點(diǎn)包括SMK（學(xué)科知識(shí)）——CCK（一般性內(nèi)容知識(shí)）、HCK（橫縱向內(nèi)容知識(shí)）、SCK（專業(yè)性內(nèi)容知識(shí)）和PCK（教學(xué)內(nèi)容知識(shí)）——KCT（教學(xué)知識(shí)與內(nèi)容）、KCS（學(xué)生與教學(xué)內(nèi)容）、KCC（課程與教學(xué)內(nèi)容）。

1.基礎(chǔ)的CCK

CCK指的是一般性內(nèi)容知識(shí)。在本階段，學(xué)生要對(duì)函數(shù)圖像、性質(zhì)以及零點(diǎn)與其相互之間的轉(zhuǎn)化有所了解，要掌握零點(diǎn)的“純”數(shù)學(xué)知識(shí)，同時(shí)，教師必須能熟練使用函數(shù)圖像和數(shù)學(xué)語(yǔ)言解決零點(diǎn)問(wèn)題。在本節(jié)課，教師要明白零點(diǎn)是如何定義的，還要明白如何把它轉(zhuǎn)化成兩個(gè)函數(shù)圖像交點(diǎn)的問(wèn)題。

2.專業(yè)的SCK

SCK指的是教師為了教學(xué)的需要，要掌握更加專業(yè)的數(shù)學(xué)知識(shí)，能夠?qū)⑶昂笾R(shí)銜接起來(lái)，保證自身知識(shí)儲(chǔ)備量遠(yuǎn)大于上課所需要的內(nèi)容，以便于準(zhǔn)確地解釋學(xué)生的錯(cuò)誤，分析學(xué)生錯(cuò)誤的本質(zhì)，為常規(guī)和非常規(guī)問(wèn)題尋找合適的解決辦法。本節(jié)課，學(xué)生的易錯(cuò)點(diǎn)主要集中于以下幾方面：①零點(diǎn)的概念不清晰;②零點(diǎn)的兩種求法（二分法和圖像法）理解不到位;③學(xué)生作圖不標(biāo)準(zhǔn)，轉(zhuǎn)化不恰當(dāng)，缺乏靈活應(yīng)用所學(xué)知識(shí)的能力，無(wú)法將函數(shù)圖像與零點(diǎn)有效地銜接起來(lái)。例如，函數(shù)的零點(diǎn)是多少？部分學(xué)生直接讓 f（x）=0 后進(jìn)行計(jì)算，最后發(fā)現(xiàn)出現(xiàn)三次方程，導(dǎo)致難以進(jìn)行下一步計(jì)算;還有部分學(xué)生采用二分法不斷細(xì)分零點(diǎn)的范圍，但有時(shí)候也是無(wú)功而返。以上情況出現(xiàn)的原因是學(xué)生對(duì)于零點(diǎn)的理解不到位，沒(méi)有進(jìn)行多角度的思考分析。其實(shí)，這道題可以將 f（x） 拆分成 g（x）=x2+1和，則 f（x） 的零點(diǎn)就是 g（x） 與 h（x） 圖像交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。由于學(xué)生對(duì)于二次函數(shù) f（x） 圖像和反比例函數(shù)圖像比較熟悉，所以可以通過(guò)作圖判斷出交點(diǎn)的范圍及坐標(biāo)，這樣就能比較簡(jiǎn)單地判斷出零點(diǎn)的值。學(xué)生出現(xiàn)錯(cuò)誤的實(shí)質(zhì)是他們對(duì)概念的理解不到位，沒(méi)有將相關(guān)的知識(shí)銜接起來(lái)，所以教師要培養(yǎng)學(xué)生的思維能力、創(chuàng)造能力，引導(dǎo)他們對(duì)疑難問(wèn)題進(jìn)行判斷和解決。

3.淵博的HCK

HCK指的是橫縱向內(nèi)容知識(shí)，在新的思維角度下研究零點(diǎn)的發(fā)展，幫助學(xué)生將前后內(nèi)容銜接起來(lái)，構(gòu)建新的知識(shí)框架。從橫向角度看，零點(diǎn)的產(chǎn)生主要是通過(guò)對(duì)函數(shù)圖像與x軸交點(diǎn)橫坐標(biāo)進(jìn)行分析所產(chǎn)生的，先是在必修一的第一、二章對(duì)函數(shù)的圖像性質(zhì)及方程進(jìn)行分析討論，隨后由于學(xué)習(xí)的需要，零點(diǎn)的概念應(yīng)運(yùn)而生，所以教師要精通函數(shù)、方程和零點(diǎn)的相互轉(zhuǎn)化，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行探究。從縱向角度分析，零點(diǎn)的產(chǎn)生不僅應(yīng)用到了二維的圖像，還與三維空間緊密結(jié)合，同時(shí)將直接求零點(diǎn)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成求兩個(gè)函數(shù)交點(diǎn)的問(wèn)題，這種思維的轉(zhuǎn)變需要教師積極的引導(dǎo)，協(xié)助學(xué)生構(gòu)建新的知識(shí)框架，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和思維能力。

4.以學(xué)生為核心的KCS

KCS是指學(xué)生與內(nèi)容知識(shí)，它要求教師必須對(duì)學(xué)生有所了解，不僅要了解他們的學(xué)習(xí)方式、身心發(fā)展，還要關(guān)心他們的家庭教育和生活環(huán)境，以便更好地引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)屬于自己的知識(shí)框架，對(duì)有關(guān)零點(diǎn)的誤區(qū)和迷惑的地方及時(shí)地進(jìn)行指點(diǎn)。本節(jié)課的主要誤區(qū)有以下幾個(gè)方面：①零點(diǎn)為什么不是點(diǎn)呢？②什么時(shí)候?qū)⒑瘮?shù) f（x） 的零點(diǎn)轉(zhuǎn)換成 g（x） 和 h（x） 的交點(diǎn)更加方便？教師要明白學(xué)生的認(rèn)知水平，要以引導(dǎo)者的身份幫助學(xué)生解決困惑，走出誤區(qū)，多角度地分析學(xué)生與教學(xué)的銜接工作，打造以學(xué)生為核心的教育新模式。

5.知識(shí)海洋KCT

教師的KCT所代表的內(nèi)容與教學(xué)知識(shí)能夠與學(xué)生的思維方式有效地結(jié)合起來(lái)，同時(shí)對(duì)于不同的內(nèi)容有不同的表達(dá)方式，能夠判斷出課程的導(dǎo)入是否符合教育的標(biāo)準(zhǔn)，是否能夠?qū)⑶昂笾R(shí)聯(lián)系在一起，通過(guò)不同的表達(dá)方式引入“零點(diǎn)”新知識(shí)，幫助學(xué)生架起知識(shí)的大橋。對(duì)零點(diǎn)的導(dǎo)入有兩種方法，導(dǎo)入一：① f（x）=x+1與x軸的交點(diǎn)是什么;② f（x）=x2-1與 x 軸交點(diǎn)是什么;③零點(diǎn)概念;④ f（x）=ex+x2-1的零點(diǎn)是什么？導(dǎo)入二：① f（x）=x+1與x軸的交點(diǎn)是什么;② f（x）=x2+2x-3與 x 交點(diǎn)是什么？h（x）=x2 與 g（x）=-2x+3 的交點(diǎn)是什么;③上述問(wèn)題有什么聯(lián)系;④零點(diǎn)概念。上述兩種導(dǎo)入方法都是通過(guò)計(jì)算函數(shù)與 x 軸的交點(diǎn)，將零點(diǎn)進(jìn)行概念轉(zhuǎn)化，從而幫助學(xué)生理解零點(diǎn)的實(shí)際含義，不過(guò)兩種導(dǎo)入方法在第二步開(kāi)始有了差別，導(dǎo)入一是在一次函數(shù)的基礎(chǔ)上進(jìn)行二次函數(shù)交點(diǎn)的研究，從而得出零點(diǎn)的概念，但 f（x）=ex+x2-1與 x 軸的交點(diǎn)難以進(jìn)行直接計(jì)算，導(dǎo)致學(xué)生不能真正掌握零點(diǎn)的幾何含義;而導(dǎo)入二是在第二步中對(duì)二次函數(shù)與 x 軸交點(diǎn)進(jìn)行了直接分析，轉(zhuǎn)化成新函數(shù)交點(diǎn)分析的兩種方法，從而幫助學(xué)生多角度地構(gòu)建有關(guān)零點(diǎn)的思維方式。

6.回歸課堂KCC

KCC指的是課程與內(nèi)容知識(shí)，將教師的CCK、SCK、HCK、KTC、KCS真正地融入課堂。教師不僅要熟練地掌握教材，還要懂得與教材相關(guān)的數(shù)學(xué)史，以便于從橫向、縱向角度將零點(diǎn)的概念、幾何含義及轉(zhuǎn)化方法聯(lián)系起來(lái)，以學(xué)生最近發(fā)展區(qū)為根基，選擇恰當(dāng)?shù)慕滩?，?gòu)建新的知識(shí)框架。從橫向角度考慮，教師要明白在對(duì)物體運(yùn)動(dòng)圖像的研究中，零點(diǎn)的作用尤為重要;從縱向角度考慮，教師一定要清晰地認(rèn)識(shí)到零點(diǎn)在高中教材中的教學(xué)目標(biāo)和要求。教師不僅僅要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)零點(diǎn)的知識(shí)，更重要的是培養(yǎng)學(xué)生的思維能力和創(chuàng)造能力，發(fā)掘?qū)W生的潛能，為21世紀(jì)新的教育改革貢獻(xiàn)一份力量。

三、結(jié)語(yǔ)

本文緊隨課程改革大方向，為了加快推進(jìn)教育的發(fā)展變革，以MKT為理論框架，選取高中數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)——“零點(diǎn)”，對(duì)其教學(xué)設(shè)計(jì)中MKT的各種成分進(jìn)行分析和探討，以選取真正適合學(xué)生身心發(fā)展及認(rèn)知水平的內(nèi)容和教法，從教師的MKT視角下認(rèn)識(shí)“師范性”零點(diǎn)，以達(dá)到協(xié)助學(xué)生理解并掌握相關(guān)基礎(chǔ)知識(shí)的目的。

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