韓鈺穎 喻平

摘要：心理學(xué)領(lǐng)域?qū)εc小學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用題解決有關(guān)的同型問題、樣例學(xué)習(xí)、元認知作用、編擬題目等開展了比較深入的研究。將這些研究中的實驗干預(yù)因素或結(jié)論應(yīng)用于數(shù)學(xué)教學(xué)，可以得到的教學(xué)策略有：恰當組織同型問題，合理設(shè)計樣例變式，加強訓(xùn)練自我監(jiān)控，適時介入自主編題。

關(guān)鍵詞：應(yīng)用題解決同型問題樣例學(xué)習(xí)元認知自編題目

應(yīng)用題是中、小學(xué)數(shù)學(xué)中一類重要題型，其價值不僅在于培養(yǎng)學(xué)生對數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識，還能使學(xué)生將所學(xué)的數(shù)學(xué)知識遷移到新的情境中，加深學(xué)生對知識的理解，更重要的是，能夠培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題的能力。

小學(xué)生解決應(yīng)用題時有怎樣的認知特點，又存在哪些問題？小學(xué)生解決應(yīng)用題的表現(xiàn)受哪些因素影響？心理學(xué)中的研究部分地解答了這些問題。本文擷取幾項研究加以介紹，并討論如何將這些研究的成果用于教學(xué)。

一、心理學(xué)對小學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用題解決的幾項研究

（一）同型應(yīng)用題解決

學(xué)生解決應(yīng)用題時，有一個步驟是對應(yīng)用題的模式進行識別和歸類?，F(xiàn)代心理學(xué)研究表明，能否正確解決問題在很大程度上取決于能否正確識別問題類型。陰國恩研究發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)“學(xué)優(yōu)生”和“學(xué)困生”在對應(yīng)用題的分類上存在顯著差異;隨著年級的升高，學(xué)生越來越傾向于按照題目的深層結(jié)構(gòu)分類，而非按照表層特征（比如字面意思）。Rudnitsky等研究證明，通過培養(yǎng)三、四年級學(xué)生對應(yīng)用題的分類能力，可以提高學(xué)生對應(yīng)用題深層結(jié)構(gòu)的認識，以及解決應(yīng)用題的能力。施鐵如通過識別問題類型的訓(xùn)練，提高了學(xué)生的解題能力。

對于如何提高學(xué)生對應(yīng)用題的分類能力，學(xué)者們也給出了一些答案。Reed研究發(fā)現(xiàn)，對同型問題的比較有利于增強學(xué)生對應(yīng)用題的分類能力和遷移能力。同型問題是指兩個問題的文字題材不同，但解答方法和解題步驟完全相同。顯然，當解題者面對一個問題時，如果能找到同型問題，即進行有效的模式識別，那么就能比較容易地解決問題。對同型問題的比較有助于學(xué)生深入理解這一類型問題的數(shù)量關(guān)系和結(jié)構(gòu)，在解決新問題時，可以快速地識別這種問題模型。廖運章在研究中發(fā)現(xiàn)，對同型問題的比較有助于新問題的解答，因此，他建議，在應(yīng)用題教學(xué)中采用不同的情境展現(xiàn)同一結(jié)構(gòu)關(guān)系，幫助學(xué)生識別應(yīng)用題的類型，而不被情境所迷惑。

（二）應(yīng)用題樣例學(xué)習(xí)

樣例（workedexample），即例題、例子，包括對問題的陳述、解決問題的過程以及問題的答案。在應(yīng)用題教學(xué)中，樣例應(yīng)選擇具有典型性的例題。樣例可以使同樣的規(guī)律性信息在學(xué)習(xí)者的加工記錄中反復(fù)出現(xiàn)，便于學(xué)習(xí)者察覺規(guī)律，消除無關(guān)信息和環(huán)節(jié)，提高自動化加工能力，形成解題的圖式，促進遷移的產(chǎn)生。樣例學(xué)習(xí)是從具有詳細步驟的事例中歸納出隱含的抽象知識來解決問題的學(xué)習(xí)。樣例學(xué)習(xí)是心理學(xué)研究的重要領(lǐng)域。

張奇和趙弘的研究表明，樣例學(xué)習(xí)明顯提升了小學(xué)生解決應(yīng)用題的遷移能力。Pass等研究發(fā)現(xiàn)，樣例學(xué)習(xí)有利于降低學(xué)生學(xué)習(xí)時的認知負荷。朱新明等通過實驗得出結(jié)論：只要選例恰當，樣例學(xué)習(xí)能使學(xué)生較快、較好地掌握有關(guān)知識——學(xué)生不僅能學(xué)會解決問題，而且能從中總結(jié)出某些解題策略和啟發(fā)式原則，并能調(diào)動新建立的啟發(fā)式規(guī)則指導(dǎo)解題。

在發(fā)現(xiàn)樣例學(xué)習(xí)的價值后，學(xué)者們開始研究樣例學(xué)習(xí)的影響因素，即如何設(shè)計樣例以提高學(xué)習(xí)效率。張奇和林洪新在對小學(xué)生樣例學(xué)習(xí)的研究中發(fā)現(xiàn)，所需樣例的數(shù)量與學(xué)習(xí)內(nèi)容的難度有關(guān)：學(xué)習(xí)內(nèi)容的難度越大，所需要的樣例數(shù)量越多，反之亦然。朱新明等提出了樣例演練教學(xué)法，其學(xué)習(xí)材料是根據(jù)以下原則設(shè)計的：（1）以“有解的例題+問題+小結(jié)”為基本單元組織學(xué)習(xí)材料，使學(xué)生通過考察例題和解決問題獲取產(chǎn)生式規(guī)則，并在小結(jié)中用語言陳述所學(xué)的規(guī)則;（2）每個例題提供一個產(chǎn)生式規(guī)則的實例，并在答案中進行解釋;（3）問題是成組安排的，一般是在一個問題后緊接著一個子問題，并在子問題中引導(dǎo)學(xué)生對前一個問題的求解過程進行解釋，將學(xué)生的注意力集中于產(chǎn)生式的條件部分;（4）在問題和小結(jié)的旁邊都附有標準答案，使學(xué)生能夠?qū)ψ约旱慕獯鸬玫郊磿r的反饋。

（三）解題的元認知作用

元認知是美國心理學(xué)家Flavell在1979年正式提出的，其核心是個體對自己認知過程的自我察覺、自我評價和自我調(diào)節(jié)，一般包括元認知知識和元認知監(jiān)控。很多研究發(fā)現(xiàn)，元認知訓(xùn)練和問題表征存在著聯(lián)系，可以通過元認知練習(xí)提高學(xué)生解決問題的能力。

張慶林等分析了小學(xué)生應(yīng)用題表征中的元認知能力，發(fā)現(xiàn)我國小學(xué)生應(yīng)用題表征的元認知監(jiān)控能力較低;學(xué)生成績越好，元認知監(jiān)控和元認知控制的得分越高，說明元認知監(jiān)控是“學(xué)優(yōu)生”經(jīng)常使用的認知策略。他們通過實驗發(fā)現(xiàn)，采用“讀題—撤走題目—復(fù)述題目—列式—反饋”的方式，可以提高小學(xué)生的元認知能力，從而提高小學(xué)生分析和解決問題的能力。路海東和董妍發(fā)現(xiàn)，可以通過對表征策略進行元認知訓(xùn)練來提高不成功解題者的解題能力，但是“請注意理解這道題的意思”這樣簡單的提示不能改變不成功解題者對問題的表征。陳英和等發(fā)現(xiàn)，隨著年級的升高，“學(xué)困生”主觀上會逐漸認識到應(yīng)該使用更高級的問題模型策略來解決問題，但是由于他們在元認知上的困難，這種認識未能轉(zhuǎn)化為行為，他們還是更多地使用直接轉(zhuǎn)換策略。

（四）學(xué)生自編應(yīng)用題

自編應(yīng)用題指的是學(xué)生綜合運用已有知識、經(jīng)驗，用具有一定邏輯性的語言來描述生活中的一些數(shù)量或數(shù)量之間的關(guān)系，并提出、解決相應(yīng)的有價值的數(shù)學(xué)問題。學(xué)生的這種能力就是自編應(yīng)用題的能力。

思維發(fā)展心理學(xué)認為，兒童自編應(yīng)用題體現(xiàn)了獨立性、發(fā)散性、新穎性等思維特征，是創(chuàng)造性思維的一種表現(xiàn);提高學(xué)生自編應(yīng)用題的能力可以促進學(xué)生對應(yīng)用題數(shù)量關(guān)系和結(jié)構(gòu)的理解，有利于提升學(xué)生解決應(yīng)用題的能力。肖前瑛分析了小學(xué)低年級學(xué)生解決應(yīng)用題的思維活動，建議教師在教學(xué)中多讓學(xué)生接觸思考性應(yīng)用題，并且加強自編應(yīng)用題的訓(xùn)練。林崇德在研究小學(xué)兒童思維的智力品質(zhì)時，將自編各類應(yīng)用題的數(shù)量作為小學(xué)兒童在數(shù)學(xué)運算中思維活動獨創(chuàng)性的指標。其研究發(fā)現(xiàn)，自編應(yīng)用題的訓(xùn)練有利于學(xué)生思維的發(fā)展和應(yīng)用題的解決。

二、對小學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用題教學(xué)的啟示

（一）恰當組織同型問題

研究顯示，對同型問題的比較可以提高學(xué)生對應(yīng)用題的分類能力和遷移能力，讓學(xué)生更好地掌握應(yīng)用題的內(nèi)部結(jié)構(gòu)。因此，在教學(xué)中，可以將不同情境、不同文本類型的同型題目編排在一起，難度由低到高，要求學(xué)生不僅能正確地解決問題，而且能總結(jié)出題目的數(shù)量關(guān)系和結(jié)構(gòu)，最終目的是幫助學(xué)生在解答一個問題時，能夠?qū)⒃搯栴}與自己已經(jīng)解答過的某些同型問題聯(lián)系起來，促進新問題的解答。

以下為幾道“按比例分配”類問題的同型題。通過這些題目的講解以及練習(xí)，學(xué)生能夠掌握這類應(yīng)用題的內(nèi)部邏輯結(jié)構(gòu)，形成解決這類問題的圖式。

例1六年級一班共有48名學(xué)生，其中男、女生的比例為3∶5，請問六年級一班有男、女生各多少人？

例2用60厘米長的鐵絲圍成一個三角形，三角形三條邊的比是3∶4∶5，則三條邊的長各是多少厘米？

例3一間房間的地面由兩種顏色的地磚鋪成（如圖1）。

（1）你能寫出這兩種地磚鋪地面積的比嗎？

（2）量得房間總面積是15平方米，那么這兩種地磚的鋪地面積分別是多少平方米？

例4某運輸公司現(xiàn)有840噸貨物，準備分給兩個運輸隊運出去。甲隊擁有12輛載重5噸的汽車，乙隊擁有15輛載重3噸的汽車。公司需要按照兩個運輸隊的運輸能力分配，請問甲、乙兩隊各應(yīng)該運貨多少噸？

教學(xué)過程：解答完例題后，教師帶領(lǐng)學(xué)生總結(jié)四道例題的共同點，從已知條件、所求、數(shù)量關(guān)系等方面著手，加深學(xué)生對這類問題的理解，形成關(guān)系模型。

設(shè)計意圖：前兩道題目都直接給出了各部分比例和總體，比較簡單，目的是讓學(xué)生建立比例問題的模型。如例1中，全班同學(xué)是總體，男生和女生都是其中的部分，題目的意思即將全班（48）分成了8份，其中男生占3份，女生占5份，要求出3份、5份各是多少。后兩道題目需要學(xué)生自己找出比例關(guān)系。尤其是例4，比例關(guān)系不能直接得出，但易知840噸貨物是總體，那么部分就是分給甲隊和乙隊的貨物，需根據(jù)兩隊的運輸能力求出比例關(guān)系?？傊?，雖然四道例題在情境上各不相同，但都是按照比例分配的應(yīng)用題類型，都可以建立如圖2所示的圖式。這也是設(shè)計這四道題目的最終目的。

（二）合理設(shè)計樣例變式

數(shù)學(xué)樣例教學(xué)是指教師借助各類型數(shù)學(xué)樣例，引導(dǎo)學(xué)生把握數(shù)學(xué)對象本質(zhì)的教與學(xué)的雙邊活動，旨在促進學(xué)生理解，降低認知負荷，提高教學(xué)效率。有學(xué)者認為，如果考慮到樣例的呈現(xiàn)方式是教師一邊講解一邊板書出來，那么這種樣例學(xué)習(xí)就是由教師講解的樣例學(xué)習(xí)，可以理解為樣例教學(xué)。由于樣例的選擇和呈現(xiàn)方式的不同，樣例教學(xué)有多種形式和組織方式，其中“樣例+變式”的組合形式是一種有效的教學(xué)方式，變式的目的在于促進學(xué)生對學(xué)習(xí)對象本質(zhì)的深刻把握。

例如，學(xué)習(xí)了長方形、正方形、平行四邊形等的周長與面積公式后，有必要通過應(yīng)用題讓學(xué)生體會這些知識在生活中的應(yīng)用，并加深對這些圖形概念的理解。在綜合性比較強的問題中，一個合適的案例可以打開學(xué)生的思維，變式則可以幫助學(xué)生實現(xiàn)知識的遷移。

例5張木匠共有32米長的木材，他想要設(shè)計一個花圃，并且用這些木材在花圃周圍做圍欄。他設(shè)計了幾種花圃的造型，如下頁圖3所示。請問：張木匠現(xiàn)有的木材可以滿足哪些造型？

設(shè)計意圖：問題的難點有二：一是理解題目的含義，即木材不一定能夠滿足任意一種造型;二是認識圖3中的A、C兩個復(fù)雜圖形。教師通過講解題意，以及對復(fù)雜圖形的分解，能夠幫助學(xué)生認識到分析這類問題的基本方法，以及這一問題涉及哪些數(shù)學(xué)知識。

變式1通過上述討論，我們知道了哪些造型是滿足要求的，但現(xiàn)在張木匠只能選擇其中一種造型，他希望所選的造型可以使得花圃的面積最大。請問：他應(yīng)該選擇哪一種造型？

設(shè)計意圖：原題只涉及周長問題，這里加入了面積的考量?；趯υ}的學(xué)習(xí)，學(xué)生能夠?qū)⑺枷敕椒ㄟM行遷移，對圖形進行分解，從而求得面積。在這個過程中，解題策略得以鞏固。

變式2除了上述造型，你能設(shè)計出滿足木材條件并且面積更大的新的花圃造型嗎？

設(shè)計意圖：在此前的兩問中，學(xué)生認識了更加復(fù)雜的圖形，對于圖形的形狀與周長、面積的關(guān)系有了一個初步的了解。變式2的設(shè)計實際上要求學(xué)生進一步找到一種規(guī)律，即怎樣的形狀能夠有最大的面積。這一問題已經(jīng)超越了思想方法的層面，上升到了學(xué)科思維的水平。通過對學(xué)科思維的訓(xùn)練，學(xué)生能夠逐漸體會、形成對此類開放性應(yīng)用題的探索模式。

（三）加強訓(xùn)練自我監(jiān)控

張慶林建議教師在教學(xué)中加強元認知練習(xí)。他認為應(yīng)用題的理解和分析能力的元認知訓(xùn)練主要包括兩個方面：元認知知識的傳授和元認知監(jiān)控的練習(xí)。元認知知識的傳授，一方面可以通過實際體驗讓學(xué)生認識到自己的認知缺陷（比如短時記憶容量有限），另一方面可以傳授一些有用的認知策略（比如繪制示意圖幫助理解題目結(jié)構(gòu)）。元認知監(jiān)控的練習(xí)，主要是創(chuàng)造機會，使學(xué)生產(chǎn)生元認知體驗，進而實施元認知監(jiān)視與控制。教師可以采用非標準習(xí)題，比如條件不足、情節(jié)多余、敘事不清的問題等，或者通過“敘述理由”、師生互問、學(xué)生互問、自我提問等方式。例如，每次分析題目時都可以問自己這三個問題：①我讀懂每個句子了嗎？②我把握所有條件了嗎？（特別是定性條件和隱形條件）③我把握題目的整體結(jié)構(gòu)了嗎？（有必要畫一個圖嗎？）

例6一段路程由徒弟開車需要12小時才能完成，由師父開車則需要8小時?，F(xiàn)師父開5小時后，剩下的由徒弟接著開，他還需要開幾小時？

例7一段路程由徒弟開車需要12小時才能完成，大概耗油48升;由師父開車則需要8小時，大概耗油30升。現(xiàn)師父開5小時后，剩下的由徒弟接著開，他還需要開幾小時？

例8一段路程由徒弟開車需要12小時才能完成，現(xiàn)在由師父和徒弟合作開。師父開5小時后，剩下的由徒弟接著開，徒弟還需要開幾小時？

例9在忙碌了一個月的工作后，師父決定帶著徒弟自駕游玩幾天。他們發(fā)現(xiàn)這段路程如果師父一個人開車，需要8個小時;如果徒弟單獨開，則需要12個小時。但是如果讓一個人開全程，容易造成疲勞駕駛，違反交通規(guī)則。所以，他們決定分工，在服務(wù)區(qū)交換駕駛。他們計劃先讓師父開5個小時，然后讓徒弟開剩下的路程，那么這種情況下，徒弟要開多久呢？

設(shè)計意圖：例6表面上是行程問題，實際上是工程問題;例7加入了油耗這個多余條件;例8缺少了師父開完全程要多長時間這一條件，無法解答;例9加入細節(jié)描寫，增加了學(xué)生讀題和回憶題目的負擔。對于例8，教師可以在最后講解的過程中，請學(xué)生發(fā)揮創(chuàng)造力，將條件補充完整，然后解答。這四道題目的設(shè)計主要有三個目的：一是讓學(xué)生實際進行元認知監(jiān)控（通過對問題的回憶）;二是了解學(xué)生應(yīng)用題解決的元認知監(jiān)控能力和表征策略，以便更有針對性地教學(xué);三是讓學(xué)生接觸非標準題目，體會掌握問題模型策略的必要性。這一組問題的教學(xué)，關(guān)鍵是在學(xué)生解題的過程中，引導(dǎo)他們不斷地自我提問，訓(xùn)練元認知能力。

（四）適時介入自主編題

自編應(yīng)用題是根據(jù)各種應(yīng)用題的情況自己選擇材料、組織條件、提出問題的過程，是分析問題的一種重要思維形式。指導(dǎo)學(xué)生自編應(yīng)用題，不僅是指導(dǎo)他們突破應(yīng)用題難點，進一步理解數(shù)量之間相依關(guān)系的有效辦法，也是提高他們思維獨創(chuàng)性的重要途徑。自編應(yīng)用題的形式多種多樣，大致可以分為：①通過圖畫或演示編題;②選擇條件或問題編題;③依照課本例題編題;④給不完整的應(yīng)用題填寫數(shù)量、條件或問題;⑤在實踐活動中編題;⑥改編原有題目;⑦根據(jù)算式或算法改編題目。此外，編制新問題的過程也依賴于元認知的參與。

教師指導(dǎo)學(xué)生自編應(yīng)用題時要注意對學(xué)生的要求由淺入深，讓學(xué)生經(jīng)歷從半獨立到獨立的過程。小學(xué)生自編應(yīng)用題的能力要落后于解決應(yīng)用題的能力，教師在組織教學(xué)時要注意這兩種能力的落差。根據(jù)小學(xué)生善于模仿的特點，可以按照“根據(jù)情境提出問題—補充缺少的條件—改編應(yīng)用題—根據(jù)算式編制應(yīng)用題”的形式組織教學(xué)。實際教學(xué)中，可以采取小組教學(xué)的方式：一個小組的學(xué)生編出來的題目，由另一個小組的學(xué)生完成，并評價所編題目的好壞，形成競爭。

例10表1是紅葉服裝廠三個生產(chǎn)小組今年二月份生產(chǎn)情況的統(tǒng)計（二月份共生產(chǎn)22天）。請問：第一小組比第二小組平均每天多生產(chǎn)多少件？

小組第一小組第二小組第三小組生產(chǎn)服裝（件）690861606776教學(xué)過程：先請學(xué)生完成這道應(yīng)用題;接著請學(xué)生根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，仿照原問題，提出新的問題。新的問題由下一小組的學(xué)生完成，并評價所提問題的質(zhì)量。

例11甲、乙兩地相距480千米，哥哥、弟弟分別從甲、乙兩地同時出發(fā)。已知哥哥每小時行駛50千米，請問：哥哥和弟弟經(jīng)過幾小時會相遇？

教學(xué)過程：先請學(xué)生完成這道應(yīng)用題;當學(xué)生發(fā)現(xiàn)這道題目缺少條件時，要求學(xué)生補上缺少的條件，交由下一組學(xué)生回答。如果學(xué)生直接給出弟弟的速度，可以提醒學(xué)生：“如果不直接給出弟弟的速度，可不可以呢？比如，弟弟每小時比哥哥多行駛5千米?！痹谶@一過程中，教師可以調(diào)節(jié)班級氣氛，引導(dǎo)學(xué)生開展頭腦風暴。

例12一本科技書 13.5元，一本故事書比一本科技書貴 0.8 元，那么一本故事書多少錢？

教學(xué)過程：先請學(xué)生完成這道應(yīng)用題;接著要求學(xué)生改編這道題目（只要不改變科技書和故事書的單價即可）。教師可以舉例“一本科技書13.5元，一本故事書比一本科技書貴0.8元，那么買一本科技書和一本故事書總共要多少錢？”，鼓勵學(xué)生從增加條件、提出不同問題等角度出發(fā)改編題目。

例13請根據(jù)“22÷5=4……2”這個式子編一道應(yīng)用題。

教學(xué)過程：首先請學(xué)生觀察和理解這個式子，注意到這是一個有余除法算式;接著讓學(xué)生設(shè)計情境編寫應(yīng)用題。

此外，在教學(xué)過程中，教師要注意給學(xué)生機會反思自己編制的應(yīng)用題，如應(yīng)用題的情境符不符合實際等。

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