摘要：在“生長數(shù)學(xué)”理念下，“三角形內(nèi)角和”的教學(xué)目標(biāo)是促進(jìn)思維生長，教學(xué)活動是主動演繹過程，教學(xué)重心是追求思維策略。在這樣的價(jià)值判斷下，設(shè)計(jì)相應(yīng)的教學(xué)活動，重點(diǎn)引導(dǎo)學(xué)生在證明三角形內(nèi)角和定理的過程中，產(chǎn)生“式結(jié)構(gòu)”與“形結(jié)構(gòu)”的聯(lián)想轉(zhuǎn)化，不斷生長新的思維，迸發(fā)新的想法，最終獲得哲學(xué)方法論上的認(rèn)識。由此獲得的教學(xué)反思有：厘清知識邏輯是教學(xué)設(shè)計(jì)的前提;把握思維邏輯是教學(xué)活動的關(guān)鍵;明晰教學(xué)邏輯是教學(xué)活動的根本。

關(guān)鍵詞：生長數(shù)學(xué)三角形內(nèi)角和教學(xué)設(shè)計(jì)

一、“生長數(shù)學(xué)”理念下的“三角形內(nèi)角和”教學(xué)價(jià)值判斷

（一）教學(xué)目標(biāo)是注重知識應(yīng)用，還是促進(jìn)思維生長？

“三角形內(nèi)角和”這一內(nèi)容，學(xué)生在小學(xué)已經(jīng)初步接觸過，通過測量角或“拼角”等活動已經(jīng)知道了“三角形的內(nèi)角和為180°”這一結(jié)論。初中再次研究這一內(nèi)容，是對小學(xué)知識的重復(fù)，還是對其進(jìn)行再構(gòu)建、再生長、再創(chuàng)造？值得我們深思。

對于這一內(nèi)容，部分教師在教學(xué)中只是簡單地證明一下“三角形的內(nèi)角和為180°”，而把大部分時(shí)間放在運(yùn)用三角形內(nèi)角和定理解決一些純數(shù)學(xué)問題上，即把教學(xué)目標(biāo)放在知識的應(yīng)用上。筆者認(rèn)為，這種做法只開發(fā)了“三角形內(nèi)角和”教學(xué)的表象價(jià)值，沒有挖掘出其智慧價(jià)值。而其智慧價(jià)值應(yīng)該是讓學(xué)生在探究“為什么是180°”的過程中，產(chǎn)生“式結(jié)構(gòu)”與“形結(jié)構(gòu)”的聯(lián)想轉(zhuǎn)化，不斷生長新的思維，迸發(fā)新的想法;同時(shí)，產(chǎn)生一種超經(jīng)驗(yàn)和數(shù)學(xué)美的體會，即三角形的內(nèi)角和剛好是180°，不會多一分，也不會少一厘，它讓人不得不信。

（二）教學(xué)活動是被動接受知識，還是主動演繹過程？

為了追求所謂的“教學(xué)效率”，很多教師在教學(xué)中往往會代替學(xué)生思考知識、方法的發(fā)現(xiàn)、發(fā)明過程，使學(xué)生成了被動地接受教師講解知識正確性的聽眾。這種課堂上，學(xué)生不是真思考，而是假思考。對于“三角形內(nèi)角和”，真思考的教學(xué)是讓學(xué)生主動、全身心地投入發(fā)現(xiàn)三角形的內(nèi)角和是180°、發(fā)明這個結(jié)論的證明路徑和方法的過程中。一句話，就是讓學(xué)生主動地演繹三角形內(nèi)角和的發(fā)現(xiàn)過程和推理認(rèn)證的發(fā)明過程。

（三）教學(xué)重心是訓(xùn)練操作程序，還是追求思維策略？

生活中有這樣的常識：制造工具的價(jià)值遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于使用工具的價(jià)值。因?yàn)橹圃旃ぞ呤呛诵募夹g(shù)，是生產(chǎn)力，使用工具是程序性操作，是“打工者”思維。對于“三角形內(nèi)角和”，同樣存在這樣的問題：教學(xué)重點(diǎn)是有序、規(guī)范地表達(dá)證明和解題過程，還是發(fā)展學(xué)生的策略性思維？筆者認(rèn)為，規(guī)范表達(dá)不是不要求，而是要把握一個度;比其更重要的是開發(fā)學(xué)生的策略性思維。

二、價(jià)值判斷下的“三角形內(nèi)角和”教學(xué)活動設(shè)計(jì)

問題1（展示三角板教具）這個三角板可以抽象成數(shù)學(xué)中的什么圖形？你能在紙上再畫出一些這樣的圖形嗎？

設(shè)計(jì)意圖：從學(xué)生熟悉的三角形開始新課的學(xué)習(xí)，以此為這節(jié)課的生長點(diǎn)。讓學(xué)生畫三角形，學(xué)生會畫出各種形狀不同、大小不等的三角形。期盼學(xué)生畫出銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形這三類三角形，這些三角形將為后面探究三角形內(nèi)角和的本質(zhì)奠基。

活動預(yù)設(shè)：如果學(xué)生畫出的三角形類型不全，可以追問：根據(jù)老師的要求，你還能畫出一些不同形狀的三角形來嗎？使學(xué)生畫全不同類型的三角形。此時(shí)，教師可以將學(xué)生畫出的有代表性的不同類型的三角形畫在黑板上（如圖1），為下面將要進(jìn)行的探究活動做準(zhǔn)備。

圖1

問題2老師在黑板上畫出的三角形是同學(xué)們畫出的形狀不同、大小不等的三角形的代表?，F(xiàn)在請同學(xué)們思考一下：這些長得不一樣的三角形具有共同的特點(diǎn)（性質(zhì)）嗎？

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生回憶小學(xué)學(xué)過的三角形內(nèi)角和的性質(zhì)，引導(dǎo)學(xué)生感受幾何學(xué)習(xí)中的“形變質(zhì)不變”的神奇魅力。盡管三角形的形狀與大小各不相同，但是，小學(xué)學(xué)過的知識會告訴學(xué)生，其內(nèi)角和都為180°。對這個結(jié)論，在小學(xué)里，學(xué)生的認(rèn)識可能還沒有上升到“形變質(zhì)不變”這樣一個哲學(xué)化的層面，但是通過這樣一個活動，凸顯了三角形內(nèi)角和性質(zhì)的神奇，也踐行了螺旋上升的生長理念。

活動預(yù)設(shè)：如果學(xué)生基礎(chǔ)較弱，提煉不出三角形內(nèi)角和的性質(zhì)，可以追問或啟發(fā)：盡管三角形的形狀與大小不同，但是從“幾何量”的角度看（對于“幾何量”的概念，在“三角形概念”的教學(xué)中，就要明確對學(xué)生加以說明。因?yàn)檠芯繋缀螆D形，就是研究幾何圖形的“幾何量”的關(guān)系），這些三角形都有什么元素呢？它們又有什么關(guān)系呢？從而把學(xué)生的思維聚焦到三角形內(nèi)角（或其他“幾何量”）上來，進(jìn)而得到所需要的結(jié)論。

如果學(xué)生基礎(chǔ)較好，一下子說出了很多關(guān)于三角形的性質(zhì)，可以將這些性質(zhì)一一寫在黑板上，但是要利用“雕塑式板書”的藝術(shù)，將“三角形的內(nèi)角和為180°”寫在第一行。接著，引導(dǎo)學(xué)生“飯要一口口地吃，事要一件件地做”，追問學(xué)生：你們想先研究哪一個性質(zhì)呢？此時(shí)，也可能出現(xiàn)不同的研究需求，這沒有關(guān)系，因?yàn)槭馨鍟奶嵝?，會有部分學(xué)生表示想先研究“三角形的內(nèi)角和為180°”，此時(shí)便可以利用教師特有的話語權(quán)，順?biāo)浦鄣赜线@些學(xué)生的想法，將教學(xué)活動推進(jìn)到下一個環(huán)節(jié)。

問題3你們知道三角形的內(nèi)角和是180°，那么知道為什么嗎？

設(shè)計(jì)意圖：講道理（證明），是數(shù)學(xué)學(xué)科的重要精神追求和思維特征。再次提醒學(xué)生用“講道理”的方法來說明結(jié)論，讓學(xué)生認(rèn)識到“這需要證明”。長期堅(jiān)持這樣的思維方式，有利于學(xué)生形成正確的世界觀、價(jià)值觀、人生觀以及理性思維的品質(zhì)。

活動預(yù)設(shè)：對于學(xué)生基礎(chǔ)較好的班級，這種設(shè)計(jì)意圖，不會存在任何意外。對于學(xué)生基礎(chǔ)不是很好的班級，可能會有學(xué)生直接回答：小學(xué)老師告訴我們的。此時(shí)，要提醒學(xué)生注意審題：老師現(xiàn)在問你的是為什么三角形的內(nèi)角和是180°，而不是誰告訴你三角形的內(nèi)角和是180°的。使學(xué)生回到“需要證明”這個預(yù)設(shè)上來。另外，可能會有學(xué)生回答：通過撕角拼圖可以說明三角形的內(nèi)角是180°。這時(shí)，要讓學(xué)生上臺來動手操作，展示其通過數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證的過程，并且把相應(yīng)的圖形保留在黑板上（如圖2），為下面證明過程中輔助線的自然誕生做鋪墊。然后，要指出“這是驗(yàn)證”，并且通過追問將數(shù)學(xué)思維自然生長到“如何證明”上來。

圖2

問題4（1）根據(jù)撕角拼圖的實(shí)驗(yàn)，你能想到怎樣的證明方法？

（2）觀察式子∠A+∠B+∠C=180°的結(jié)構(gòu)，你能想到怎樣的圖形結(jié)構(gòu)？從而得到怎樣的證明方法？

設(shè)計(jì)意圖：如何證明這個結(jié)論，是這節(jié)課的重點(diǎn)和難點(diǎn)。讓學(xué)生自然地想到證明方法，很考驗(yàn)教師的數(shù)學(xué)理解和教學(xué)機(jī)智。筆者認(rèn)為，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是一個基于數(shù)學(xué)本質(zhì)自然生長的過程——本質(zhì)的東西是所謂的“大道”，最為簡單、有效;而代數(shù)的本質(zhì)往往落在“式結(jié)構(gòu)”上，幾何的本質(zhì)往往落在“形結(jié)構(gòu)”上。因此，數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該行走在“式結(jié)構(gòu)”與“形結(jié)構(gòu)”的時(shí)空中，讓它們擦出火花，埋下種子，進(jìn)而生根、發(fā)芽、開花、結(jié)果。

回到證明“三角形的內(nèi)角和為180°”這個命題上來，就是要在△ABC中，根據(jù)“∠A+∠B+∠C=180°”這個“式結(jié)構(gòu)”，想象到具體的幾何圖形的“形結(jié)構(gòu)”。具體地，“∠A+∠B+∠C=180°”這個“式結(jié)構(gòu)”可以分為兩個部分來認(rèn)識：一個是“∠A+∠B+∠C”，其中的“+”就是要將∠A、∠B、∠C放（聚）到一起，由此能夠自然地想到“撕角拼圖”和“等角湊圖”;另一個是“180°”，由此能夠自然地想到平角模型、鄰補(bǔ)角的和模型、平行線中的同旁內(nèi)角的和模型。

因此，針對基礎(chǔ)薄弱的學(xué)生設(shè)計(jì)問題4（1），讓他們在“撕角拼圖”實(shí)驗(yàn)的提示下，想到證明方法，同時(shí)感悟?qū)嶒?yàn)的理性價(jià)值與智慧價(jià)值;而針對基礎(chǔ)較好的學(xué)生設(shè)計(jì)問題4（2），直接讓他們產(chǎn)生對“式結(jié)構(gòu)”與“形結(jié)構(gòu)”的聯(lián)想，獲得證明方法，同時(shí)感悟控制變量思想的運(yùn)用。

活動預(yù)設(shè)：對于基礎(chǔ)薄弱的學(xué)生，可以通過問題4（1），引導(dǎo)他們得到下列三種基于輔助線的證明方法：（1）由拼成平角的實(shí)驗(yàn)（如圖2），可以得到過點(diǎn)A作BC平行線DE圖3（如圖3）的證法;（2）由拼成鄰補(bǔ)角的實(shí)驗(yàn)，可以得到延長BA到點(diǎn)E并過點(diǎn)A作BC平行線AD（如圖4）的證法;（3）由拼成平行線中的同旁內(nèi)角的實(shí)驗(yàn)，可以得到過點(diǎn)A作BC平行線AD（如圖5）的證法。

圖4圖5

然后，引導(dǎo)學(xué)生反思：正因?yàn)槿切蔚娜齻€內(nèi)角的和是180°，我們才可以設(shè)計(jì)出‘拼角實(shí)驗(yàn)’，進(jìn)而找到將三角形的三個內(nèi)角拼成平角、鄰補(bǔ)角或平行線中的同旁內(nèi)角的輔助線，來證明此結(jié)論。

而對于基礎(chǔ)較好的學(xué)生，則可以通過問題4（2），引導(dǎo)他們想到這三個基本的“形結(jié)構(gòu)”。接下來自然地進(jìn)入如何將三角形不在一起的三個內(nèi)角，通過等角變換（改變角的位置，而不改變角的大?。┓牛ň郏┑揭黄鸬募夹g(shù)操作層面。雖是技術(shù)操作，但是思維含量不可小覷：有層次的思維應(yīng)該是依次考慮變換一個角、兩個角和三個角的可能性及方法。于是，根據(jù)“生長數(shù)學(xué)”最近聯(lián)想、最近生長的原則，聯(lián)想到作平行線可以實(shí)現(xiàn)等角變換：變換一個角的輔助線（如圖5），變換兩個角的輔助線（如圖3、圖4），變換三個角的輔助線（如圖6），各種證明方法便應(yīng)運(yùn)圖6而生了。當(dāng)然，變換三個角還有變到三角形內(nèi)和三角形外的情形，這里不再另述。

然后，引導(dǎo)學(xué)生反思：上述有層次的思維體現(xiàn)的其實(shí)是物理、化學(xué)、生物等自然科學(xué)中常用的控制變量法，即讓一些量不變，另一些量改變;而在各個思維層次里，由于∠A、∠B、∠C “地位平等”，也可以有相應(yīng)的輔助線變式。由此，幫助學(xué)生打通學(xué)科間的方法壁壘，理解“結(jié)構(gòu)模型”本質(zhì)性、包容性，提高思維的深刻性、靈活性。

最后，還要追問：為什么我們用一個三角形來證明內(nèi)角和為180°，就可以認(rèn)為所有的三角形的內(nèi)角和都為180°呢？引導(dǎo)學(xué)生用運(yùn)動的觀點(diǎn)（如圖7）反思上述證明不失一般性。

圖7圖8

問題5（1）如圖8，在△ABC中，點(diǎn)D是邊CA延長線上的一點(diǎn)，若∠B=48°，∠C=62°，求∠BAD。

（2）如圖9，AB與CD相交于點(diǎn)M，如果∠A=∠D，求證：∠B=∠C。

（3）如圖10，點(diǎn)B是線段AC上一點(diǎn)，并且∠A=∠DBE=∠C，求證：∠D=∠EBC。

圖9圖10

設(shè)計(jì)意圖：這三題都是三角形內(nèi)角和定理的簡單應(yīng)用。第（1）題可以引導(dǎo)學(xué)生得到三角形外角的性質(zhì)這個推論。第（2）題可以引導(dǎo)學(xué)生挖掘?qū)斀窍嗟鹊碾[含條件，從而對“8字形”結(jié)構(gòu)有初步的認(rèn)識。第（3）題可以讓學(xué)生初步認(rèn)識“一線三等角”的結(jié)構(gòu)。

問題6本課你學(xué)習(xí)了什么？你最大的收獲有哪些？

設(shè)計(jì)意圖：期盼學(xué)生能夠總結(jié)出以下四點(diǎn)：一是數(shù)學(xué)上通常可以通過“式結(jié)構(gòu)”來聯(lián)想“形結(jié)構(gòu)”，讓這兩種結(jié)構(gòu)聯(lián)系在一起，發(fā)揮數(shù)與形的力量;二是添加輔助線是解決幾何問題的主要手段;三是平行線可以改變角的位置，不改變角的大小，從而把角放（聚）到一起;四是研究幾何的視角就是探究圖形變化的過程中“幾何量”不變的規(guī)律。

活動預(yù)設(shè)：如果學(xué)生總結(jié)有困難，教師可以引導(dǎo)學(xué)生回顧這節(jié)課的數(shù)學(xué)活動。在學(xué)生小結(jié)的過程中，教師要用“雕塑式板書”的藝術(shù)，突出上述四個活動經(jīng)驗(yàn)。

三、活動設(shè)計(jì)下的“三角形內(nèi)角和”教學(xué)反思

“生長數(shù)學(xué)”教學(xué)理念凸顯知識的生長性，指向思維的生長性，助力生命的成長。而生長性外顯于邏輯性，下面從知識邏輯、思維邏輯、教學(xué)邏輯三方面來談?wù)劰P者對本課例的教學(xué)反思。

（一）厘清知識邏輯是教學(xué)設(shè)計(jì)的前提

數(shù)學(xué)教學(xué)活動是以數(shù)學(xué)知識為載體的，而數(shù)學(xué)知識及其發(fā)展是有先后順序和邏輯關(guān)系的，這就必然關(guān)系著教學(xué)活動、教學(xué)過程的選擇、設(shè)計(jì)和優(yōu)化。因此，厘清知識的邏輯關(guān)系是設(shè)計(jì)教學(xué)活動的前提。

“三角形內(nèi)角和”這一內(nèi)容的知識邏輯，除了發(fā)現(xiàn)內(nèi)角和為180°、證明內(nèi)角和為180°、應(yīng)用內(nèi)角和為180°解決問題這些顯性的邏輯之外，還有上述活動設(shè)計(jì)中提出的“變中不變”“不失一般性”的隱性邏輯。教學(xué)中，只有把顯性邏輯與隱性邏輯加以整合，彰顯知識的生長性和關(guān)聯(lián)性，才能發(fā)揮數(shù)學(xué)教學(xué)的育人價(jià)值。

（二）把握思維邏輯是教學(xué)活動的關(guān)鍵

這里所說的思維邏輯是指，在教學(xué)過程中，根據(jù)要學(xué)習(xí)的知識邏輯，學(xué)生與教師所進(jìn)行的思維活動的規(guī)律。思維邏輯不僅體現(xiàn)在知識本身上，還體現(xiàn)在參與教學(xué)活動的教師與學(xué)生的思維活動中。

本課例中，讓學(xué)生從“180°”這個“式結(jié)構(gòu)”自然想到“平角”“鄰補(bǔ)角的和”“平行線中的同旁內(nèi)角的和”三種“形結(jié)構(gòu)”，從“∠A+∠B+∠C”中的“+”自然想到“把∠A、∠B、∠C放到一起”，進(jìn)而自然想到控制變量法、作平行線等，都是在讓學(xué)生建立思維的邏輯，體會邏輯的價(jià)值，感悟生長的力量。

（三）明晰教學(xué)邏輯是教學(xué)活動的根本

這里所說的教學(xué)邏輯是指，在教學(xué)過程中，師生之間教與學(xué)全過程的思維及規(guī)律。教育的根本目的就是讓學(xué)生更好、更快地生長、成長。一節(jié)數(shù)學(xué)課就應(yīng)該講述一個思維“故事”，在這個過程中帶給學(xué)生終身受用的哲學(xué)方法論上的認(rèn)識，即讓學(xué)生“帶得走”的能力和素養(yǎng)。

本課例中，讓學(xué)生在證明“在任意△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°”的過程中，體會“干什么”（“+”意味著“把三個內(nèi)角放在一起”）、“怎么干”（平行線可以改變角的位置，不改變角的大小，因此可以引入平行線）、“試試看”（用控制變量法）、“有何收獲”（從“平等”的角度，產(chǎn)生了模型下的變式方法;從運(yùn)動的角度，用一個三角形來證明內(nèi)角和定理又“不失一般性”）。這種解決問題的全過程，有其特別的教育意義。因?yàn)檫@種思維方法，不僅是解決此問題的方法，也是解決所有數(shù)學(xué)問題的方法。從某種意義上說，又不僅是解決數(shù)學(xué)問題的方法，也是解決將來生活中、工作中遇到的各種問題的方法。

參考文獻(xiàn)：

[1] 卜以樓.生長數(shù)學(xué)：卜以樓初中數(shù)學(xué)教學(xué)主張[M].西安：陜西師范大學(xué)出版社，2018.

[2] 卜以樓.數(shù)學(xué)本質(zhì)教學(xué)的個案研究[J].中國數(shù)學(xué)教育（初中），2008（12）.

[3] 伍銀平，卜以樓.初中數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的教學(xué)誤區(qū)及矯正方法[J].教學(xué)與管理，2015（22）.

[4] 張鶴.數(shù)學(xué)教學(xué)的邏輯——基于數(shù)學(xué)本質(zhì)的分析[M].北京：首都師范大學(xué)出版社，2016.