張建山

摘要：數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的實(shí)踐特征可歸納為從直觀到抽象、從感性到理性、從經(jīng)驗(yàn)到方法。這不僅關(guān)系到深度學(xué)習(xí)的表現(xiàn)形式、思維方式和通用技術(shù)，更有助于學(xué)生數(shù)學(xué)“三大能力”（抽象力、推理力、模型力）的發(fā)展，有助于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的層級(jí)與緩存，能實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)思考階段性目標(biāo)的定性發(fā)展。以《主視圖、左視圖、俯視圖》一課的片段為例進(jìn)行說(shuō)明。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)深度學(xué)習(xí)三視圖

文獻(xiàn)研究顯示，深度學(xué)習(xí)（deep learning）是對(duì)學(xué)習(xí)狀態(tài)的質(zhì)性描述，涉及學(xué)習(xí)的投入程度、思維層次和認(rèn)知體驗(yàn)等層面，強(qiáng)調(diào)對(duì)概念本質(zhì)的理解與把握，及其對(duì)學(xué)習(xí)內(nèi)容的揚(yáng)棄與可持續(xù)利用，實(shí)現(xiàn)學(xué)習(xí)的正遷移和有思維的問題解決。這里的“有思維”主要聚焦概念的工具性、概念性以及關(guān)系性的理解與定位。在R.斯根普看來(lái)，“工具性理解”是一種程序性理解，即一個(gè)規(guī)則R所指定的每一個(gè)步驟是什么，如何操作;“關(guān)系性理解”則還需要加上對(duì)符號(hào)意義或替代物本身結(jié)構(gòu)上的認(rèn)識(shí)。朱桂鳳老師覺得，斯根普提出的工具性理解和關(guān)系性理解跨度太大;從數(shù)學(xué)學(xué)科的認(rèn)知過程來(lái)看，應(yīng)該還有一個(gè)基于學(xué)科本身的內(nèi)部的理解過程，也是概念形成和概括的核心過程，可以稱之為概念性理解。當(dāng)然，數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)要更多地定位于關(guān)系性理解，只有從工具性理解達(dá)到關(guān)系性理解，才能把握數(shù)學(xué)對(duì)象的本質(zhì)。

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)作為一門實(shí)踐學(xué)，追求的恰是“數(shù)學(xué)思考”（即“有思維”）目標(biāo)的有序?qū)崿F(xiàn)，以及概念意義的深度建構(gòu)和思維方式的概括與表征。但由于初中學(xué)生的抽象、推理和模型思維尚待發(fā)展，形象思維大于抽象思維，工具理性大于概念理性，概念理性大于關(guān)系思維，就決定了數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的實(shí)踐特征可歸納為從直觀到抽象、從感性到理性、從經(jīng)驗(yàn)到方法。這不僅關(guān)系到深度學(xué)習(xí)的表現(xiàn)形式、思維方式和通用技術(shù)，更有助于學(xué)生數(shù)學(xué)“三大能力”（抽象力、推理力、模型力）的發(fā)展，有助于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的層級(jí)與緩存，能實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)思考階段性目標(biāo)的定性發(fā)展。

下面，以江蘇省連云港市“特級(jí)教師走基層活動(dòng)”中朱桂鳳老師執(zhí)教的蘇科版初中數(shù)學(xué)七年級(jí)上冊(cè)《主視圖、左視圖、俯視圖》一課的片段為例，試談筆者對(duì)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)環(huán)境下的“深度學(xué)習(xí)”（基于抽象力、推理力和模型力的發(fā)展）的些許思考，并以此彰顯數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課程的實(shí)踐意義及其“思維扶貧”的微言大義。

一、從直觀到抽象：數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)深度學(xué)習(xí)的表現(xiàn)形式

在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)實(shí)踐學(xué)范疇，直觀是數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)運(yùn)行的基本方式，抽象是數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的目的，從直觀到抽象是深度學(xué)習(xí)的表現(xiàn)形式。在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)中，實(shí)驗(yàn)內(nèi)容與步驟的確立就是直觀思維得以運(yùn)行的行動(dòng)載體，實(shí)驗(yàn)結(jié)論的概括與提煉就是數(shù)學(xué)抽象力發(fā)揮作用的行為表現(xiàn);從直觀到抽象的過程就是數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)環(huán)境下深度學(xué)習(xí)的基本途徑，有助于數(shù)學(xué)理解目標(biāo)的實(shí)現(xiàn)。一般地，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)對(duì)數(shù)學(xué)思考目標(biāo)的補(bǔ)償作用，不止于過程性目標(biāo)，還在于結(jié)果性目標(biāo)的最大化達(dá)成。也就是說(shuō)，數(shù)學(xué)思考的成效最終要通過結(jié)果性目標(biāo)來(lái)表現(xiàn)。在《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡(jiǎn)稱《課標(biāo)（2011版）》）看來(lái)，結(jié)果性目標(biāo)“了解”是從具體實(shí)例中知道或舉例說(shuō)明對(duì)象的有關(guān)特征，還要根據(jù)對(duì)象特征從具體情境中辨認(rèn)或舉例說(shuō)明對(duì)象。這就是數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)發(fā)生概念層的基本目標(biāo)，與概念的工具性理解顯性相關(guān)。

【教學(xué)片段1】

活動(dòng)1：請(qǐng)兩位同學(xué)走到黑板前，并排面向全體同學(xué)站立后連續(xù)向左轉(zhuǎn)。

活動(dòng)2：請(qǐng)學(xué)生看投影，并齊聲朗讀蘇軾的《題西林壁》。

師這兩個(gè)活動(dòng)要告訴我們什么？說(shuō)說(shuō)你的想法。

生從不同方向看同一物體，物體形狀可能會(huì)不同。

生要較為全面地認(rèn)識(shí)一個(gè)物體，通常需要從多個(gè)方向觀察。

活動(dòng)3：畫一畫。依次出示問題：

圖1（1）如圖1，從上面、左面、正面看一個(gè)球，看到的圖形分別是什么？請(qǐng)動(dòng)手畫一畫。

（一位學(xué)生展示。）

師這些圖形能不能隨便畫？

生不能。

（2）動(dòng)手配對(duì)：如圖2，觀察四棱錐，右邊3幅圖分別是從哪個(gè)方向看到的？

圖2

（一位學(xué)生展示：把3幅圖分別拖到從上面、正面、左面看的對(duì)應(yīng)位置。）

師（投影一個(gè)沒有畫出對(duì)角線的正方形）能不能說(shuō)從上面看到的是這樣的圖？

生不能。應(yīng)該能看到四棱錐的棱和頂點(diǎn)。

師畫的時(shí)候又該注意什么？能不能隨意畫兩個(gè)三角形？

生兩個(gè)三角形要一樣大小，畫圖時(shí)要注意對(duì)應(yīng)的長(zhǎng)度一致。

（3）動(dòng)手配對(duì)：如下頁(yè)圖3，桌面上放著一個(gè)圓柱和一個(gè)長(zhǎng)方體，請(qǐng)找出下面3幅圖分別是從哪一個(gè)方向看到的？

圖3

（一位學(xué)生展示：把3幅圖分別拖到從上面、正面、左面看的對(duì)應(yīng)位置。）

從“直觀”到“抽象”是概念發(fā)生環(huán)節(jié)的關(guān)鍵詞。直觀意味著知道具體對(duì)象，抽象意味著知道對(duì)象特征，從直觀到抽象旨在讓學(xué)生舉例說(shuō)明對(duì)象特征。在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)深度學(xué)習(xí)實(shí)施范疇，從直觀到抽象的思維形態(tài)表現(xiàn)在三個(gè)層面：一是目標(biāo)定位的適應(yīng)性，能讓每一個(gè)學(xué)生獲得良好的個(gè)體數(shù)學(xué)發(fā)展，知道應(yīng)知應(yīng)會(huì)的知識(shí);二是實(shí)驗(yàn)思維的補(bǔ)償性，能讓每一個(gè)學(xué)生都有“夠到桃”的抽象機(jī)會(huì);三是思維反應(yīng)塊的層次性，能讓每一個(gè)學(xué)生都有發(fā)展多元思維的契機(jī)，形成概念的本質(zhì)特征，剔除概念的非本質(zhì)屬性，實(shí)現(xiàn)“了解”概念的目標(biāo)，及其抽象過程的支持性條件（直觀的問題情境）。這些帶有刺激物特征的問題反應(yīng)塊，實(shí)現(xiàn)了從直觀到抽象的“深度學(xué)習(xí)”意義，即思維的適應(yīng)性、補(bǔ)償性和層次性;并落實(shí)了數(shù)學(xué)思考的“工具性”目標(biāo)，當(dāng)然這里的工具性除了具有程序性知識(shí)的意義，還有思維工具本身的指向意義。

課前，執(zhí)教者通過投影，明確了本節(jié)課的學(xué)習(xí)目標(biāo)：（1）在具體情境中，獲得直棱柱、圓柱、圓錐、球的主視圖、左視圖、俯視圖的畫法;（2）在問題解決中，判斷簡(jiǎn)單物體的視圖，知道視圖的應(yīng)用，發(fā)展空間觀念。這既是對(duì)《課標(biāo)（2011版）》中第三學(xué)段（7—9年級(jí)）“圖形與幾何”領(lǐng)域課程內(nèi)容“通過豐富的實(shí)例，了解中心投影和平行投影的概念;會(huì)畫直棱柱、圓柱、圓錐、球的主視圖、左視圖、俯視圖，能判斷簡(jiǎn)單物體的視圖，并會(huì)根據(jù)簡(jiǎn)單的視圖描述簡(jiǎn)單的幾何體”的課時(shí)化考量，更是對(duì)本節(jié)課作為概念起始課的基于“從直觀到抽象的三層思維形態(tài)”的整體預(yù)設(shè)。

執(zhí)教中，讓兩位學(xué)生上臺(tái)展示，其他學(xué)生在“連續(xù)向左轉(zhuǎn)”思維的參與下，看到了同學(xué)身體的四個(gè)面。朗讀《題西林壁》活動(dòng)的跟進(jìn)，意在通過兩個(gè)活動(dòng)中圖文的變換，掩映圖形變換思想，讓學(xué)生明白“從三個(gè)方向”看到的同一個(gè)物體的圖形有可能是不一樣的，同時(shí)，感知至少?gòu)娜齻€(gè)方向上看一個(gè)物體，才能把握物體的概貌特征。這組活動(dòng)實(shí)現(xiàn)了與小學(xué)“從三個(gè)方向看”概念意義的自然銜接，既是喚醒經(jīng)驗(yàn)，更是為下一步“夠桃”備好墊腳的“凳子”?；顒?dòng)3中的3個(gè)梯級(jí)問題是“思維反應(yīng)塊”，意在讓學(xué)生在畫圖與選擇中不斷地抽象“三視圖”的特征，有助于概念的發(fā)生與形成，在過程性“做數(shù)學(xué)”中達(dá)成了解概念的目標(biāo)。其中，問題（1）是從“從三個(gè)方向看”到“三個(gè)視圖”的思維過渡，是從小學(xué)幾何到初中幾何的銜接，有助于學(xué)生感知中心投影的物理壓縮意義，以及課時(shí)目標(biāo)的準(zhǔn)確定位;問題（2）是示范“三視圖”的畫法和規(guī)則，有利于引導(dǎo)學(xué)生規(guī)范畫圖意識(shí)，養(yǎng)成科學(xué)思維;問題（3）則是由簡(jiǎn)單到復(fù)雜的思維范式，引導(dǎo)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考由“單一思維”走向“組合思維”，落實(shí)概念抽象和重組的意義，為概念的遷移提供直觀數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的思維基礎(chǔ)。

二、從感性到理性：數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)深度學(xué)習(xí)的思維方式

在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)深度學(xué)習(xí)范疇，感性思維是知識(shí)獲得的邏輯起點(diǎn)，理性思維是知識(shí)保持的支持條件，從感性思維到理性思維的變遷是概念理解的數(shù)學(xué)思維方式。數(shù)學(xué)思考為深度學(xué)習(xí)提供支撐，深度學(xué)習(xí)的層次支配著問題解決的水平和方向，為數(shù)學(xué)思考提供不可或缺的鋪墊。進(jìn)一步而言，舉一反三的數(shù)學(xué)例規(guī)法及其觸類旁通的問題解決套路，都為數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的有序操作提供深度學(xué)習(xí)的支撐。在過程性體驗(yàn)?zāi)繕?biāo)的支配下，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)作為一種理解知識(shí)的程序，可促發(fā)概念理解目標(biāo)的層次性實(shí)現(xiàn)。例如，從“用細(xì)木棒搭三角形”獲得“三角形三邊制約關(guān)系”，就是從感性到理性的實(shí)驗(yàn)過程。其中，“較短兩邊的和大于最長(zhǎng)邊”結(jié)論的提煉，就是深度學(xué)習(xí)的結(jié)果形態(tài)。

認(rèn)知心理學(xué)將理解問題看成是頭腦中形成問題空間的過程。問題空間是個(gè)體對(duì)一個(gè)問題所達(dá)到的全部認(rèn)識(shí)狀態(tài)，包括問題的起始狀態(tài)和目標(biāo)狀態(tài)以及由前者過渡到后者的各種中間狀態(tài)和有關(guān)的操作與推理。在大尺度的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)邏輯推理范疇，起始狀態(tài)就是感性思維，目標(biāo)狀態(tài)就是理性思維，由感性到理性的過程就是起始狀態(tài)過渡到目標(biāo)狀態(tài)的外在思維方式?！墩n標(biāo)（2011版）》把“理解”看作是描述對(duì)象特征和由來(lái)（概念的起始狀態(tài)），闡述對(duì)象與相關(guān)對(duì)象之間的區(qū)別和聯(lián)系（概念對(duì)象與相關(guān)對(duì)象之間的關(guān)系）。正如從“從正面、左面、上面看”到“主視圖、左視圖、俯視圖”概念的形成，就是從感性到理性的一個(gè)生動(dòng)的例規(guī)性非完全推理。其實(shí)，從“選擇、辨認(rèn)‘三視圖’”到“畫出‘三視圖’”的過程就是從感性思維上升到理性思維的過程，實(shí)現(xiàn)了對(duì)概念本質(zhì)特征的進(jìn)一步把握。不難理解，這些層次性思維有助于概念的概念性產(chǎn)生式形成，與概念的結(jié)果性目標(biāo)具有內(nèi)部關(guān)系一致性，發(fā)展了學(xué)生的概括與表征水平。

【教學(xué)片段2】

活動(dòng)4：如表1，觀察表中所示物體，將看到的圖形填入表中。學(xué)生畫圖后，分組展示。

師畫出圖形的大小有什么要求？

生畫圖的大小要與原幾何體一致。

師具體要怎么做才能讓畫圖的大小與原幾何體一致？請(qǐng)小組討論后，分別匯報(bào)交流。

（學(xué)生分組展示后，歸納出畫圖大小規(guī)范的標(biāo)準(zhǔn)：長(zhǎng)對(duì)正、高平齊、寬相等。）

師請(qǐng)嘗試用自己的語(yǔ)言給主視圖、左視圖、俯視圖以描述性的概念。

（兩位學(xué)生分別給出自己的概念描述。）

圖4活動(dòng)5：如圖4，請(qǐng)嘗試畫出該物體的“三視圖”，并將自己畫圖的結(jié)果與課本上的結(jié)果相比對(duì)，進(jìn)一步體會(huì)如何才能規(guī)范畫圖，并把自己的想法與同伴交流。

在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)中，數(shù)學(xué)認(rèn)知理解目標(biāo)達(dá)成的質(zhì)量，受深度學(xué)習(xí)問題反應(yīng)塊的支配：適度的問題有助于概念的理解與把握，正如適量變式練習(xí)是形成心智技能的重要途徑。為了追求適合的問題反應(yīng)塊，需要做好三個(gè)層面的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)操作：一是提出問題，落實(shí)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的概括功能;二是解決問題，搭建數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)從感性思維上升到理性思維的臺(tái)階;三是元認(rèn)知體驗(yàn)，落實(shí)概念的概念性理解，即概念發(fā)生的必要性和來(lái)龍去脈。

在“三視圖”概念的形成與使用模塊，就是突出感性思維到理性思維的過渡狀態(tài)，有利于概念的認(rèn)知理解以及過程性目標(biāo)的實(shí)現(xiàn)。教學(xué)片段2中，活動(dòng)4讓學(xué)生先從三個(gè)方向看，再畫出三個(gè)基本幾何體的“三視圖”。這是教學(xué)片段1中“配對(duì)”活動(dòng)的認(rèn)知升級(jí)，使“三視圖”概念的感性特征愈發(fā)明顯。畫圖后的交流反思意在讓學(xué)生評(píng)價(jià)思維結(jié)果的科學(xué)性和規(guī)范性，進(jìn)而具體理解“長(zhǎng)對(duì)正、高平齊、寬相等”的實(shí)際意義。這是落實(shí)理性推理的支持條件，進(jìn)而在由特殊到一般思想引領(lǐng)下，能順利給出“三視圖”的描述性概念?；顒?dòng)5讓學(xué)生在畫出復(fù)雜幾何體“三視圖”的基礎(chǔ)上，分組評(píng)價(jià)畫圖結(jié)果，并且在與課本對(duì)照的過程中，進(jìn)一步確定理性畫圖方法。如果說(shuō)活動(dòng)4含有感性思維的成分較多，那么活動(dòng)5更多的是理性思維的載體，確認(rèn)理性畫圖方法就是元認(rèn)知體驗(yàn)的具體表現(xiàn)，落實(shí)了從感性到理性認(rèn)知理解目標(biāo)的有序?qū)崿F(xiàn)，突出了數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)深度學(xué)習(xí)的推理特征：經(jīng)歷推理、概括與反思，形成概念性理解的能力。

三、從經(jīng)驗(yàn)到方法：數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)深度學(xué)習(xí)的通用技術(shù)

心理學(xué)研究表明，專家之所以具有較強(qiáng)的遷移能力，原因之一就是他們具有解決某一問題的豐富的背景經(jīng)驗(yàn)或認(rèn)知結(jié)構(gòu)。在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)評(píng)價(jià)學(xué)范疇，背景經(jīng)驗(yàn)可以理解為一種客觀的知識(shí)結(jié)構(gòu)，方法體系可以理解為一種個(gè)體的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，將知識(shí)結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化為認(rèn)知結(jié)構(gòu)的過程就是從經(jīng)驗(yàn)到方法的實(shí)現(xiàn)過程。在實(shí)踐學(xué)范疇，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是通過對(duì)實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象和結(jié)果的分析、表征與應(yīng)用，以及相應(yīng)的“請(qǐng)用語(yǔ)言描述你的發(fā)現(xiàn)”“你怎么知道的？”“下一步，你還需要怎么做？”等帶有元認(rèn)知監(jiān)控特征的活動(dòng)，誘發(fā)深度學(xué)習(xí)發(fā)生的。這里的深度學(xué)習(xí)主要包括元認(rèn)知層面的分析、反思與評(píng)價(jià)，有助于認(rèn)知遷移的實(shí)現(xiàn)，是經(jīng)驗(yàn)轉(zhuǎn)化為方法的通用技術(shù)，更是對(duì)概念進(jìn)行關(guān)系性理解，形成和發(fā)展模型力的不可替代的途徑。

【教學(xué)片段3】

活動(dòng)6：如圖5，分別畫出圖中兩個(gè)物體的主視圖、左視圖、俯視圖。學(xué)生獨(dú)立畫圖。

圖5

師與活動(dòng)5中的“三視圖”結(jié)果相比較，有什么不同？產(chǎn)生這些不同的根本原因是什么？

（學(xué)生分組展示。）

活動(dòng)7：如圖6，該幾何體由大小相同的小立方體搭成。

（1）請(qǐng)?jiān)诜礁窦堉挟嫵鲈搸缀误w的主視圖、左視圖、俯視圖。

（2）現(xiàn)在你手頭還有一些相同的小立方體，如果保持俯視圖和左視圖不變，那么在這個(gè)幾何體上最多可以再添加幾個(gè)小立方體？為什么？說(shuō)說(shuō)你的想法。

圖6圖7

活動(dòng)8：小結(jié)反思。

（1）舉例說(shuō)明，經(jīng)歷本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你獲得了什么？

（2）舉例說(shuō)明，你知道了什么？

（3）你對(duì)圖形世界有了哪些新認(rèn)識(shí)？

活動(dòng)9：圖7是一個(gè)由長(zhǎng)方體和圓柱組合而成的幾何體。已知長(zhǎng)方體的底面是正方形，其邊長(zhǎng)與圓柱底面圓的直徑相等，其高也與圓柱的高相等。

（1）畫出這個(gè)幾何體的主視圖、左視圖、俯視圖;

（2）若圓柱底面圓的直徑為a，高為b?，F(xiàn)將該幾何體露在外面的部分噴上油漆，求需要噴漆部分的面積。

進(jìn)一步而言，在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)環(huán)境下，深度學(xué)習(xí)表現(xiàn)為三個(gè)思維層面：

第一是應(yīng)用意識(shí)。也就是有意識(shí)地利用數(shù)學(xué)概念、原理和方法解釋現(xiàn)實(shí)世界中的現(xiàn)象，解決現(xiàn)實(shí)世界中的問題。如，從“從三個(gè)方向看”到“三視圖”概念的抽象，就是應(yīng)用意識(shí)的第一個(gè)層面。此外，還包括認(rèn)識(shí)到現(xiàn)實(shí)世界中蘊(yùn)含著大量與數(shù)量有關(guān)的問題，這些問題可以抽象成數(shù)學(xué)問題，用數(shù)學(xué)的方法加以解決。在整個(gè)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)過程中，應(yīng)該注意培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)。活動(dòng)7第（2）問的解決，需要思維在幾何體與“三視圖”之間不停往返，這是應(yīng)用概念的行為，帶有逆向思考的特征，實(shí)現(xiàn)了將數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)上升到數(shù)學(xué)方法體系層面，落實(shí)了概念的關(guān)系性理解，驅(qū)動(dòng)了數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的概念經(jīng)驗(yàn)轉(zhuǎn)化為概念方法的內(nèi)部支持。

第二是發(fā)展區(qū)意識(shí)。就是使學(xué)生思維知覺水平與問題思維水平一致，經(jīng)歷問題解決能將學(xué)生的事實(shí)發(fā)展水平上升到現(xiàn)有發(fā)展區(qū)水平，從而有助于從經(jīng)驗(yàn)到方法目標(biāo)的有序?qū)崿F(xiàn)。當(dāng)然，任何實(shí)驗(yàn)經(jīng)驗(yàn)的層級(jí)最終都需要結(jié)果性實(shí)驗(yàn)?zāi)繕?biāo)的達(dá)成，這就要求學(xué)生掌握和運(yùn)用概念。一般情況下，掌握是在理解的基礎(chǔ)上，把對(duì)象用于新的情境;運(yùn)用是綜合使用已經(jīng)掌握的對(duì)象，選擇和創(chuàng)造適當(dāng)?shù)姆椒ń鉀Q問題。前者是概念使用層，后者是概念解釋層。無(wú)論概念的掌握還是運(yùn)用，都與概念的關(guān)系性理解具有內(nèi)部關(guān)系一致性。比如，活動(dòng)6就直接指向掌握概念的結(jié)果形態(tài)。與活動(dòng)5畫圖結(jié)果的比對(duì)（教師的追問），意在讓概念的結(jié)果形態(tài)在“同與不同”及“同與不同背后原因的思索”中愈發(fā)豐滿，為概念使用層級(jí)提供足夠的理解基礎(chǔ)。而活動(dòng)7第（2）問的解決過程中，互逆思維的使用，正是概念使用與概念解釋兩個(gè)不同層面往復(fù)的過程。這個(gè)問題觸及學(xué)生的問題解決能力，是對(duì)結(jié)構(gòu)概念的一種最好解釋。好的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)總是在引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)思考的同時(shí)，關(guān)注培養(yǎng)學(xué)生的問題解決能力——這才是最好的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)，也是有質(zhì)量的深度學(xué)習(xí)的外在表現(xiàn)。

第三是元認(rèn)知意識(shí)。一般情況下，它是對(duì)認(rèn)知活動(dòng)的認(rèn)知，是對(duì)概念意義的解釋與拓展?！墩n標(biāo)（2011版）》明確指出，數(shù)學(xué)知識(shí)教學(xué)要把每一堂課教學(xué)的知識(shí)置于整體的知識(shí)體系中，注重知識(shí)之間的結(jié)構(gòu)和體系，處理好局部與整體的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生感受數(shù)學(xué)的整體性，體會(huì)某些知識(shí)可以從不同的角度加以分析、從不同的層次進(jìn)行理解。為此，基于深度學(xué)習(xí)，執(zhí)教者建構(gòu)了包括提出問題、合作探究、討論反思、認(rèn)知回流、應(yīng)用解釋等實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ停兄趯W(xué)生在實(shí)驗(yàn)過程中，將整體思維納入自己的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，實(shí)現(xiàn)對(duì)知識(shí)的系統(tǒng)把握，達(dá)成“知其然，知其所以然”的目標(biāo)。在活動(dòng)8這一結(jié)課環(huán)節(jié)，執(zhí)教者就是基于“從經(jīng)驗(yàn)到方法”，讓學(xué)生在反思評(píng)價(jià)中，獲得基本方法（基本套路），及時(shí)將數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)外在的操作行為轉(zhuǎn)化為概念解釋力，實(shí)現(xiàn)深度學(xué)習(xí)，培養(yǎng)模型意識(shí)。比如，小結(jié)中的“舉例說(shuō)明”本身帶有元認(rèn)知意識(shí)，有助于學(xué)生形成上下貫通、左右銜接的知識(shí)體系，是將實(shí)驗(yàn)經(jīng)驗(yàn)上升到實(shí)驗(yàn)方法的通用技術(shù)。另外，活動(dòng)9的問題設(shè)置是由“三視圖”回歸代數(shù)思維的表現(xiàn)形式，而代數(shù)思維本身就是一種模型，也是一種元認(rèn)知意識(shí)，即“畫圖—模型—解釋”，這有助于概念認(rèn)知結(jié)構(gòu)的遷移與變式，有助于元認(rèn)知目標(biāo)的實(shí)現(xiàn)。

*本文系江蘇省中小學(xué)教學(xué)研究第十二期重點(diǎn)資助課題“基于‘深度教學(xué)’視角的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)常態(tài)化實(shí)施實(shí)踐研究”（編號(hào)：2017JK12ZA11）的階段性研究成果。

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