郝思齊 韋伶明 唐劍嵐

【摘 要】在小學(xué)階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，“可能性”是探索概率與統(tǒng)計(jì)的開始，也是培育學(xué)生數(shù)據(jù)分析觀念的重要內(nèi)容。學(xué)生雖然不難理解“可能性”的概念，但對(duì)“可能性大小”“隨機(jī)性”概念的理解往往是教學(xué)的難點(diǎn)。傳統(tǒng)教學(xué)主要通過手工收集數(shù)據(jù)，聚焦可能性大小的計(jì)算結(jié)果，卻弱化了實(shí)驗(yàn)活動(dòng)體驗(yàn)，這不利于幫助學(xué)生理解可能性大小的本質(zhì)，也很難培養(yǎng)學(xué)生數(shù)據(jù)分析的觀念。研究者借助Hawgent皓駿動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)技術(shù)，增強(qiáng)實(shí)驗(yàn)活動(dòng)體驗(yàn)，強(qiáng)化利用數(shù)據(jù)分析思考問題的能力，讓學(xué)生感受統(tǒng)計(jì)與概率在生活中的應(yīng)用，并幫助理解隨機(jī)性和“預(yù)見”可能性的大小，為小學(xué)數(shù)學(xué)的可能性教學(xué)提供參考。

【關(guān)鍵詞】 可能性的大小;數(shù)據(jù)分析;數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)活動(dòng)

一、創(chuàng)課背景與問題

滬教版數(shù)學(xué)五年級(jí)下冊(cè)“可能性的大小”是在學(xué)生初步感知可能性的基礎(chǔ)上進(jìn)行教學(xué)的，其理論基礎(chǔ)也為學(xué)生在中學(xué)階段學(xué)習(xí)概率相關(guān)內(nèi)容做了重要鋪墊。傳統(tǒng)教學(xué)常常借助“拋硬幣”“擲骰子”“轉(zhuǎn)盤游戲”等數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，幫助學(xué)生獲得可能性大小的感知。但由于有限的實(shí)驗(yàn)次數(shù)難以讓學(xué)生理解隨機(jī)性概念的內(nèi)涵，又囿于模型本身的不可變式性，致使學(xué)生難以理解可能性大小的本質(zhì)，產(chǎn)生諸如“理論判斷一定與隨機(jī)結(jié)果一致”和“等可能性偏見”等錯(cuò)誤認(rèn)知。針對(duì)以上問題，筆者試圖通過Hawgent皓駿動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)技術(shù)優(yōu)化創(chuàng)課設(shè)計(jì)，增強(qiáng)實(shí)驗(yàn)活動(dòng)的可視性、同步性、及時(shí)性，讓學(xué)生從數(shù)據(jù)分析的角度“預(yù)見”可能性的大小。

二、創(chuàng)課設(shè)計(jì)與實(shí)錄

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》提出，數(shù)據(jù)分析是統(tǒng)計(jì)的核心。對(duì)小學(xué)生而言，數(shù)據(jù)分析的觀念主要包括三個(gè)基本方面：體驗(yàn)隨機(jī)性概念的基本內(nèi)涵，具有用數(shù)據(jù)說話的基本意識(shí)，懂得用數(shù)據(jù)說話的基本方法[1]?；诖?，筆者試圖將Hawgent皓駿動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)技術(shù)深度融入教學(xué)中，對(duì)“可能性的大小”教學(xué)進(jìn)行創(chuàng)課設(shè)計(jì)，以期破解體驗(yàn)隨機(jī)性概念的難點(diǎn)，糾正“理論判斷一定與隨機(jī)結(jié)果一致”和“等可能性偏見”等錯(cuò)誤認(rèn)知，提升學(xué)生數(shù)據(jù)分析的能力。

教學(xué)過程通過“拋硬幣—擲骰子—轉(zhuǎn)盤游戲”三個(gè)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)串聯(lián)，將學(xué)生置于生活化的抽獎(jiǎng)情境中，并要求學(xué)生選出最佳抽獎(jiǎng)方式。首先，教師動(dòng)態(tài)演示“拋硬幣”的不合理性，并提出問題：“剩下的兩種抽獎(jiǎng)方式能解決我們的問題嗎？”以任務(wù)驅(qū)動(dòng)的方式，引發(fā)學(xué)生思考和辨析;接著，借助Hawgent皓駿動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)技術(shù)模擬“擲骰子”的操作，并改變實(shí)驗(yàn)次數(shù)，同步顯示實(shí)驗(yàn)結(jié)果，啟發(fā)和誘導(dǎo)學(xué)生分析數(shù)據(jù);然后，在轉(zhuǎn)盤游戲中，操作教學(xué)積件10等分轉(zhuǎn)盤，暗示其不公平性，以認(rèn)知沖突引發(fā)學(xué)生動(dòng)手修改，保證設(shè)計(jì)方案的公平性;最后，小結(jié)反思三種解決問題方案的本質(zhì)，進(jìn)一步理解不確定事件發(fā)生可能性大小的本質(zhì)。根據(jù)上述設(shè)計(jì)思路，以下是“可能性的大小”教學(xué)片段的創(chuàng)課實(shí)錄。

師：小圓、小方、小鏡一起參加商場的抽獎(jiǎng)活動(dòng)，游戲要求3個(gè)人一起參加，中獎(jiǎng)的人可以得到1份神秘大禮，為了公平起見，該選取拋硬幣、擲骰子、轉(zhuǎn)盤游戲中的哪種抽獎(jiǎng)方式呢？

小圓：這3種抽獎(jiǎng)方式都是不確定事件，該怎么選呀？

師：我們依次來試試吧！先來看看拋硬幣，但拋硬幣只有兩種可能情況，3個(gè)人就不能同時(shí)參加了。（操作積件展示拋硬幣的動(dòng)畫效果）

小圓（疑惑）：那怎么辦呢？

師：別著急，我們來看看剩下兩種抽獎(jiǎng)方式能不能解決我們的問題。

小方：我想選擲骰子。

師：小方同學(xué)想選擲骰子，那么這種抽獎(jiǎng)方式是公平的嗎？

小圓：又該怎么評(píng)判游戲的勝負(fù)呢？

師：我們知道一個(gè)骰子有6個(gè)面，那就讓數(shù)字1、2代表小圓，3、4代表小方，5、6代表小鏡，拋擲骰子出現(xiàn)對(duì)應(yīng)數(shù)字的人獲勝，一起來試試吧。先拋擲10次，可以發(fā)現(xiàn)有的數(shù)字一次都沒有搖到，有的同學(xué)也許會(huì)覺得不公平，那我們拋100次試試。如果拋1000次，2000次呢？隨著拋擲次數(shù)的增加，6個(gè)面出現(xiàn)的次數(shù)又有什么樣的變化呢？可以看到，6個(gè)面出現(xiàn)的次數(shù)也越來越接近了。（用Hawgent皓駿動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)技術(shù)模擬擲骰子的動(dòng)手操作環(huán)節(jié)，如圖1所示）

小方：那可以說這6個(gè)數(shù)字出現(xiàn)的次數(shù)是相等的嗎？

師：這個(gè)答案早在300多年前，數(shù)學(xué)家雅各布·伯努利就已經(jīng)告訴我們了。對(duì)于拋硬幣、擲骰子這類事件，每種情況出現(xiàn)的次數(shù)是隨機(jī)的，但隨著實(shí)驗(yàn)次數(shù)的增多，也會(huì)逐步呈現(xiàn)出必然的規(guī)律。具體到擲骰子中，這個(gè)必然的規(guī)律就是，實(shí)驗(yàn)次數(shù)越多，6個(gè)數(shù)字出現(xiàn)的次數(shù)也就越接近。

小圓：我明白了，擲骰子有6種可能情況，而且每種情況的可能性大小是相等的。

小方：我也懂了，也就是說擲骰子是公平的，我們可以選擇這種方式抽獎(jiǎng)。

師：大家都很棒。擲骰子有6種可能情況，每種情況的可能性大小是相等的，所以每個(gè)人都有2種可能性相等的情況，這是公平的。

小鏡：那最后一種轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)盤的抽獎(jiǎng)方式，是公平的嗎？

師：我們來看看，商場給的這個(gè)轉(zhuǎn)盤被等分為10份，有藍(lán)色、黃色、綠色三個(gè)區(qū)域，大家都想要什么顏色呢？

小圓：我要藍(lán)色。

小方：我要黃色。

師：確定嗎？小心中了商家的圈套。小方、小圓各占3份，那么綠色的部分就是小鏡所占有的了，仔細(xì)看一看，小鏡有幾份呢？（引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題）

小圓：這樣不公平，小鏡比我們多了1份！

師：那么，請(qǐng)大家動(dòng)動(dòng)腦筋，這個(gè)轉(zhuǎn)盤要怎樣修改才能使3個(gè)人獲勝的可能性相等呢？（啟發(fā)學(xué)生動(dòng)手修改轉(zhuǎn)盤）

小鏡：我們可以把轉(zhuǎn)盤等分成9份，每個(gè)人占3份，這樣就好啦。（同步操作積件，單擊“平均分的份數(shù)”，輸入數(shù)字“9”，再依次單擊“小圓的份數(shù)”“小方的份數(shù)”，輸入數(shù)字“3”，如圖2所示）

師：小鏡同學(xué)想法很好，這樣每種顏色的對(duì)應(yīng)區(qū)域各占了3份，游戲就公平了。我們返回來看一下，轉(zhuǎn)盤修改前后都有3種可能情況，卻因?yàn)榫G色區(qū)域份數(shù)的不同，造成了可能性大小的差異，但修改后轉(zhuǎn)盤的可能性是相等的。因此，我們最終可以選擇的抽獎(jiǎng)方式有兩種，一種是擲骰子，另一種就是修改后的轉(zhuǎn)盤。對(duì)于這兩種方式，每人獲勝的可能性的大小是可以預(yù)見的，都是機(jī)會(huì)均等和公平合理的。

師（追問）：獲勝的可能性一樣，是不是3個(gè)人擲到骰子的數(shù)字、轉(zhuǎn)到的顏色次數(shù)都一樣，都會(huì)獲勝？

小鏡：當(dāng)然不是?？赡苄砸粯?，不代表每一次擲到的數(shù)字、轉(zhuǎn)到的顏色次數(shù)都一樣，還要看運(yùn)氣。

師：對(duì)。兩種方式都有可能性和規(guī)律性，但隨機(jī)性永遠(yuǎn)不會(huì)消失。

三、創(chuàng)課評(píng)析與反思

此次創(chuàng)課基于《課程標(biāo)準(zhǔn)》中對(duì)數(shù)據(jù)分析觀念的培養(yǎng)要求完成設(shè)計(jì)，以Hawgent皓駿動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)技術(shù)深度融入數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)活動(dòng)，破解教學(xué)難點(diǎn)，最終幫助學(xué)生從數(shù)據(jù)分析的角度“預(yù)見”可能性的大小。具體教學(xué)過程依托三個(gè)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，對(duì)應(yīng)教學(xué)片段中的三個(gè)環(huán)節(jié)。第一環(huán)節(jié)，提出問題“如何選擇抽獎(jiǎng)方式”，動(dòng)態(tài)展示“拋硬幣”。將其作為行為活動(dòng)的經(jīng)驗(yàn)起點(diǎn)，讓學(xué)生初步感受“等可能性”的本質(zhì)內(nèi)涵。同時(shí)，以“拋硬幣的不合理性”為思維活動(dòng)的邏輯起點(diǎn)，幫助學(xué)生理解題意。

在“擲骰子”的實(shí)驗(yàn)環(huán)節(jié)，教師借助Hawgent皓駿動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)技術(shù)，依次演示拋擲骰子10次、100次、1000次、2000次的隨機(jī)結(jié)果，并在拋擲過程中直接生成條形統(tǒng)計(jì)圖，方便學(xué)生對(duì)比6個(gè)面出現(xiàn)的次數(shù)。這里借助Hawgent皓駿動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)技術(shù)視覺化活動(dòng)進(jìn)程，一方面，實(shí)驗(yàn)次數(shù)由10次一直增加到2000次，突破了傳統(tǒng)課堂對(duì)實(shí)驗(yàn)次數(shù)的限制，更符合“以大數(shù)據(jù)探尋規(guī)律”的數(shù)據(jù)分析觀念[2];另一方面，實(shí)驗(yàn)過程與統(tǒng)計(jì)過程合二為一，不僅節(jié)省了教學(xué)時(shí)間，也更易使學(xué)生關(guān)注到骰子6個(gè)面出現(xiàn)的次數(shù)“趨于穩(wěn)定”，但又不完全相等的過程。在此過程中，通過區(qū)分對(duì)比次數(shù)，使理論判斷與隨機(jī)結(jié)果之間的差異直觀化，讓學(xué)生明白實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)會(huì)基本穩(wěn)定地趨近概率，由此揭示數(shù)據(jù)的隨機(jī)性與規(guī)律性。這樣學(xué)生就在層層遞進(jìn)、不斷深入思考的過程中完善認(rèn)知，理解等可能性的數(shù)學(xué)本質(zhì)。

在“轉(zhuǎn)盤游戲”的實(shí)驗(yàn)環(huán)節(jié)中，針對(duì)修改前的轉(zhuǎn)盤，一些學(xué)生會(huì)認(rèn)為“三種顏色都有可能，那么它們的可能性就一樣大”，由此產(chǎn)生“等可能性偏見”[3]。這時(shí)，由于實(shí)物轉(zhuǎn)盤模型的不可變式性，傳統(tǒng)教學(xué)手段幾乎無法在課堂上快速、準(zhǔn)確地比較三種顏色面積的大小，因此“如何引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)不公平，并給出公平的方案”成為教學(xué)難點(diǎn)?；诖?，將Hawgent皓駿動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)技術(shù)深度融入教學(xué)中。首先，設(shè)計(jì)將轉(zhuǎn)盤分成10等分，同時(shí)輔以提問，“仔細(xì)看一看，小鏡有幾份呢？”這里沒有直接拆分區(qū)域、比較大小，而是采用等分的方式，使可能性大小得以量化，使學(xué)生關(guān)注的焦點(diǎn)轉(zhuǎn)變?yōu)閿?shù)據(jù)，繼而通過“數(shù)一數(shù)”，便可輕易判斷轉(zhuǎn)盤的公平與否;接著，教師啟發(fā)學(xué)生修改轉(zhuǎn)盤，動(dòng)手操作積件進(jìn)行分割、涂色，避免了重新“畫一畫”的冗余操作;最后，再次強(qiáng)調(diào)三種顏色的對(duì)應(yīng)份數(shù)，以數(shù)據(jù)驗(yàn)證猜想，確定公平的設(shè)計(jì)方案。這一實(shí)驗(yàn)環(huán)節(jié)，學(xué)生以數(shù)據(jù)為切入點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)游戲的不公平，最終又回到對(duì)數(shù)據(jù)的分析，驗(yàn)證修改方案的公平性，真正意義上達(dá)到從數(shù)據(jù)分析的角度強(qiáng)化了對(duì)“可能性大小”的理解。

當(dāng)然，“可能性的大小”教學(xué)過程并不是完全死板教條的，需要結(jié)合學(xué)生的接受能力和掌握情況做適當(dāng)調(diào)整。重要的是，對(duì)于教師，教的過程要注重強(qiáng)化實(shí)驗(yàn)活動(dòng)的體驗(yàn)，培養(yǎng)數(shù)據(jù)分析的能力。而對(duì)于學(xué)生，學(xué)的過程則要理解生活現(xiàn)象背后的數(shù)學(xué)本質(zhì)，掌握解決概率和統(tǒng)計(jì)問題的思想方法。

參考文獻(xiàn)：

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[2]斯瑤. 體驗(yàn)數(shù)據(jù)隨機(jī)性，培養(yǎng)數(shù)據(jù)分析觀念：以“擲一擲”為例[J]. 教學(xué)月刊：小學(xué)版（數(shù)學(xué)），2018（3）：35-37.

[3]侯德峰，黃琰.依托數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn) 培養(yǎng)數(shù)據(jù)分析觀念：以滬教版《數(shù)學(xué)》第十冊(cè)“可能性大小”為例[J].小學(xué)數(shù)學(xué)教師，2019（1）：76-80.