張翼翔 余慶純

【摘 要】 HPM視角下的“平面直角坐標(biāo)系”教學(xué)以“提出問題—分析問題—解決問題—講解新知—應(yīng)用提升—數(shù)學(xué)文化—課堂小結(jié)”為主線，通過介紹笛卡爾的“普遍數(shù)學(xué)”設(shè)想，發(fā)現(xiàn)和提出以下問題。幾何對象與代數(shù)對象如何互相轉(zhuǎn)化;如何采用描點(diǎn)法，重構(gòu)式地再現(xiàn)數(shù)學(xué)家笛卡爾、費(fèi)馬、沃利斯等探索平面坐標(biāo)系的過程，實(shí)現(xiàn)從單軸數(shù)軸到雙軸平面直角坐標(biāo)系的過渡，揭示數(shù)學(xué)史的知識之諧、探究之樂、能力之助、文化之魅、德育之效的多元價(jià)值，培育學(xué)生解決問題的能力，浸潤數(shù)學(xué)學(xué)科德育的芬芳。

【關(guān)鍵詞】HPM;平面直角坐標(biāo)系;問題解決;數(shù)學(xué)文化;數(shù)學(xué)學(xué)科德育

一、引言

“平面直角坐標(biāo)系”是滬教版數(shù)學(xué)教科書七年級下冊第十五章第1節(jié)的內(nèi)容，強(qiáng)調(diào)借助平面直角坐標(biāo)系刻畫平面上的點(diǎn)與有序?qū)崝?shù)對之間的一一對應(yīng)關(guān)系，突出數(shù)形結(jié)合的思想方法?！渡虾Ｊ兄行W(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（試行稿）》指出，理解平面直角坐標(biāo)系的構(gòu)成，建立平面上的點(diǎn)與有序?qū)崝?shù)對之間的聯(lián)系，體會直角坐標(biāo)平面上的點(diǎn)與坐標(biāo)之間具有一一對應(yīng)的關(guān)系[1]?！捌矫嬷苯亲鴺?biāo)系”的內(nèi)容具有承上啟下的重要作用，既承接學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)的平面中點(diǎn)的確定、實(shí)數(shù)、一維的數(shù)軸、數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離公式等內(nèi)容，又為八年級進(jìn)一步學(xué)習(xí)函數(shù)、平面直角坐標(biāo)系中兩點(diǎn)間的距離公式，乃至高中階段的向量、解析幾何等知識做好鋪墊，開啟解析幾何學(xué)習(xí)的新篇章。

實(shí)踐發(fā)現(xiàn)，在滬教版數(shù)學(xué)教科書中，借助尋找電影院座位的排數(shù)、號數(shù)等活動(dòng)，以開門見山式的問題“怎樣建立平面上的點(diǎn)與實(shí)數(shù)之間的聯(lián)系”，引導(dǎo)學(xué)生思考平面上點(diǎn)與實(shí)數(shù)的對應(yīng)關(guān)系，幫助學(xué)生掌握平面直角坐標(biāo)系的構(gòu)成，確定平面內(nèi)點(diǎn)的位置。另一方面，基于現(xiàn)有的教學(xué)設(shè)計(jì)，本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)在于如何從一維突破至二維，關(guān)注有序?qū)崝?shù)對的形成、直角坐標(biāo)平面上的點(diǎn)與坐標(biāo)之間的一一對應(yīng)關(guān)系。為了達(dá)成教學(xué)目標(biāo)，教學(xué)設(shè)計(jì)者往往創(chuàng)設(shè)確定國際象棋、做操排隊(duì)、蜘蛛爬行等位置的情境進(jìn)行直接引入。然而，這些內(nèi)容并沒有很好地基于學(xué)生的基本學(xué)情，缺乏從一維數(shù)軸到二維平面直角坐標(biāo)系等認(rèn)知內(nèi)容的過渡，常常出現(xiàn)無法深刻理解引入有序?qū)崝?shù)對、構(gòu)建平面直角坐標(biāo)系的必要性的情況，影響學(xué)生解析幾何的深入學(xué)習(xí)。更重要的是，這些創(chuàng)設(shè)的情境和平面直角坐標(biāo)系的真實(shí)歷史是有差異的，學(xué)生難以從以上教學(xué)中領(lǐng)悟平面直角坐標(biāo)系的重要作用。

在初中階段，平面解析幾何作為一種數(shù)形結(jié)合思想的良好載體，滲透在數(shù)軸、平面直角坐標(biāo)系、函數(shù)、方程等基礎(chǔ)內(nèi)容的學(xué)習(xí)中。同時(shí)，在數(shù)學(xué)史中，研究方程與曲線之間的關(guān)系是平面坐標(biāo)系發(fā)展的濫觴。法國數(shù)學(xué)家費(fèi)馬與笛卡爾，英國數(shù)學(xué)家沃利斯在平面坐標(biāo)系的演進(jìn)歷史中均做出過卓越的貢獻(xiàn)。

鑒于此，筆者嘗試基于解析幾何預(yù)備課這一理念進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)，基于歷史相似性原理，在教學(xué)中重構(gòu)式地復(fù)現(xiàn)了數(shù)學(xué)家構(gòu)建與改進(jìn)平面坐標(biāo)系的過程，引導(dǎo)學(xué)生突破認(rèn)知障礙。這些史料能夠追尋知識本源，豐富學(xué)習(xí)內(nèi)容，完善知識體系，揭示平面直角坐標(biāo)系產(chǎn)生的必要性，特別是對于“縱軸是如何產(chǎn)生的”“為什么需要縱軸”等問題會有更加深刻的理解。

基于HPM視角，筆者設(shè)計(jì)了“平面直角坐標(biāo)系”的教學(xué)內(nèi)容并擬訂教學(xué)目標(biāo)如下。

（1）經(jīng)歷從一維數(shù)軸過渡到二維平面直角坐標(biāo)系的學(xué)習(xí)過程，理解平面直角坐標(biāo)系的構(gòu)成，理解平面上的點(diǎn)與有序?qū)崝?shù)對一一對應(yīng)的關(guān)系。

（2）掌握平面內(nèi)點(diǎn)的位置與坐標(biāo)表示之間的相互轉(zhuǎn)化，加強(qiáng)問題解決的能力，領(lǐng)悟解析幾何中數(shù)形結(jié)合的思想方法。

（3）古今對比，了解不同數(shù)學(xué)家對平面坐標(biāo)系發(fā)展的貢獻(xiàn)、平面直角坐標(biāo)系在社會生活中的重要作用等數(shù)學(xué)文化，體會數(shù)學(xué)的理性精神與人文情懷，形成動(dòng)態(tài)的數(shù)學(xué)觀，提升學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和信心。

二、史料運(yùn)用

基于史料研究，筆者發(fā)現(xiàn)平面解析幾何起源于公元前3世紀(jì)末亞歷山大晚期，著名幾何學(xué)家帕普斯將軌跡分為三類：（1）平面軌跡，指直線與圓;（2）立體軌跡，指圓錐曲線，如橢圓、雙曲線與拋物線;（3）線軌跡，指除上述兩類軌跡外的曲線。古希臘數(shù)學(xué)家大多數(shù)研究前兩類軌跡問題[2]。德國科學(xué)史家岡特曾將平面解析幾何的歷史劃分為三個(gè)重要階段：第一階段是引入兩條坐標(biāo)軸，如阿波羅尼斯與圓錐曲線的性質(zhì)研究;第二階段是基于橫、縱坐標(biāo)的曲線作圖，如法國數(shù)學(xué)家奧雷姆首次采用幾何圖形表示運(yùn)動(dòng);第三階段是關(guān)于橫、縱坐標(biāo)的方程建立，如法國數(shù)學(xué)家費(fèi)馬與笛卡爾借助韋達(dá)的符號代數(shù)工具，研究古希臘軌跡問題[3-4]。

其中，平面坐標(biāo)系的發(fā)展史大致可以分為三個(gè)階段（如圖1）：第一階段，建立單軸。法國數(shù)學(xué)家費(fèi)馬和笛卡爾在研究方程與曲線的關(guān)系時(shí)只采用橫軸這一單軸，未使用縱軸，縱坐標(biāo)通常是斜的，橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)僅限于正數(shù)范圍。不同之處是費(fèi)馬主要研究方程的曲線，而笛卡爾主要研究曲線的方程。第二階段，引入負(fù)坐標(biāo)。英國數(shù)學(xué)家沃利斯對坐標(biāo)系進(jìn)行改進(jìn)，有意識地引入負(fù)的橫、縱坐標(biāo)，解析幾何的曲線范圍擴(kuò)展到整個(gè)平面。第三階段，建立平面坐標(biāo)系。18 世紀(jì)，數(shù)學(xué)家逐漸開始使用雙軸，但普遍使用斜坐標(biāo)系。從斜坐標(biāo)系到直角坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)變是一個(gè)漫長的過程，大約在19 世紀(jì)中葉，人們才普遍使用直角坐標(biāo)系。

（六）數(shù)學(xué)文化

借助HPM微視頻，教師首先介紹“解析幾何之父”數(shù)學(xué)家笛卡爾的生平與17世紀(jì)的“笛卡爾之夢”[5]。接著介紹中國“人民科學(xué)家”、中國科學(xué)院院士吳文俊先生在數(shù)學(xué)機(jī)械化研究領(lǐng)域的貢獻(xiàn)，揭示數(shù)形結(jié)合思想的歷史源流與傳承。

笛卡爾曾提出“普遍數(shù)學(xué)”的偉大設(shè)想，即將所有問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，又將一切數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，再將代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為方程來求解問題。笛卡爾創(chuàng)建解析幾何，在空間形式與數(shù)量關(guān)系之間架起一座橋梁，實(shí)現(xiàn)了初等幾何問題的代數(shù)化[6]。其思想蘊(yùn)含了數(shù)形結(jié)合思想，是解析幾何的基本思想之一。

吳文俊先生在中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)史研究的基礎(chǔ)上，繼承并發(fā)展了中國古代以“問題解決”為主旨的算法體系，創(chuàng)立了“數(shù)學(xué)機(jī)械化”方法。幾何問題的代數(shù)化是幾何問題機(jī)械化的第一步，為此需要引進(jìn)數(shù)系，構(gòu)建坐標(biāo)系，把幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題進(jìn)行描述。

（七）課堂小結(jié)

通過課堂小結(jié)，教師指出本節(jié)課的核心內(nèi)容——“平面直角坐標(biāo)系”，并說明從一維數(shù)軸過渡到二維平面直角坐標(biāo)系構(gòu)建的必要性。

四、教學(xué)反思

本節(jié)“平面直角坐標(biāo)系”教學(xué)以解析幾何預(yù)備課的課型切入。首先，基于歷史相似性原理，在教學(xué)中重構(gòu)式地復(fù)現(xiàn)了數(shù)學(xué)家笛卡爾、費(fèi)馬、沃利斯構(gòu)建與改進(jìn)平面坐標(biāo)系的過程，經(jīng)歷從一維的數(shù)軸過渡到二維的平面直角坐標(biāo)系的學(xué)習(xí)過程，揭示縱軸產(chǎn)生的原因、平面直角坐標(biāo)系誕生的必要性，突出平面內(nèi)點(diǎn)的位置與坐標(biāo)表示之間的相互轉(zhuǎn)化，領(lǐng)悟解析幾何中數(shù)形結(jié)合的思想方法，培育問題解決能力。接著介紹“解析幾何之父”數(shù)學(xué)家笛卡爾的故事，中國“人民科學(xué)家”吳文俊院士在數(shù)學(xué)機(jī)械化研究領(lǐng)域的工作，了解中外不同數(shù)學(xué)家對平面坐標(biāo)系發(fā)展的貢獻(xiàn)，平面直角坐標(biāo)系在數(shù)學(xué)內(nèi)部（如解析幾何）、數(shù)學(xué)外部（如社會生活）的重要作用，體會數(shù)學(xué)的理性精神與人文情懷，形成動(dòng)態(tài)的數(shù)學(xué)觀，培育學(xué)生的愛國主義情懷與文化自信，感受跨時(shí)空的數(shù)學(xué)文化交融。

五、結(jié)語

HPM視角下的“平面直角坐標(biāo)系”教學(xué)深刻地揭示了數(shù)學(xué)史的知識之諧、探究之樂、能力之助、文化之魅、德育之效的多元價(jià)值。

（1）知識之諧。以史為源，重構(gòu)式地融入平面直角坐標(biāo)系的發(fā)展歷史，引導(dǎo)學(xué)生自然地經(jīng)歷平面直角坐標(biāo)系的產(chǎn)生過程，理解從一維數(shù)軸到二維平面直角坐標(biāo)系過渡的自然性、必要性，理解坐標(biāo)平面上的點(diǎn)與有序?qū)崝?shù)對的對應(yīng)關(guān)系，掌握平面內(nèi)點(diǎn)的位置與坐標(biāo)表示之間的相互轉(zhuǎn)化，揭示解析幾何發(fā)展的歷史演進(jìn)。

（2）探究之樂。以教育取向的數(shù)學(xué)史為藍(lán)本，巧妙設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)探究活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生探尋數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)平面坐標(biāo)系的歷史足跡，經(jīng)歷提出問題、分析問題、解決問題的過程，最后以“數(shù)學(xué)家手稿傳遞活動(dòng)”引導(dǎo)學(xué)生學(xué)以致用，鞏固平面直角坐標(biāo)系的內(nèi)容，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

（3）能力之助。平面直角坐標(biāo)系是學(xué)生基于已有的實(shí)數(shù)、數(shù)軸等知識進(jìn)行的認(rèn)知遷移，能夠幫助學(xué)生掌握平面內(nèi)點(diǎn)的位置與坐標(biāo)表示之間的相互轉(zhuǎn)化，提升解決問題的能力，領(lǐng)悟解析幾何中數(shù)形結(jié)合的思想方法。

（4）文化之魅。借助歷史時(shí)間軸，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷平面坐標(biāo)系發(fā)展史的三個(gè)重要階段：法國數(shù)學(xué)家費(fèi)馬和笛卡爾基于正數(shù)范圍的單軸，研究方程與曲線的關(guān)系;英國數(shù)學(xué)家沃利斯對坐標(biāo)系進(jìn)行改進(jìn)，有意識地引入負(fù)坐標(biāo);19 世紀(jì)中葉至今，人們普遍使用直角坐標(biāo)系，吳文俊先生進(jìn)行了“數(shù)學(xué)機(jī)械化”的開拓創(chuàng)新。另外，教師布置“數(shù)學(xué)家手稿傳遞活動(dòng)”作業(yè)，讓課堂學(xué)習(xí)變得富有人文性。

（5）德育之效。本節(jié)課學(xué)生感受數(shù)學(xué)學(xué)科的德育芬芳。情感方面，比較學(xué)生的方法與歷史上數(shù)學(xué)家的方法，提升學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的成就感，提升學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心，講述吳文俊先生的事跡更有助于增加學(xué)生的民族自豪感和文化自信。精神方面，感悟數(shù)學(xué)家探尋與改進(jìn)平面坐標(biāo)系的理性精神。信念方面，了解平面直角坐標(biāo)系的前世與今生、繼承與發(fā)展，感悟數(shù)學(xué)源于生活、服務(wù)于生活。品質(zhì)方面，在分析問題、解決問題的過程中，培養(yǎng)學(xué)生傾聽他人、交流合作等良好品質(zhì)。

此外，本節(jié)課融合微視頻等教育信息技術(shù)，體現(xiàn)數(shù)學(xué)史內(nèi)容的可視化，實(shí)現(xiàn)“平面直角坐標(biāo)系”的數(shù)學(xué)史從學(xué)術(shù)形態(tài)向教育形態(tài)的轉(zhuǎn)變，展示學(xué)生喜聞樂見的數(shù)學(xué)，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，順應(yīng)“互聯(lián)網(wǎng)+數(shù)學(xué)教育”的發(fā)展趨勢。

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