孫凱 陳鋒

【摘 要】 體驗學習是一種強調(diào)學生主動參與學習體驗的學習方式，是踐行學為中心教學理念的重要方式.基于體驗學習方式，在“最簡二次根式”的教學中，引導學生經(jīng)歷“體驗感悟、觀察反思、抽象歸納、實踐應用”等數(shù)學活動，使學生主動參與體驗學習，在體驗、抽象和反思中厘清算理、積累經(jīng)驗、發(fā)展能力.

【關鍵詞】 體驗學習;數(shù)學運算;教學思考

在現(xiàn)實的計算教學中，往往由教師完全主導課堂，表現(xiàn)為注重間接經(jīng)驗的傳授（學術學習），突顯計算教學的“短、平、快”，卻不注重概念、法則的生成教學，忽視直接經(jīng)驗的獲得過程（體驗學習），常常出現(xiàn)概念模糊不清，法則機械記憶，導致運算困惑或失誤.體驗學習作為一種重要的學習方式，適切于初中數(shù)學運算教學，對提高學生數(shù)學運算能力有重要作用.當前，初中數(shù)學教師對體驗學習方式的研究較少，未引起足夠重視.在中國知網(wǎng)以體驗學習為主題，檢索到837篇文獻，其中涉及小學數(shù)學教學的30篇，初中數(shù)學教學的4篇，而涉及體驗學習運用于運算教學的文獻為0篇.近期，在蘇科版八年級下冊第十二章“二次根式化簡”的教學中，采用體驗學習方式，收到良好的教學效果，現(xiàn)整理成文，以期與各位同仁研討交流，共同探索體驗學習在數(shù)學運算教學中的應用策略.

1 體驗學習的內(nèi)涵

體驗學習是指學習者親身經(jīng)歷實際問題的操作、抽象、解釋與應用的學習過程，主動建構(gòu)知識，獲得學習方法，發(fā)展能力的一種突出“學為中心”的學習方式.這種學習方式的開展需要執(zhí)教者引導學生將實踐與反思相結(jié)合，才能獲得期望的基礎知識和基本技能.它強調(diào)學生親歷活動，伴有情緒反應，并對原有經(jīng)驗產(chǎn)生影響[1].學習是一個頓悟的過程，體驗學習作為一種學習方式更注重學生的主動探索，借助真實的問題情境直接參與知識、情感的形成過程，它強調(diào)在體驗中學、思、悟，基于學生的個人理解，學生經(jīng)歷邏輯推理過程，生成學習成果.

在體驗學習中，學生自主參與學習任務，獲得直接經(jīng)驗，并經(jīng)由反思和理論抽象豐富直接經(jīng)驗，強化對知識本質(zhì)的理解.它是一種高度適切于實用技能的學習方式，比如運算教學中法則的生成與運算技能的習得.而與體驗學習相對的學術學習，是指不經(jīng)過任何直接經(jīng)驗而通過學科學習獲得信息的過程，比如直接講授運算法則，通過反復訓練而習得運算技能.顯然，體驗學習更符合學生的心理特點和認知規(guī)律，有利于促進學生真學習、發(fā)展真能力.

2 體驗學習的意義和價值

體驗是人類認識世界、獲得信息的最重要、最可靠的一種方式[2].美國學者埃德加·戴爾（Edgar Dale）研究發(fā)現(xiàn)，在不同的學習方式中，學習效果比較好的學習方式表現(xiàn)出的特征為團隊學習、主動學習和參與式學習，學生經(jīng)歷操作、實踐等親身體驗，并立即應用的學習方式效果最佳，這就是“學習金字塔”理論，它倡導的是主動學習、親歷體驗的教學理念.大衛(wèi)·庫伯（David Kolb）在教育家杜威的“做中學”理念以及其他多位學者的相關研究的基礎上，提出了“體驗學習”的理論.庫伯提出體驗學習的四階段：體驗感悟—觀察反思—抽象歸納—實踐應用.數(shù)學運算能力主要表現(xiàn)為：理解對象—掌握法則—探究思路—求得結(jié)果，這與體驗學習的四階段是基本一致的，因此，在數(shù)學運算教學中，實施體驗學習，能切實把學生的主體地位落到實處，使學生真正成為課堂學習的主角，借助問題情境，讓學生產(chǎn)生一種學習的激情，踐行“學為中心”的教學理念，在體驗中獲得顯性知識和領悟默會知識，發(fā)展學生的數(shù)學運算素養(yǎng).

3 教學案例

3.1 教材簡析

本課之前分別學習了二次根式的乘法、除法、化簡等內(nèi)容.本課內(nèi)容為最簡二次根式，教學重點是將被開方數(shù)中含分母或分母中含根號的二次根式化簡為最簡二次根式，教學難點是ab或ab中的b中含有能開得盡方的因數(shù)或因式的二次根式化簡.

3.2 教學過程

（1）體驗感悟

問題1 在進行二次根式的乘除運算時，經(jīng)常出現(xiàn)如下運算結(jié)果：12、29、35等，如何處理這些運算結(jié)果呢？

生1：12可以進一步化簡，12=4×3=4·3=23.

師：化簡的依據(jù)是什么？

生1：依據(jù)是二次根式乘法運算法則a·b=ab（a≥0，b≥0）的逆用.

師：那29與35有什么共同的特征，如何處理？

生2：29=29=23，依據(jù)是二次根式除法運算法則ab=ab（a≥0，b>0）的逆用.

生3：35=35，然后…

師：然后呢？

生4：分子、分母都乘5.

教學說明 從數(shù)學運算結(jié)果如何進一步處理的實際問題引入新課，喚醒學生記憶，主動回顧舊知，運用二次根式的乘除法則順利解決化簡，體驗成功的喜悅.當把問題指向35時，學生運用原有知識與技能無法達成進一步計算的目的，引發(fā)認知沖突，激發(fā)學生進一步學習的熱情，在課堂起始階段明晰要學什么、為什么學等學習的基本問題.

（2）觀察反思

問題2 35的被開方數(shù)中含有分母，怎樣進一步處理呢？

生5：被開方數(shù)的分子、分母同時乘5.

師：為什么同時乘5呢？

生5：乘5的目的是使分母能寫成平方的形式，這樣就能使根號內(nèi)的分母“移”到根號外.

師：說的非常好，請你試一試把ab（a≥0，b>0）進一步處理.

生6：ab=a×bb×b=a×bb×b=abb（a≥0，b>0）.

師：非常好，想一想，這類二次根式有什么特征，我們是如何處理的，并嘗試完成下列化簡.

（1）23;（2）213;（3）2y3x（x>0，y≥0）.

教學說明 引導學生觀察形如35的特征，明確研究對象，經(jīng)歷由具體到一般的探索過程，符合學生的認知規(guī)律，緊貼學生的最近發(fā)展區(qū)，學生在類比、化歸等數(shù)學思維活動中，感悟數(shù)式相通的本質(zhì).在具體的化簡體驗中，適時引導學生思考乘“b”的目的、“b”如何確定等問題，以問題引領學生從淺層學習走向深度學習.

問題3 35的分母中含有根號，如何將它化簡？

生7：將分母上的根號去掉，分子、分母同時乘5.

師：那ab（a≥0，b>0）怎樣化簡？

生8：ab=a×bb×b=abb（a≥0，b>0）.

師：非常好，請同學們觀察此類二次根式的特征，想一想我們是如何化簡的，問題3與問題2有什么關系？（生答省略）

教學說明 以35為例，引導學生探索化簡的方法，在探索去根號方法的過程中感悟“無理分母”向“有理分母”的轉(zhuǎn)化，理解化簡的依據(jù).問題的設計由易到難、由淺入深，由特殊到一般，使學生在學習數(shù)學知識的同時學會思考.

（3）抽象歸納

問題4 如何化簡540，請你試一試.

生9：540=5×4040×40=5×4040=10240=24.

生10：540=540=18=1×88×8=88=228=24.

生11：我們的方法和生14類似，其中18我們是這樣化簡的，18=1×28×2=216=24.

生12：540=55×8=18=1×88×8=88=228=24.

生13：我們認為這樣化簡比較好，540=5×1040×10=50400=5220=24.

師：化簡的目的是去掉分母中含有的根號，生13選擇乘40，你們選擇乘10，你們是怎樣想到乘10的？

生14：分子、分母同時乘40故然可以，但40本身不是最簡二次根式，相乘后會給分子、分母帶來“麻煩”（還需化簡），而分子、分母若同時乘10，減少分子、分母的“負擔”，更有利于計算.要去掉分母中的根號，需把被開方數(shù)變形為“平方數(shù)”的形式，通過比較發(fā)現(xiàn)乘10更為合理.

師：非常棒.通過比較我們發(fā)現(xiàn)，化簡分母中含有根號的二次根式，分子、分母同時乘b，當b為最簡二次根式時更有利于進一步的計算.我們來比較一下35與540的化簡，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生15：前者分母為最簡二次根式，比較容易化簡;后者分母不是最簡二次根式，化簡有一定難度.

生16：老師，我又想到一種新的化簡方法，540=5210=5×10210×10=5220=24.

師：很棒，先將分母化簡，有利于快速準確地找到“b”，使計算更簡捷.根據(jù)計算的需要，遵循符號最簡化原則，我們規(guī)定化簡后的二次根式必須滿足：被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式;被開方數(shù)中不含分母;分母中不含有根號.我們把滿足以上條件的二次根式稱為最簡二次根式.

教學說明 學生先獨立思考540的化簡，親身參與探索化簡的方法，最后分別展示，集思廣益，得到不同的運算途徑及化簡方法，有效訓練學生思維的靈活性，在體驗中比較、優(yōu)化化簡方法，形成化簡策略，學習效果顯著提升.數(shù)學課程標準對二次根式計算的要求中明確指出“根號下僅限于數(shù)”的相關運算，把探究的重點放在540的化簡上，體現(xiàn)了數(shù)學課程標準的具體要求.

（4）實踐應用

問題5 下列二次根式中，哪些是最簡二次根式？哪些不是最簡二次根式？若不是，請將其化簡為最簡二次根式.

2，8，23，32，38，512，3b5a，5x12y3.

生17：2、32是最簡二次根式，符合最簡二次根式的概念;其它的都不是最簡二次根式.

完成化簡（過程省略）.

教學說明 在實踐應用環(huán)節(jié)，從形式上將最簡二次根式的辨析與化簡融合在一起，在具體的問題情境中促進新概念的掌握;從內(nèi)容上由數(shù)到式設計非最簡二次根式，促使學生運用習得的運算法則主動化簡，在實際運算中驗證新形成的概念和法則.

4 教學思考

4.1 在體驗中明晰任務，厘清算理

在二次根式化簡的學習中，應讓學生明確學習的對象與目標，有針對性的設置問題情境，引導學生感受二次根式化簡的必要性，這是關于為何學、學什么的問題.準確把握二次根式化簡的難點，就抓住了本課教學的關鍵，也就抓住本課最重要的怎么學的問題.創(chuàng)設學習情境的根本目的是給學生下達學習任務，驅(qū)動學生主動體驗、積極探究，明晰要解決的數(shù)學問題，探尋解決問題的方法，最終提煉出解決一類共同特征問題的通法.教學中，緊貼最近發(fā)展區(qū)，從低起點的二次根式化簡引入，學生在化簡體驗中明確本節(jié)課化簡的主要任務，即化簡根號下含分母和分母中含根號兩種類型的二次根式，經(jīng)過類比、試誤、實踐等計算體驗，初步理解化簡的目的及依據(jù)，掌握較為簡單的二次根式的化簡方法，厘清算理，為后續(xù)探索較為復雜的二次根式化簡提供依據(jù).

4.2 在體驗中思考優(yōu)化，積累經(jīng)驗

數(shù)學活動經(jīng)驗的積累是提高學生數(shù)學能力的重要標志.數(shù)學活動經(jīng)驗是教師沒有辦法“教”給學生的，必須由學生通過經(jīng)歷大量的數(shù)學活動逐步獲得，在“做”中獲得[3].體驗學習注重學生學習經(jīng)歷、感受和體會的過程，執(zhí)教者應關注學生經(jīng)歷了什么？感受了什么？體會了什么？也就是體驗的目的是什么，將學生經(jīng)驗的積累貫穿于數(shù)學運算與數(shù)學思維的整個活動過程中.比如在540的化簡環(huán)節(jié)，鼓勵學生獨立思考、親身體驗、合作交流，學生展示不同的化簡方案，可謂百花齊放，精彩紛呈.在化簡方法呈現(xiàn)多樣性結(jié)果時，應引導學生理性反思，哪種方案是最好的？為什么好？引導學生在體驗的基礎上，從不同角度觀察、比較、優(yōu)化、反思化簡過程，幫助學生明白怎樣化簡，為什么這樣化簡，最終厘清算理，形成相對優(yōu)越的化簡通法，積累至關重要的直接性數(shù)學活動經(jīng)驗.

4.3 在體驗中培養(yǎng)思維，發(fā)展能力

學生數(shù)學能力涉及多個方面，比如發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的能力，再如數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、直觀想象、數(shù)學運算、數(shù)據(jù)分析等核心素養(yǎng)，其表現(xiàn)為相應具體的數(shù)學能力.不同的數(shù)學能力是相互交融的，在具體的教學中，應突出數(shù)學能力的某個方面，引導學生在數(shù)學體驗中發(fā)展相應的數(shù)學能力.顯然，二次根式化簡的教學應聚焦于數(shù)學運算能力的培養(yǎng).運算能力的形成需要經(jīng)歷從知識、技能到能力的轉(zhuǎn)化，是一個由簡單到綜合的過程[4].本課教學大部分活動聚焦在簡單的“數(shù)字型”二次根式化簡，這樣做是符合課程標準的總體要求的.但是我們應清楚認識到，這種思維訓練側(cè)重于算術思維訓練，而代數(shù)思維、抽象概括能力的培養(yǎng)依賴于由數(shù)到式的升華過程，即引導學生經(jīng)歷個別到一般、具體到抽象的思維過程，通過觀察與思考，抽象歸納出合乎邏輯的概念和算理，這樣的經(jīng)驗積累才是完整的、優(yōu)質(zhì)的.整個運算教學中，始終關注學生的運算體驗，關注學生的思維過程，引導學生經(jīng)歷反思、提煉、概括等高階思維活動，經(jīng)歷化簡方法的再創(chuàng)造過程，最終形成化簡的通解通法，發(fā)展學生的數(shù)學運算能力.

參考文獻

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[2]林松.具身認知視角下初中數(shù)學教學初探[J].中學數(shù)學雜志，2019（2）：1-4.

[3]教育部基礎教育課程教材專家工作委員會.義務教育數(shù)學課程標準解讀：2011年版[M].北京：北京師范大學出版社，2012：271.

[4]曹一鳴等.基于學生核心素養(yǎng)的數(shù)學學科能力研究[M].北京：北京師范大學出版社，2017：195.