馬慶華,郭 倩
(廣東外語外貿(mào)大學(xué) 金融學(xué)院,廣州 510006)
期權(quán)定價主要包括三種方法:B-S模型,二叉樹模型以及蒙特卡洛模擬。Barone-Adesi和Whaley提出的美式期權(quán)近似解模型(BAW模型)將美式期權(quán)的解分為兩部分,一部分是同等歐式期權(quán)的解,另一部分是由于合約提前實施條款而需要增付的權(quán)利金,并認(rèn)為美式期權(quán)價格和歐式期權(quán)價格都滿足Black-schole方程,所以提前實施的權(quán)利金也符合B-S方程[1];Cox Ross和Rubinstein的二叉樹模型既適合于歐式期權(quán)又適合于美式期權(quán),且方法簡單易懂,之后被投資者們廣泛運用,其缺點就是當(dāng)步長增加時,計算耗時增大[2];Longstaff和Schwartz提出的最小二乘蒙特卡洛模擬(LSM)被廣泛用來當(dāng)作美式期權(quán)定價的標(biāo)準(zhǔn)[3]。
關(guān)于期權(quán)定價的對比分析大都是基于兩種模型或者是基于外國期權(quán)產(chǎn)品的實證研究,沒有結(jié)合三種模型且基于本國期權(quán)產(chǎn)品的實證研究。刁博玨等用Microsoft的股票期權(quán)作為樣本,使用Matlab和Excel并運用二叉樹模型以及蒙特卡洛模擬法對股票期權(quán)進行了理論定價研究,并將兩種方法的定價結(jié)果同實際的期權(quán)價格進行了比較[4];方艷等分別運用B-S-M模型和蒙特卡洛模擬方法對上證50ETF的定價進行了實證研究,認(rèn)為兩種方法都能比較精準(zhǔn)地對上證50ETF進行定價,還用平均絕對誤差(MAE)、均方比例誤差(MSPE)、平均絕對比例誤差(MAPE)來檢驗?zāi)P投▋r的穩(wěn)健性[5]。
對農(nóng)產(chǎn)品期權(quán)定價的研究,或是根據(jù)外國期權(quán)市場的數(shù)據(jù),或是通過對我國的訂單農(nóng)業(yè)進行摸索而進行模擬定價。Foster 和Whiteman加入數(shù)值貝葉斯技術(shù)建立了標(biāo)的資產(chǎn)價格的預(yù)測密度,以芝加哥期貨交易所交易的大豆期貨期權(quán)為例,探討B(tài)-S模型、Stutzer模型以及經(jīng)改進后的貝葉斯技術(shù)模型哪一種模型更接近實際期權(quán)價格[6];黃亞林根據(jù)芝加哥期貨交易所的玉米、大豆和小麥期權(quán)的數(shù)據(jù),從農(nóng)產(chǎn)品價格風(fēng)險規(guī)避的視角對其期權(quán)定價進行研究[7];田貴良等提出用虛擬水期權(quán)來規(guī)避糧食安全和農(nóng)業(yè)生產(chǎn)的風(fēng)險,構(gòu)建了一個適合虛擬水產(chǎn)品的“擴散-跳躍”模型,并用鄭商所的小麥作為實證得出小麥虛擬水期權(quán)的價格[8]。
2016年12月16日,證監(jiān)會批準(zhǔn)鄭商所和大商所分別開展白糖和豆粕期貨期權(quán)交易,這意味著國內(nèi)首個場內(nèi)農(nóng)產(chǎn)品期權(quán)落地。在2017年3月31日豆粕期貨期權(quán)掛牌首日共成交了46066手,持倉量為32056手??傮w而言,市場交易比較理性,成交平穩(wěn)。從其期權(quán)合約設(shè)計來看,它反映了服務(wù)實體的特征,嚴(yán)格控制了市場風(fēng)險。而豆粕期貨期權(quán)自從上市以后,大商所不斷放寬其限倉標(biāo)準(zhǔn),從剛開始的300手到2017年9月的2000手,再到2018年5月的1萬手,接著2019年2月放寬到3萬手。這說明了我國豆粕期權(quán)的快速發(fā)展和投資者的需求日漸增加,這也更有利于投資者們充分利用豆粕期權(quán)的豐富的交易策略,更好地滿足他們自身的風(fēng)險管理需求。豆粕期貨期權(quán)是由大連商品交易所制定的。
鑒于我國農(nóng)產(chǎn)品期權(quán)市場起步較晚,關(guān)于農(nóng)產(chǎn)品期權(quán)定價的研究大多數(shù)僅限于理論研究階段。就上述我國的兩種農(nóng)產(chǎn)品而言,其期權(quán)品種是美式期權(quán),雖然已有文獻(xiàn)中有關(guān)于美式期權(quán)定價對比分析方面的研究,但大都沒有經(jīng)過實際價格的檢驗,更沒有基于我國農(nóng)產(chǎn)品期權(quán)實際數(shù)據(jù)而進行的研究。本文通過比較B-S期權(quán)定價模型、二叉樹定價模型以及蒙特卡洛模擬這三種方法,以我國新上市的豆粕期貨期權(quán)為例,對我國農(nóng)產(chǎn)品的期貨期權(quán)的定價進行比較,并比較不同的參數(shù)選取方式對定價效果的影響,再通過與真實交易數(shù)據(jù)做比較,得出相對而言適合我國農(nóng)產(chǎn)品期貨期權(quán)的定價模型。
本文的期權(quán)定價模型主要分為三個。其共同點是都融入了期貨保證金(m1)和期權(quán)手續(xù)費(m2)這兩個因素。因為在實際的期貨交易市場中,期貨的購買并不是單純的信用交易,作為合約的擔(dān)保必須繳納一定的保證金才能進行期貨交易,而每個交易所都會有一定的標(biāo)準(zhǔn)來確定其保證金,也就是保證金率m1,且保證金在持倉者交割或者平倉后會返還給交易者,并且交易者再需支付一定的期權(quán)交易和行權(quán)手續(xù)費,即m2。因此,交易者也就損失了這個保證金的貨幣時間價值。而下面這3個模型融入了期貨保證金和期權(quán)手續(xù)費,即將m1和m2融入模型中。
B-S模型的一大缺點就是不能很好地給美式期權(quán)定價,所以本文以Barone-Adesi和Whaley的BAW模型為基礎(chǔ),在BAW模型的歐式期權(quán)部分融入保證金率和行權(quán)手續(xù)費的因素。在BAW模型中,模型的解由兩部分構(gòu)成,一是同等B-S模型求出來的解,二是可提前行權(quán)而多支付的權(quán)利金。
對于第一部分,我們在求解B-S模型時所構(gòu)造的資產(chǎn)組合的變化為:
(式1)
加入期貨保證金之后,就相當(dāng)于損失了保證金這一部分的利息,所以資產(chǎn)組合變?yōu)椋?/p>
(式2)
原始B-S的偏微分方程為:
(式3)
在改進后的模型中融入了期貨保證金這個因素,根據(jù)文章第二部分可得伊藤定理:
(式4)
結(jié)合伊藤定理,代入式3,得到改進后的偏微分方程:
(式5)
以C表示歐式買入期權(quán)的價值、P表示歐式賣出期權(quán)的價值、S為原生資產(chǎn)的價格、K為期權(quán)的執(zhí)行價格、β為便利損失率、m1為保證金率,歐式期權(quán)定價的求解問題變?yōu)榱艘韵路匠蹋?/p>
(式6)
最后的看漲歐式期權(quán)部分定價模型變?yōu)椋?/p>
C=e-(r-βm1)(T-t)SN(d1)-e-r(T-t)(K+m2)N(d2)
(式7)
根據(jù)期權(quán)的平價公式以及累計正態(tài)分布的性質(zhì),N(d)+N(-d)=1,可得出看跌歐式期權(quán)定價模型:
(式8)
對于第二部分可提前行權(quán)應(yīng)多支付的權(quán)利金,因為:
VA(S,t)=VE(S,t)+e(S,t)
(式9)
所以,對于權(quán)利金e也需滿足偏微分方程:
(式10)
而美式看漲和歐式看漲都滿足:
VA(S,T)=max(S-K-m2,0)=VE(S,T)
(式11)
所以,e(S,t)必須滿足:
(式12)
當(dāng)X(1-X)=0時,可以得到期權(quán)價格的精確值;當(dāng)X(1-X)≠0時,上式則會變成:
(式13)
以上類似于一個常微分方程,其解的形式為aSρ,可得:
(式14)
(式15)
將式14和式15代入式13可得:
(式16)
解得:
(式17)
(式18)
對于美式看漲期權(quán)來說,CA(S)滿足如下公式:
(式19)
對于美式看跌期權(quán)來說,PA(S)滿足如下公式:
(式20)
其中:
在以上CA(S)和PA(S)兩個模型中,cE(S*)和PE(S**)是同等條件下歐式期權(quán)的解,A2和A1是美式期權(quán)比歐式期權(quán)需要多支付的那一部分權(quán)利金,S*和S**是期權(quán)執(zhí)行的股價臨界點。
二叉樹模型的一個優(yōu)勢就是既可以給歐式期權(quán)定價又可以給美式期權(quán)定價。步數(shù)越長,結(jié)果越精確。首先是單步二叉樹的情形,期權(quán)的執(zhí)行價格為K,若期貨價格上漲,期權(quán)的價值為:fu=max(uS-K-m2,0);若期貨價格下跌,期權(quán)的價值為:fd=max(dS-K-m2,0)。構(gòu)造一個組合,用Δ份的期貨和無風(fēng)險資產(chǎn)B來復(fù)制期權(quán)的價值,Δ和B都必須滿足以下條件:
fu=Δus+rB-βm1
(式21)
fd=Δds+rB-βm1
(式22)
通過式21和式22可得:
Δ=(fu-fd)/(us-ds)
(式23)
Δs-f=e-rt(Δus-fu-βm1)
(式24)
(式25)
n步二叉模型的看漲期權(quán)公式為:
(式26)
n步二叉樹模型看跌期權(quán)公式為:
(式27)
(式28)
豆粕期貨期權(quán)上市于2017年3月31日。本文以豆粕期貨期權(quán)M1807-C等7個系列作為標(biāo)的資產(chǎn),分別為M1807-C2400、C2450、C2500、C2550、C2600、C2650、C2700。選取了2018年4月18日至2018年5月17日的數(shù)據(jù)作為樣本數(shù)據(jù)。因虛值期權(quán)在進行模擬定價時不穩(wěn)定,本文只選取了實值期權(quán)。根據(jù)期權(quán)代碼可得,所選取數(shù)據(jù)合約月份為1807,C后面的數(shù)字為執(zhí)行價格。
選取2018年4月18至2018年5月17日期間每個交易日的豆粕期貨收盤價作為標(biāo)的資產(chǎn)的價格S。例如,2018年4月18日交易代碼為M1807的豆粕期貨收盤價為3194。詳情如表1所示。
表1 豆粕期貨2018-04-18至2018-05-17市場價格
根據(jù)以上期權(quán)的代碼,可得所選數(shù)據(jù)的執(zhí)行價格依次為2400、2450、2500、2550、2600、2650、2700這7個系列。
所選取豆粕期貨的數(shù)據(jù)月份為7個月,所以時間間隔T-t=07/12。
一般在波動率的選取上會考慮歷史波動率和隱含波動率,因隱含波動率反映了投資者對未來波動率的預(yù)期,所以在本部分先選取隱含波動率。其數(shù)據(jù)在wind以及大連商品交易所可以直接獲得。具體數(shù)據(jù)如表2所示。
表2 豆粕期貨期權(quán)2018-04-18至2018-05-17隱含波動率
在計算中選用一年期定期存款利率1.5%,所以本文將1.5%作為無風(fēng)險利率。
期權(quán)交易手續(xù)費都可以通過大商所平臺得到。2018年8月份之前交易手續(xù)費標(biāo)準(zhǔn)為1元/手,行權(quán)(履約)手續(xù)費也是1元/手;保證金的影響用便利損失率β*m1來表示(β一般情況下等于國債流動性損失,此處等于無風(fēng)險利率1.5%,m1為保證金率,大連商品交易所規(guī)定豆粕的保證金率為7%)。
根據(jù)式10、式12以及式14這3個模型,利用Matlab編程可得到模型的預(yù)測價格,用Excel統(tǒng)計并繪制了對比圖(見圖1—圖7)。每個圖表示一種執(zhí)行價格的豆粕期權(quán)的實際收盤價和模型擬合價格的折線圖。
圖1 M1807-C-2400真實價格與模擬價格走勢
圖2 M1807-C-2450真實價格與模擬價格走勢
圖3 M1807-C-2500真實價格與模擬價格走勢
圖4 M1807-C-2550真實價格與模擬價格走勢
圖5 M1807-C-2600真實價格與模擬價格走勢
圖6 M1807-C-2650真實價格與模擬價格走勢
圖7 M1807-C-2700真實價格與模擬價格走勢
圖8 不同期權(quán)定價方法的擬合精度比較
在比較定價結(jié)果時,為了進行定量分析,本文采用平均絕對比例誤差(MAPE)來進行分析,Yabs,t表示實際收盤價格,Ypred,t表示用模型預(yù)測出來的價格:值越小,意味著模型模擬較好;值越大,說明模擬較差。其定義為:
由圖1—圖7可知:(1)期權(quán)每一日的收盤價隨著執(zhí)行價格的上升而上升,BAW和CRR的這種趨勢與收盤價是一致的,而LSM的趨勢與收盤價相反;(2)隨著執(zhí)行價格的提高,LSM與真實價格之間的距離越來越遠(yuǎn),嚴(yán)重高估了豆粕期貨期權(quán)的價格,說明LSM的定價誤差越來越大。根據(jù)不同期權(quán)定價方法的擬合精度比較(見圖8)可知,BAW與CRR的定價誤差較小,總體呈高估的態(tài)勢,幾乎接近于真實價格,但是也會隨著執(zhí)行價格的升高誤差而有所增加,這說明CRR更接近于我國豆粕期貨期權(quán)的真實價格。
考慮到豆粕期權(quán)的手續(xù)費和保證金的因素,其模型比一般的模型在假設(shè)條件上要有所放寬,且融入保證金和手續(xù)費因素的模型比改進之前的美式期權(quán)模型的誤差要小;在使用工具上,使用Matlab編程來進行模型的求解,所以在模擬價格的獲取上更加簡單,并且在進行結(jié)果統(tǒng)計部分使用Excel,其使用比較普遍,操作起來更加容易;通過對比三個模型的模擬價格與實際價格發(fā)現(xiàn),CRR與BAW模型與實際價格變化趨勢一致,誤差控制在10%左右,差異可以接受。