張萍

《橢圓》一課是蘇教版選修2-1第二章圓錐曲線第2節(jié)的內(nèi)容，屬于解析幾何的范疇，本章主要研究橢圓、雙曲線和拋物線三種曲線的方程和幾何性質(zhì)，而《橢圓》作為學生學習的第一種圓錐曲線，研究方法對學習后面的內(nèi)容有示范和引導作用，同時，在學習橢圓之前，學生已經(jīng)學習了直線與圓，

具有了一定的解析幾何的研究思想和研究方法，因此，在學習橢圓的過程中，教師應該利用學生已有的知識經(jīng)驗，有意識地培養(yǎng)學生形成相對系統(tǒng)的研究解析幾何內(nèi)容的一般方法，以下是筆者對《橢圓》第一節(jié)教學內(nèi)容的探索和實踐，供讀者參考.

1動手實踐操作，激發(fā)學生興趣

美國的杜賓斯基等人創(chuàng)立了數(shù)學概念學習的APOS理論模型，該理論集中于對特定學習內(nèi)容一一數(shù)學概念學習過程的研究，它指出學生學習數(shù)學概念是要進行心理建構的，此建構過程要經(jīng)歷以下四個階段：操作或活動（Action）階段、過程（ Process）階段、對象（Object）階段和概型（ Scheme）階段，它強調(diào)在學習數(shù)學概念時，首先要求學生開展各式各樣的數(shù)學活動，在活動中學生利用已有的知識經(jīng)驗進行思維運算和反省抽象，對概念所具有的直觀背景和形式定義進行必要的綜合，從而達到建構數(shù)學概念的目的，因此，在學習橢圓方程的時候，讓學生自己嘗試畫一畫橢圓，有助于學生理解什么是橢圓，橢圓是怎么形成的，

動手操作準備一張圓形紙片，在圓內(nèi)任取不同于圓心的一點F，翻折紙片使邊緣過點F，然后將紙片展開，就得到一條折痕l（為了看清楚，可把直線L畫出來）.這樣繼續(xù)下去，得到若干折痕.觀察這些折痕圍成的輪廓，它們形成了什么曲線？

操作結果

理性驗證首先讓學生嘗試尋找折痕上哪一點才是橢圓上的點，這一點滿足什么樣的幾何條件，面對眼花繚亂的圖形，可以教學生如何抓住問題的本質(zhì)，將復雜的問題簡單化，為了看得清楚，我們可以回到第一步操作，借助幾何畫板加以說明，根據(jù)折痕操作的意義，圓周上的點F'圓內(nèi)不同于圓心C的點F是關于折痕對稱的，這樣折痕l與線段F'C的交點A就滿足AF+AC= AF'+AC=R（定值），即折痕上的點A到兩個定點F和C的距離和為定值，由橢圓的定義可知點A的軌跡是橢圓，對自己的操作結果，學生由直觀感受上升到了理性認識.

“動手操作”是選自蘇教版教材選修2-1第33頁上的一個練習題，步驟簡單，適合學生操作，也易于得到橢圓圖形.

在本章第一節(jié)《圓錐曲線》的學習基礎上，師生借助幾何畫板結合橢圓的定義，給出了合理的證明，原來大家動手操作所得到的折痕包絡圍成的圖形居然真的是橢圓，學生的學習熱情高漲，用他們自己的話說就是很有成就感.

2調(diào)用已有經(jīng)驗，預設研究思路

奧蘇貝爾（ Ausubel）的認知結構遷移理論認為，一切有意義的學習都是在原有認知結構的基礎上產(chǎn)生的，不受原有認知結構影響的有意義學習是不存在的，一切有意義的學習必然包括遷移，遷移是以認知結構為中介進行的，先前學習所獲得的新經(jīng)驗，通過影響原有認知結構的有關特征影響新學習，在本節(jié)課之前，學生已經(jīng)學習過<圓的方程》，那么學生就很容易將研究圓的經(jīng)驗和方法遷移到本節(jié)課中來，因此，當學生得到橢圓圖形之后，教師可以用“接下來應該研究什么樣的內(nèi)容呢”這個具有啟發(fā)性的問題，引導學生利用已有的知識經(jīng)驗嘗試設計自己的研究路線，這樣更利于學生建立良性的認知結構。

教學片段師：我們根據(jù)橢圓的定義，證明了操作得到的圖形確實是一個橢圓，那么接下來我們應該研究什么呢？

生：先研究它的方程，

師：為什么要先研究它的方程呢？

生：橢圓類似于圓，類比前面研究圓的方法，我們應該先求出它的標準方程，

師：嗯，有道理，大家同意嗎？

生：同意，

師：得到它的標準方程以后呢？

生：研究直線與橢圓的位置關系、橢圓與橢圓的位置關系。

師：很好，

生（舉手）：應該還有上節(jié)課提到的雙曲線、拋物線和橢圓的位置關系。

師：大家說的非常有道理，你們的想法來源于前面學習圓的經(jīng)驗，說明大家對“圓”這一單元學得非常好，但是要補充一點，在得到橢圓的標準方程后，我們不是馬上學橢圓和直線的位置關系，而是緊接著研究橢圓的幾何性質(zhì)，大家知道為什么嗎？

生：因為圓的幾何性質(zhì)我們初中已經(jīng)學過了，但是橢圓的性質(zhì)我們還沒學過，

師：是的，解析幾何這門學科的特點就是用代數(shù)的方法研究幾何對象，所以面對我們不熟悉的曲線，一般的研究思路是先根據(jù)它的定義求出它的方程，然后根據(jù)方程來研究它的幾何性質(zhì)，以及它和我們熟悉的曲線之間的關系，

在以上的教學實踐過程中，教師通過設問和追問，促使學生借助自身已有的解析幾何的研究經(jīng)驗構建研究后續(xù)內(nèi)容的思路，實踐表明，學生是能大致預設到本節(jié)課以后學習內(nèi)容的研究走向的，在一定程度上培養(yǎng)了學生的理性推斷——實際上這是強化學生的類比推理的能力，從而促進學生的邏輯推理品質(zhì)的提升，實現(xiàn)了在數(shù)學課堂中孕育與提升學生的數(shù)學基本品質(zhì)與素養(yǎng)，通過共同努力，師生一起建立了橢圓的研究思路雛形，更重要的是讓學生初步感悟到了解析幾何的一般研究思路和方法.

3實踐分層教學，促進共同發(fā)展

分層教學就是教師根據(jù)學生現(xiàn)有的知識、能力水平和學習潛力，把學生科學地分成幾組各自水平相異的群體，教師根據(jù)不同班組的實際水平進行教學，使得這些群體在教師恰當?shù)姆謱硬呗院拖嗷プ饔弥械玫捷^好的發(fā)展和提高，通常情況下數(shù)學教師都會教兩個班，學生的水平自然會有差異，教師只要把握教學內(nèi)容的難度，預設到學生能力所及的范圍，就能較好地掌控課堂教學的進度，個性化處理教學內(nèi)容，在完成教學內(nèi)容的基礎上，讓學生獲得學習能力和學習興趣的同步提升，實現(xiàn)真正意義上的“不同的學生有不同的發(fā)展”，

在這個過程中，教學難點是如何處理兩個復雜的根式相加的式子，在實際課堂上，A班和B班同學均遇到了根式化簡的困難，解決的方案也在意料之中，有的同學選擇了直接平方，有的同學移項后再平方，還有少數(shù)同學選擇觀望，經(jīng)統(tǒng)計，數(shù)學水平較弱的A班，大多數(shù)人選擇了直接平方，并且成功的人數(shù)很少，而數(shù)學水平較強的B班，大多數(shù)人選擇了移項后再平方，這也是教師選擇不同的教學策略的原因，在B班，有兩名同學很快得到了原點

在對這兩名同學的做法總結肯定之后，讓全體學生思考，這兩個方程有什么異同，大家不約而同地驚嘆，原來是平移了?。∫驗樗麄儼l(fā)現(xiàn)了這兩個方程是如此地相似，可以用學習三角函數(shù)時的圖象平移來解釋，教師借機推動學生思考，如果以其他點為原點建系，方程又會是什么樣子呢？激起學生的求知欲，讓他們覺得數(shù)學是變化多端而有趣的，同時，“這是引導學生在不同的問題情境中運用數(shù)學的眼光觀察研究對象，發(fā)現(xiàn)研究對象間本質(zhì)的數(shù)學聯(lián)系，啟發(fā)學生深入思考，從而鞏固所學知識，強化知識之間的聯(lián)系，促進學生理解數(shù)學的一般結論，形成舉一反三的能力”.

4創(chuàng)設問題情境，把握問題本質(zhì)

心理學研究表明：“概念的本質(zhì)特征越明顯，學習越容易，非本質(zhì)特征越多，學習越困難”，所謂創(chuàng)設問題情境，就是在新的問題情境中變更概念或問題的認識角度，以突出概念或問題中那些隱蔽的本質(zhì)特征，以便學生在新的情境中進行數(shù)學知識的遷移和運用，從而使學生更好地掌握概念或問題的本質(zhì)規(guī)律，具體來說，問題的情境變化就是把一些解決問題的思想和思路相同或相關的題目，用變式的形式串聯(lián)起來，在變式中求不變，從而使學生在解決新情境中問題時，感受知識的形成過程，并獲得對知識的概括性認識，提高學生識別、應變、概括的能力，促進學生思維的發(fā)展，在本節(jié)課中，雖然學生通過化簡得到了橢圓的方程，但是學生并不能把握方程和具體的橢圓圖形的對應，因此，在這個教學節(jié)點上，可以對橢圓方程的形式進行適當變形，增強學生對橢圓方程中關鍵量的識別能力，把握橢圓本質(zhì)特征及其方程中對應量的關系， 教學片段師：得到橢圓的標準方程：（a>b>0），就像新認識一個朋友，我們要仔細觀察它的長相以便更好地了解它，你覺得橢圓的標準方程有什么特點呢？

生：很像前面學過的直線的截距式方程，只是變成了平方的形式，

師：非常好，能聯(lián)系前面學過的內(nèi)容，還有嗎？

生：x2對應的分母是以a2，y2對應的分母是b2.

師：一定是這樣的嗎？

生：這個與建系有關，如果將焦點F1，F(xiàn)2放在y軸上，也就是將剛才的x軸和y軸交換一下，方程就會變成x2對應的分母是b2，y2對應的分母是a2.

師：是這樣的嗎？

生：是的，交換x軸和y軸的效果，體現(xiàn)在方程上就是交換x和y的位置，

師：那么我們?nèi)绾胃鶕?jù)方程確定橢圓的焦點位置呢？比如.

生：根據(jù)我們推導方程的過程可以知道，當焦點在x軸時，x2的分母對應的是以a2，大于y2的分母b2，當焦點在y軸時，y2的分母對應的是以a2，大于x2的分母b2.所以我們可以這樣來判斷，就是看x2，y2哪個分母大，焦點就在哪個軸上，

師：大家覺得有道理嗎？有道理，很好！對于橢圓的方程，大家觀察得很仔細，總結得很到位，以后遇到一個新的數(shù)學對象，我們也要好好觀察它的特性，以便于我們很好地掌握它，

通常在學生剛剛學習到一個新的數(shù)學對象后，師生共同探討該對象的特征，進行適當?shù)淖兪絼?chuàng)新，能夠幫助學生較好地把握新的數(shù)學對象的本質(zhì)特征，起到事半功倍的效果，

涂榮豹教授在文[3]中提出數(shù)學教學中兩個重要的方面，即教學生“學什么”——學習科學研究的一般方法;教學生“怎么學”——用“從無到有”的探究方法去學，在本節(jié)課教學中，教師作為一個引導者，通過“接下來，我們應該研究什么呢”這樣一個具有元認知性質(zhì)的提問，把學生放在探究主體的位置上，讓他們自己探究，自己發(fā)現(xiàn)，明白可以通過建立曲線的方程來研究曲線的性質(zhì)，即解析幾何用代數(shù)研究幾何的基本思想，在“如何得到橢圓的方程”、“如何研究它的方程呢”這些問題上，教師給學生充分的機會體會并展示自己的想法，最終明確標準方程的意義，這樣做的意義旨在當學生在下一次碰見類似的求方程問題時會更加“明智”，讓學生面對以后要研究的雙曲線和拋物線時能有自己的研究視角和手段，進而在將來遇到一個完全陌生的曲線時，也能夠系統(tǒng)地提出自己的研究方案，

如果教師將教學生研究問題的一般方法作為教學最終目標，在課堂上經(jīng)常運用元認知提問來啟發(fā)學生，以至發(fā)展到學生學會用元認知提問來引導自己，這就達到了“教學生怎么學”的目的了，

參考文獻

[1]章建躍，陶維林.概念教學必須體現(xiàn)概念的形成過程—“平面向量的概念”的教學與反思[J].數(shù)學通報，2010， 49 （1）：25-29

[2]中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學課程標準（2017年版）[S].北京：人民教育出版社，2017

[3]涂榮豹.談提高對數(shù)學教學的認識兼評兩節(jié)數(shù)學課[J].中學數(shù)學教學參考，2006 （1）：4-8