摘 要：數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)學(xué)科的精髓，三角形相似是中學(xué)數(shù)學(xué)幾何部分的重要內(nèi)容，除了知識的重要性以外，其蘊含著的類別數(shù)學(xué)思想也同樣重要。類比的思想在所有學(xué)科的學(xué)習(xí)，甚至在生活中，應(yīng)用都十分廣泛，體現(xiàn)著學(xué)生活學(xué)活用、知識遷移的能力。所以本文以《相似三角形》的課程設(shè)計為例，體現(xiàn)在這部分內(nèi)容學(xué)習(xí)時，如何體現(xiàn)出類比思想。

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué) 相似三角形 類比思想 課程設(shè)計

一、知識儲備

1.三角形相似：形狀完全相同的兩個三角形為相似三角形；如果兩個三角形相似，則互為放大或縮小的版本。

2.預(yù)備定理（平行線定理）：平行線于三角形一邊的直線和其它兩邊相交，構(gòu)成的三角形與原三角形相似，形式上有A型、X型。

3.類比思想：指的是根據(jù)兩類對象在所要研究的某一方面具有相似性，可以得出相似的結(jié)論。

二、三角形相似類比思想的體現(xiàn)

1.三角形相似概念的類比

三角形相似的概念可以類比于三角形全等的概念。教師在進行新課的引入時，可以先復(fù)習(xí)與三角形全等的相關(guān)知識，進而引導(dǎo)學(xué)生找出三角形相似與全等概念上的相似與區(qū)別，這樣，不僅幫助學(xué)生回憶了與相似三角形聯(lián)系緊密的舊概念，還可以通過分析分析它們的結(jié)構(gòu)特征，建立起與新知識的聯(lián)系。運用類比引入新概念，可使學(xué)生更好地理解概念的本質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力。[1]

2.判定定理的類比

著名的數(shù)學(xué)家歐拉認(rèn)為：“類比就是大膽創(chuàng)造，不過，你應(yīng)該首先找到雙方的相似屬性?！比切蜗嗨七@一模塊的內(nèi)容與全等有許多相似的地方，三角形相似的判定定理可以根據(jù)全等三角形的判定定理得到，即：形狀、大小相同的兩個三角形全等類比為形狀相同的兩個三角形相似，進而得到兩個角對應(yīng)相等的三角形相似（AA）；三角形三邊對應(yīng)相等則全等類比為三角形對應(yīng)的三邊成比例，則兩個三角形相似；根據(jù)三角形全等的判定定理SAS類比于三角形對應(yīng)的兩邊成比例，且夾角相等的額兩個三角形相似；此外還有直角三角形相似的判定定理也可以根據(jù)直角三角形全等HL判定定理類比

得到。[2]

這樣利用三角形相似與全等的結(jié)構(gòu)幾何特征，得到定理的類比，這樣也是培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)能力的過程。[3]

3.證明方法的類比

三角形相似判定定理的證明具有相似性，即通過一個定理的證明思路與過程可以類比出其他判定定理的證明過程，而且是要求學(xué)生自己獨立完成?？梢赃M行如下的課程設(shè)計來體現(xiàn)類比思想。

求證：在△ABC于△A'B'C'中，∠A=∠A'，∠B=∠B'，證明兩個三角形相似。（教師引導(dǎo)）

圖 1

證明：采用疊合法。

如圖1所示，在△A'B'C'邊A'B'上截取，過點D作直線DE//B'C'，得到∠A'DE=∠B'，△A'B'C'∽△A'DE，所以在△ABC與△A'DE中，∠A=∠A'，∠B=∠A'DE，所以△ABC△ADE，進而△ABC∽△ABC。

接下來，可以讓學(xué)生采用疊合法，證明如下兩個定理：

定理1：在△ABC于△A'B'C'中，∠A=∠A'，，求證兩個三角形相似。

定理2：在△ABC于△A'B'C'中，，求證兩個三角形相似。

這樣的課程設(shè)計提高了課堂的教學(xué)效率，原先三個定理的內(nèi)容需要兩個課時才能完成，打斷了知識的連續(xù)性，而現(xiàn)在只需要一個課時就可以將三種定理的證明講解完，使課堂的內(nèi)容具有連貫性，便于學(xué)生從整體上來理解各個判定定理的證明。

4.相似三角形性質(zhì)的類比

性質(zhì)1：兩個相似三角形對應(yīng)的高成比例，且為相似比。

圖 2

證明：由于△ABC∽△A'B'C'，所以∠B=∠B'，有因為AD、AD'是高，所以∠ADB=∠A'D'B'=90°，所以△ABD∽△A'B'D'，那么根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例得到：

上述過程由教師引導(dǎo)學(xué)生一起完成，接下來，教師可以采用分組教學(xué)的方式，將相似三角形中線以及角平分線對應(yīng)成比例的證明安排學(xué)生獨立完成。思路則是利用兩個內(nèi)部的小三角形相似得到相應(yīng)的結(jié)論，都是先證明兩個三角形相似，然后用“相似三角形的對應(yīng)邊的比相等”證到結(jié)論。

性質(zhì)2：兩個相似三角形對應(yīng)的中線成比例，且為相似比。

性質(zhì)3：兩個相似三角形對應(yīng)的角平分線成比例，且為相似比。

比如，可以將學(xué)生分為8個組，其中4各組證明形似三角形的中線性質(zhì)，剩下的同學(xué)證明相似三角形角平分線的性質(zhì)。這樣的設(shè)計可以在學(xué)生感剛剛掌握相似三角形高的性質(zhì)之后，利用相類似的證明思路，通過小組討論這樣靈活的教學(xué)形式，讓學(xué)生體會到知識之間的緊密聯(lián)系，新舊知識融會貫通。

類比思想在相似三角形中的應(yīng)用，將新舊知識點進行結(jié)合，在鞏固舊知識的同時，還學(xué)習(xí)了新的知識，降低了許多同學(xué)的學(xué)習(xí)難度，學(xué)習(xí)變得有章可循。

5.三角形相似的應(yīng)用

一種數(shù)學(xué)思想之所以重要，是由于其擁有較高的現(xiàn)實意義，即應(yīng)用性較強。類比思想的重要性就體現(xiàn)在其應(yīng)用可以簡化習(xí)題。無論是在初中階段還是高中階段的基礎(chǔ)教育中，類比的思想是一種重要的解題方法，以此來指導(dǎo)教師教學(xué)和學(xué)生學(xué)習(xí)，從而實現(xiàn)教師和學(xué)生輕松而高效的教和學(xué)。三角形相似的相關(guān)習(xí)題種類多樣化，這樣導(dǎo)致學(xué)生在解題時常常感覺困難，造成的原因之一是不定的利用類比的思想來求解習(xí)題，也就是不懂得如何舉一反三。比如，可以將利用相似來證明比例式、證明三角形相似、求某一線段的長等等。

例1：如圖3在△ABC中，DE//BC，BF平分∠ABC，BF的延長線交DE的延長線于點F，AD=1，BD=2，BC=4，那么EF=______.

圖 3

例2：如圖4，CD是∠ACB的角平分線，BE//CD.求證：（1）BC=CE；（2）

圖 4

例1與例2的證明方式相似，涉及到角平分線、平分線內(nèi)容，可以將例1的解題方法類比用在例2 的證明上，實質(zhì)上許多題目是某一題目的變式，具有相似性，只要善于利用類比法，就可以提高學(xué)習(xí)的效率。類比思想還有助于發(fā)散學(xué)生思考問題的思維，增強創(chuàng)造能力，這也是素質(zhì)教育的要求。在中考的題目中，有許多都是由三角形相似圖形變形構(gòu)成的新圖形，利用類比的思想來尋找角或是邊的關(guān)系，從而找到解題的方法。

三、提升類比思想滲透在教學(xué)中的策略

相似三角形是初中階段的知識點，盡管在這之前已經(jīng)接觸到了類比思想，但是并不熟練，沒有掌握類比思想的核心，基于此，提升類比思想的滲透的首要策略是加強教師的引導(dǎo)。教師要深入研究教材，發(fā)現(xiàn)可以應(yīng)用類比思想的內(nèi)容，并會恰當(dāng)?shù)膶W(xué)生進行引導(dǎo)；其次，要緊扣每節(jié)課的教學(xué)主線。每節(jié)課的教學(xué)主線貫穿了整節(jié)課知識的核心知識、技能、數(shù)學(xué)思想方法。比如在進行三角形相似性質(zhì)的教學(xué)時，三角形相似對應(yīng)高、中線、角平分線對應(yīng)的比是主線，教師在課堂上的每一點引導(dǎo)都是分布在這條主線的周圍，新知的探究與生成，完全建立在舊知的回顧與應(yīng)用的基礎(chǔ)之上，“兩角對應(yīng)相等的兩個三角形相似”和“相似三角形的對應(yīng)邊成比例”成就了“相似三角形的對應(yīng)高的比等于相似比”，同時還為下一步的類比探究積累了寶貴的經(jīng)驗；最后，要注重課堂教學(xué)形式的多樣性，比如加入小組討論，這樣的教學(xué)方法十分適合探究類的問題，他們將自己的想法互相交流，通過師生、生生之間互動辨析，逐步將這些個性化的經(jīng)驗變?yōu)榇蠹艺J(rèn)同的經(jīng)驗，將知識、方法互相共享。

結(jié)語

在教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，學(xué)生在初學(xué)三角形相似的判定定理證明時，常常無從下手，可是將類比的思想加入在教學(xué)中，學(xué)生有全等的知識與方法作為鋪墊，類比后相似三角形的內(nèi)容變得熟悉，提高了學(xué)生的學(xué)習(xí)效率。實際上類比思想在中學(xué)中的應(yīng)用不僅僅體現(xiàn)在三角形相似的教學(xué)中，教師要善于深度挖掘教材，培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)的能力?？傊瑧?yīng)該更加注重類比思想的教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題的能力，提高每位學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，真正的實現(xiàn)“素質(zhì)教育”。

參考文獻

[1]王月祥.突出類比思想，促進課堂生成[J]，教學(xué)導(dǎo)航，2016，（9）：65.

[2]丁科利.相似三角形中的類比思想—《相似三角形》的教學(xué)設(shè)計[J].初中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2017，（8）：67.

[3]吳凱紅.重組教材關(guān)聯(lián)處，“同而不同”在類比—“相似三角形的判定方法”教學(xué)設(shè)計及解讀[J].教學(xué)導(dǎo)航，2017，（3）：23.

作者簡介

賈安國（1970，10—），男，漢，四川成都人，中學(xué)一級教師，彭州市麗春鎮(zhèn)北君平初級中學(xué)，研究方向：初等教育。