孫朝仁

摘要：從培養(yǎng)思維的角度看，數(shù)學實驗包括嵌入式、融入式和附加式三種普遍范式。利用這三種數(shù)學實驗范式可以有效培養(yǎng)學生的“可逆思維”，包括在因材施教中培養(yǎng)可逆思維，在學會思考中培養(yǎng)可逆思維，在問題解決中培養(yǎng)可逆思維。通過對“可逆思維”的培養(yǎng)研究有助于學生的數(shù)學思維暢通。

關鍵詞：可逆思維;數(shù)學實驗;數(shù)學思考

中圖分類號：G633.6 文獻標志碼：A 文章編號：1673-9094（2019）06A-0064-04

初中數(shù)學實驗是初中階段國家數(shù)學課程的一種補充，可以幫助學生直觀地理解數(shù)學知識、感悟數(shù)學思想和積累數(shù)學活動經(jīng)驗，其內(nèi)容的選取要有利于引發(fā)學生對數(shù)學的學習興趣，豐富學生的數(shù)學學習方式，特別要有利于促進學生思維的發(fā)展。從認知心理學看，思維包括分析、綜合、比較、抽象、概括判斷和推理等基本過程。這里既有正向思維，也有逆向思維，反映出“思維的可逆性”特征，思維的可逆性也是思維靈活性的一種表現(xiàn)。

在皮亞杰看來，思維可逆性是“指具體運算和形式運算階段兒童思維的一種基本特征”[1]。他把思維階段劃分為“前運算思維、具體運算思維和形式運算思維”三個階段。后兩個思維階段就是具體形象思維和抽象邏輯思維階段，而達到形式運算思維階段的年齡約為15歲，他得出結論：思維的可逆性“只有到具體運算思維階段才形成并發(fā)展起來”。由此可見，初中階段是培養(yǎng)學生思維可逆性的最佳時期。而數(shù)學實驗的本質就是“操作—思考”，正是幫助學生在直觀操作后可以“在心理上設想一個動作的倒轉順序，而無須具體執(zhí)行這些動作”的一種有效方式。實踐研究表明，通過嵌入式、融入式和附加式數(shù)學實驗，有針對性地因材施教、數(shù)學思考和問題解決是培養(yǎng)思維可逆性的有效路徑，有助于實現(xiàn)認知需要、獨立思考和反思意識的課程教育目標。筆者認為，學生的思維具有可逆性就初步形成了可逆思維。本文以“特殊四邊形”的概念教學為例，談可逆思維的培養(yǎng)。

一、利用“嵌入式”數(shù)學實驗培養(yǎng)可逆思維，因材施教，實現(xiàn)數(shù)學認知目標

因材施教是數(shù)學教學的基本原則，為中國數(shù)學教育的發(fā)展做出了巨大的貢獻。因材施教意味著讓學生基于“數(shù)學現(xiàn)實”和“思維事實”，實現(xiàn)知識的獲得和技能的形成。比如，數(shù)學實驗室、數(shù)學活動、課題學習以及研究性學習就是中觀的因材施教。當然，讓學生在各自的數(shù)學現(xiàn)實和思維事實層面，通過數(shù)學實驗得出結論，這就是一種正向思維的培養(yǎng)，而數(shù)學實驗之后判斷結論的正確性，本身就需要一種逆向思維的參與?；谶@一認識，具有個性化特征的數(shù)學實驗教學過程對于思維的培養(yǎng)是“雙向的”，也是“可逆的”。換言之，因材施教的過程也是一種思維可逆性的培養(yǎng)過程?！读x務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》（以下簡稱《課程標準》）明確指出，教師教學應該以學生的認知發(fā)展和已有經(jīng)驗為基礎，面向全體學生，注重啟發(fā)式數(shù)學和因材施教。這里的“因材施教”包括兩個層面的含義：一方面，是學生在因材施教中獲得“應知應會”的可能發(fā)展，讓學生通過“動手——做數(shù)學”獲得不同層面的數(shù)學感悟或數(shù)學認知，就是一種可能的發(fā)展;另一方面，是讓學生在因材施教中獲得“最近發(fā)展區(qū)”中的進一步的發(fā)展可能。

“嵌入式”數(shù)學實驗是在數(shù)學實驗教學的同時開展思維教學，以學科知識和學科知識體系為思維技能訓練載體，旨在以知識技能促進學生認知需要和深度理解。片段式實驗是“嵌入式”實驗的常見范式?！读x務教育課程標準實驗教科書·數(shù)學》（蘇科版）八年級下冊“實驗5：平分圖形的面積”，就是片斷式實驗的樣例，有助于學生領悟“中心對稱圖形”的本質。嵌入式實驗表現(xiàn)在三個方面：一是在產(chǎn)生概念過程中嵌入實驗，有助于實施因材施教。比如，讓學生觀察圖片抽象出平行四邊形的形象，這就是遵循學生的年齡特征和認知規(guī)律的因材施教。二是在使用概念過程中嵌入實驗，落實認知需要目標。比如，讓學生使用一張矩形紙片折出菱形的實驗，就是通過使用概念來促進學生的認知需要。三是在解釋概念過程中嵌入實驗，落實可逆思維的培養(yǎng)。比如，通過“折紙活動”，探索“中點四邊形的形狀”的實驗，就是通過概念解釋促進可逆思維發(fā)展的表現(xiàn)形式。

比如，在研究“特殊四邊形”概念起始課時，就是基于因材施教的原則，通過嵌入數(shù)學實驗，培養(yǎng)學生的可逆思維。具體來說，首先是讓學生任意畫一個不規(guī)則三角形，選擇一個頂點作為旋轉中心，畫出旋轉180°后的圖形，由此判斷得到的四邊形的形狀，并要求學生說出理由;其次是讓學生任意畫一個等腰三角形和直角三角形，以等腰三角形的底邊所對的頂點或直角三角形的直角頂點作為旋轉中心旋轉180°，判斷得到的四邊形的形狀，并說明理由;再次是讓學生任意畫一個等腰直角三角形，以直角頂點為旋轉中心進行旋轉180°，判斷旋轉后得到的四邊形的形狀，并說明理由;最后是讓學生在經(jīng)歷上述數(shù)學實驗的基礎上，通過畫圖、觀察、猜想、驗證等思維活動，讓學生概括表征特殊四邊形的原始概念，進一步理解“事實概念”。從認知心理學說，“畫圖實驗”與“說明理由”所隱含的思維就是可逆思維，從一般到特殊的不同層次實驗有助于實施因材施教。從思維學習論看，“任意畫→旋轉變換→形狀判斷→說明理由”是嵌入實驗的有效路徑。從思想方法論看，“不規(guī)則三角形→等腰三角形+直角三角形→等腰直角三角形”的特殊到一般的思維，形成事實概念，也是一種綜合正向思維和逆向思維于一體的培養(yǎng)過程，有助于學生將認知需要轉化為實踐行為，這就是嵌入式數(shù)學實驗實施的本體價值。

二、“融入式”數(shù)學實驗培養(yǎng)可逆思維，激活思維，實現(xiàn)數(shù)學思考目標

《課程標準》在“數(shù)學思考”維度明確指出，“在參與觀察、實驗、猜想、證明、綜合實踐等數(shù)學活動中，發(fā)展合情推理和演繹推理能力，清晰地表達自己的想法;學會獨立思考，體會數(shù)學的基本思想和基本思維方式。”其中，“實驗→猜想→證明”是獨立思考的常見活動載體，有助于培養(yǎng)可逆思維。具體來說，猜想的過程就是一種逆向思維訓練的過程，證明的過程是一種正向思維運行的過程，而數(shù)學實驗是由“猜想”到“證明”的路徑，所以說，數(shù)學實驗既是獨立思考的思維載體，又是學會思考的有效路徑。從學習論視角來說，數(shù)學實驗本身就是一種“學為中心”的教學實踐模式，有助于學生在獨立思考中形成可逆思維。因此，在“生本主體”行為理念下，在數(shù)學思考的參與下，“學為中心”的核心是以學生的自主參與學習為中心，鼓勵學生自己學是起點，教會學生如何學是關鍵，最終實現(xiàn)今后不教也能學的目標[2]。就這一認識來說，通過數(shù)學實驗領悟概念的發(fā)生過程，有助于學生在獨立思考中獲得一些啟示。比如，在研究“特殊四邊形”概念的過程中，基于“畫圖→概括”，讓學生在畫圖中獨立思考，在學會思考中有序畫圖，在概括中領悟與發(fā)現(xiàn)，這種知覺認知行為就是一種典型的“融入式”數(shù)學實驗，有助于學生形成可逆思維。

融入式數(shù)學實驗表現(xiàn)在三個維度：一是在數(shù)學抽象中融入實驗，讓學生在“做”中建立概念表象，落實學會學習目標;二是在數(shù)學思考的過程中融入實驗，緩解學生思考的壓力，讓學生不斷地深度思考，培養(yǎng)“知其所以然”的逆向思考力;三是在概念使用模塊中融入實驗，讓數(shù)學實驗成為深度理解概念的加速器。以色列的哈帕斯認為，思維學起步于“授之以竿”的思維技能教學，發(fā)展于“授之以餌”的思維傾向教學，回歸于“授之以漁”的知識理解教學[3]。這里，我們把“授之以竿”理解成數(shù)學實驗本身，把“授之以餌”理解成獨立思考，而“授之以漁”則可以理解成可逆思維的培養(yǎng)及其背后的學會思考目標。因此，“授之以竿→授之以餌→授之以漁”是融入式數(shù)學實驗的基本步驟，有助于學生在“做實驗”中進行獨立思考和學會思考。同時，思考力的發(fā)展又具有反哺融入實驗的能力。很顯然，在上述過程中，體現(xiàn)的正是思維的雙向性和可逆性。

例如，在研究“特殊四邊形”的基本性質時，我們基于可逆思維的培養(yǎng)，讓學生在融入式數(shù)學實驗活動中，獲得獨立思考和學會思考的能力。具體實驗步驟如下：首先，讓學生將“牙膏盒的頂口”剪平（去掉頭部），并進行條件性擠壓變形，使其呈現(xiàn)平行四邊形、矩形、菱形和正方形的不同狀態(tài)，然后將抽象出來的“特殊四邊形”分別畫出來;其次，讓學生聯(lián)結每一個特殊四邊形的對角線，在客觀驗證（度量、疊合、折疊、旋轉等）的思維環(huán)境下，給出邊、角、對角線的數(shù)量關系和位置關系，并讓學生在實驗過程中分別概括出平行四邊形、矩形、菱形和正方形的性質;最后，讓學生在探究特殊四邊形關系的過程中，發(fā)展可逆思維，即平行四邊形、矩形、菱形、正方形的結構關系（平行四邊形包含矩形和菱形，既是矩形又是菱形的四邊形是正方形），以及添加怎樣的條件，能使得平行四邊形成為矩形、菱形和正方形等半開放問題，實現(xiàn)學會思考等可逆思維的培養(yǎng)目標。

融入式實驗是一種新的實驗朝向，有助于學生“看得見”思維、“看得見”思考和“看得見”能力。融入實驗不止于“看得到”，更重要的是依托于現(xiàn)在“看得到”和以前“看得到”，進行雙向思考，促進可逆思維能力的培養(yǎng)，這才是數(shù)學實驗的本質。如果說從“牙膏盒的變形”到“特殊四邊形概念的抽象”是在數(shù)學抽象中融入實驗，那么“發(fā)現(xiàn)→概括→驗證”是在數(shù)學思考中融入實驗，而“結構關系建立→半開放條件添加”則是在使用概念的過程中助推學生逆向思維的發(fā)展。

三、利用“附加式”數(shù)學實驗培養(yǎng)可逆思維，學會反思，實現(xiàn)問題解決目標

人本主義心理學家馬斯洛認為，“學習具有發(fā)自內(nèi)心的生長潛力，教師的任務不只是教學生知識，更重要的是為學生設置良好的學習環(huán)境，讓學生自行學習”[4]。這里的“良好的學習環(huán)境”包括客觀的課堂物理環(huán)境和問題驅動思維環(huán)境。只有創(chuàng)設問題“思維塊”，讓學生在問題解決中形成良好的“思維憤悱”狀態(tài)，才能發(fā)揮附加式數(shù)學實驗的教育功能，進而培養(yǎng)學生的可逆思維。比如，探討矩形中點四邊形問題時，通過“畫圖→猜想→驗證”等活動，激發(fā)學生的數(shù)學思維，讓學生獲得實驗結論?；谶@一認識與經(jīng)驗，引導學生在“逆向思考”中，探討滿足什么條件的四邊形的中點四邊形是菱形。毋庸置疑，問題解決不止于解決問題，更在于給了學生創(chuàng)設提出問題的情境，讓學生有創(chuàng)造性思考的機會，這里的思考就需要具有逆向思維的能力。從這個意義上講，提出問題比解決問題更重要，提出問題是人發(fā)揮創(chuàng)造性的開始，同時提出問題又是附加式實驗的結果形態(tài)。

附加式數(shù)學實驗就是在各級各類“小結”和“反問監(jiān)控”中，讓學生在參與數(shù)學實驗的過程中，獲得系統(tǒng)知識的能力，實現(xiàn)“知其然、知其所以然和知其所不然”的系統(tǒng)目標，進而使得學生從“逆向思維”走向“元認知”的發(fā)展?；谶@一認識，可以說附加式實驗至少包括兩個維度的思維形態(tài)。一方面是在“反問監(jiān)控”時附加實驗，讓學生知道知識的來龍去脈;另一方面是在“結課模塊”，讓學生在反思中進行思維實驗，形成系統(tǒng)思維。可以說，所有的思維形態(tài)，都是問題解決的思維產(chǎn)物。正如《課程標準》指出的那樣，“初步學會從數(shù)學的角度發(fā)現(xiàn)和提出問題，提高實踐能力和創(chuàng)新精神;獲得分析問題和解決問題的一些方法，體驗解決問題方法的多樣性，發(fā)展創(chuàng)新意識;初步形成合作、評價與反思意識。”為此，進行附加式實驗，需要做好三個層面的工作：一是讓學生在問題解決中附加實驗，培養(yǎng)發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力;二是在激發(fā)思維憤悱狀態(tài)中附加實驗，培養(yǎng)分析問題和解決問題的能力;三是在反思評價中附加實驗，實現(xiàn)知識的遷移和元認知的進一步發(fā)展。

例如，在研究“特殊四邊形”的形成條件時，就是基于“問題解決”，在思維的參與下，實施層級性附加實驗，培養(yǎng)學生從特殊到一般的數(shù)學思維能力。具體實驗步驟為：某校八（3）班幾位同學嘗試用矩形紙片ABCD（見圖1）折出常見的中心對稱圖形?；A實驗：小明將矩形紙片先對折，使AB和DC重合，展開后得折痕EF，再折出四邊形ABFE和CDEF的對角線，它們的對角線分別相交于點G、H（見圖2），最后將紙片展平，判斷四邊形EGFH的形狀（菱形，判斷依據(jù)是四邊相等的四邊形是菱形等）。附加實驗1：點E、F分別為矩形紙條ABCD的邊AD、BC上的點，小華將矩形紙片沿EF翻折，使點C、D分別落在矩形外部，記為點C′、D′，F(xiàn)C′與AD交于點G，延長D′E交BC于點H（見圖3），求證：四邊形EGFH是菱形（判斷依據(jù)：一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形）。附加實驗2：小麗將矩形紙片兩端向中間翻折，使得點A、C落在矩形內(nèi)部，分別記為點A′、C′，點B、D落在矩形外部，分別記為點B′、D′，折痕分別為EF、GH，且點H、C′、A′、F在同一條直線上（如圖4），試判斷四邊形EFGH的形狀，并說明理由。

《課程標準》指出，“體會數(shù)學知識之間、數(shù)學與其他學科之間、數(shù)學與生活之間的聯(lián)系，運用數(shù)學的思維方式進行思考，增強發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力?！鄙鲜龅摹罢奂垖嶒灐本褪菙?shù)學與生活關聯(lián)的典型，是一種有效的附加實驗，穿插在“中心對稱圖——平行四邊形”的小結與思考模塊中，為后續(xù)提出問題做好鋪墊。如果說，基礎實驗是注重問題解決的話，那么附加實驗1是激活思維的有效載體，而附加實驗2則是反思評價的表現(xiàn)形式，有助于學生在做中反思，在反思中評價，在評價中培養(yǎng)思維，進而實現(xiàn)實踐創(chuàng)新和問題解決的目標。正如有學者所言，“有趣的思考勝過千言萬語的贊美，學習成就高的學生，并不是預期會得到贊賞，而是將學習當成一趟有趣的發(fā)現(xiàn)之旅，不斷地發(fā)現(xiàn)學習的樂趣”[5]。這就是附加式數(shù)學實驗的實踐意義，能讓學生站在系統(tǒng)思維層面，發(fā)展可逆思維和創(chuàng)造性思維。

參考文獻：

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責任編輯：趙赟