李立松

[摘? 要] 數(shù)形結(jié)合思想將數(shù)學(xué)中的“數(shù)”與“形”有機(jī)地結(jié)合在一起，對(duì)于知識(shí)的理解和問(wèn)題的解答十分有利. 初中階段正是學(xué)生掌握數(shù)形結(jié)合思想方法的關(guān)鍵時(shí)期，對(duì)于該方法的教學(xué)不僅應(yīng)滲透于具體的概念定理中，還應(yīng)該結(jié)合具體的考題使學(xué)生掌握該方法的使用策略和精髓. 文章將分析數(shù)形結(jié)合方法在教學(xué)中存在的問(wèn)題，并結(jié)合具體考題進(jìn)行剖析，開(kāi)展教學(xué)微設(shè)計(jì)，與讀者交流學(xué)習(xí).

[關(guān)鍵詞] 二次函數(shù);數(shù)形結(jié)合;教學(xué);思考;實(shí)踐

問(wèn)題的提出

在九年級(jí)“二次函數(shù)”的章節(jié)教學(xué)中，需要讓學(xué)生掌握二次函數(shù)的表達(dá)式，并能根據(jù)表達(dá)式繪制對(duì)應(yīng)的函數(shù)圖像，掌握函數(shù)的圖像特點(diǎn)和對(duì)應(yīng)的性質(zhì)，其中隱含了數(shù)形結(jié)合的思想方法，即根據(jù)代數(shù)式聯(lián)想函數(shù)的圖像，根據(jù)圖像的特點(diǎn)助力表達(dá)式的分析，從而實(shí)現(xiàn)二次函數(shù)的數(shù)與形的多角度研究. 同時(shí)該思想方法也是突破中考二次函數(shù)壓軸題的重要解題方法，對(duì)透視考題結(jié)構(gòu)，挖掘考題隱含條件，構(gòu)建解題思路起著十分重要的作用. 但僅僅依靠教材概念講解難以使學(xué)生充分掌握數(shù)形結(jié)合方法解題的具體策略，因此十分有必要結(jié)合考題使學(xué)生明晰方法的思想核心和內(nèi)涵.

考題的例析

數(shù)形結(jié)合方法作為突破函數(shù)問(wèn)題的重要方法，表面上是“數(shù)”與“形”相互結(jié)合來(lái)分析問(wèn)題，但細(xì)致剖析其核心內(nèi)容可概括為兩點(diǎn)：一是以“數(shù)”思“形”，即根據(jù)函數(shù)表達(dá)式聯(lián)想具體的函數(shù)圖像;二是以“形”助“數(shù)”，即利用函數(shù)直觀圖像來(lái)分析表達(dá)式，確定問(wèn)題的破解思路. 實(shí)際用于解題時(shí)就可以根據(jù)這兩點(diǎn)進(jìn)行研究，首先根據(jù)題干關(guān)于函數(shù)圖像的信息繪制二次函數(shù)的圖像，然后通過(guò)函數(shù)圖像的特點(diǎn)來(lái)確定函數(shù)的性質(zhì)，進(jìn)而突破考題，以下面這道二次函數(shù)考題為例.

考題? 在直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線(xiàn)L的解析式為y1=ax2+bx+c（a≠0），L與坐標(biāo)系的x軸相交于點(diǎn)A（x1，0），B（x2，0），與y軸相交于點(diǎn)C，且O和C兩點(diǎn)之間的距離為3，x1·x2<0，x1+x2=4，而點(diǎn)A和C位于直線(xiàn)y2=-3x+t上.

（1）試求點(diǎn)C的坐標(biāo);

（2）若y1隨著自變量x的增大而增大，試求x的取值范圍;

（3）現(xiàn)將拋物線(xiàn)y1向左平移n（n>0）個(gè)單位，記平移后y隨著x的增大而增大的部分為P，再將直線(xiàn)y2向下平移n（n>0）個(gè)單位，若平移后直線(xiàn)與P存在公共點(diǎn)，試求2n2-5n的最小值.

突破解析：

（1）第一問(wèn)求點(diǎn)C的坐標(biāo)，題干中有兩個(gè)條件，一是點(diǎn)C是拋物線(xiàn)與y軸的交點(diǎn)，二是“O和C兩點(diǎn)之間的距離為3”，即OC=3，則OC=3或-3. 以“數(shù)”思“形”，可以此為條件繪制圖1所示的圖像，則可以確定拋物線(xiàn)有兩種情形：開(kāi)口向上或開(kāi)口向下;以“形”助“數(shù)”，可確定點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，3）或（0，-3）.

（2）研究x的取值范圍，同樣可以采用以“數(shù)”思“形”到以“形”助“數(shù)”的策略，即首先結(jié)合C的分類(lèi)情況確定拋物線(xiàn)的表達(dá)式，然后根據(jù)表達(dá)式繪制對(duì)應(yīng)的函數(shù)圖像，最后根據(jù)圖像的單調(diào)性確定x的取值范圍. 考慮點(diǎn)C的坐標(biāo)，分如下兩種情形進(jìn)行討論：

①當(dāng)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，3）時(shí)，點(diǎn)A和C均位于直線(xiàn)y2=-3x+t上，分別代入可得0=-3x1+t，

3=t，解得x1=1，

t=3，則點(diǎn)A（1，0）. 結(jié)合條件“x1·x2<0，x1+x2=4”可得x2= -3，進(jìn)一步可確定點(diǎn)B（-3，0），從而可確定拋物線(xiàn)的解析式為y1=a（x-1）（x+3），最后將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入上式，可以確定拋物線(xiàn)的表達(dá)式y(tǒng)1=-x2-2x+3，可計(jì)算出對(duì)稱(chēng)軸為x=-1. 根據(jù)其表達(dá)式可以繪制如圖2所示的圖像，圖像開(kāi)口向下. 由圖像可知：當(dāng)x<-1時(shí)，y1隨著自變量x的增大而增大，故x的取值范圍為x<-1.

②當(dāng)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，-3）時(shí)，同理可確定拋物線(xiàn)的表達(dá)式y(tǒng)1=x2-2x-3，圖像的對(duì)稱(chēng)軸為x=1，根據(jù)其表達(dá)式可以繪制如圖3所示的圖像，圖像開(kāi)口向上. 由圖像可知：當(dāng)x>1時(shí)，y1隨著自變量x的增大而增大，故x的取值范圍為x>1.

綜合上述情形的①和②，可知：當(dāng)點(diǎn)C為（0，3）時(shí)，拋物線(xiàn)表達(dá)式的a=-1，x<-1;當(dāng)點(diǎn)C為（0，-3）時(shí)，拋物線(xiàn)表達(dá)式的a=1，x>1.

（3）對(duì)于該問(wèn)同樣需要考慮點(diǎn)C的坐標(biāo)，通過(guò)分類(lèi)討論確定拋物線(xiàn)的圖像，借助圖像確定最值.

①當(dāng)點(diǎn)C為（0，3）時(shí)，a=-1，則y1= -（x+1）2+4，y2=-3x+3，y1向左平移n個(gè)單位，可得y3=-（x+1+n）2+4，y2向下平移n個(gè)單位，可得y4=-3x+3-n. 在圖4中分別繪制y1和y2的圖像，然后在圖5中繪制平移后的圖像，則區(qū)域P就是拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸左側(cè)的部分，要使直線(xiàn)與區(qū)域P存在公共點(diǎn)，則需滿(mǎn)足拋物線(xiàn)頂點(diǎn)P位于點(diǎn)Q之上，即x=1-n時(shí)，y3≥y4，代入可解得n≥1.

②當(dāng)點(diǎn)C為（0，-3）時(shí)，a=1，則y1=（x-1）2-4，y2=-3x-3，對(duì)應(yīng)可得平移后的表達(dá)式為y3=-（x-1+n）2-4，y4=-3x-3-n. 同樣繪制平移前后的圖像，如圖6和圖7，同理可確定區(qū)域P（對(duì)稱(chēng)軸右側(cè)），存在公共點(diǎn)的條件為拋物線(xiàn)頂點(diǎn)P位于點(diǎn)Q的下方，即x=1-n時(shí)，y3≤y4，代入可解得n≤-1. 考慮到n>0，將其舍去.

綜上可知，n≥1，2n2-5n=2n-2-，定義域?yàn)閚≥1，則n=時(shí)2n2-5n可取得最小值-.

在考題教學(xué)中可以進(jìn)行對(duì)應(yīng)的微設(shè)計(jì)，逐步引導(dǎo)學(xué)生掌握數(shù)形結(jié)合的解題策略，以上述考題的第（1）、（2）問(wèn)為例：

1. 教學(xué)環(huán)節(jié)一：呈現(xiàn)題干，基礎(chǔ)分析

已知拋物線(xiàn)L：y1=ax2+bx+c（a≠0），與x軸的交點(diǎn)為A（x1，0），B（x2，0），與y軸的交點(diǎn)為C，若點(diǎn)C到點(diǎn)O的距離為3，試求點(diǎn)C的坐標(biāo).

引導(dǎo)：利用代數(shù)式表示“點(diǎn)C到點(diǎn)O的距離為3”.

2. 教學(xué)環(huán)節(jié)二：深入研究，探究解析式

題干信息同上，若x1·x2<0，x1+x2=4，點(diǎn)A和C位于直線(xiàn)y2=-3x+t上，試求二次函數(shù)的解析式.

引導(dǎo)：①利用上述點(diǎn)C的坐標(biāo)，結(jié)合條件“A和C位于直線(xiàn)y2=-3x+t上”求對(duì)應(yīng)點(diǎn)A的坐標(biāo).

②結(jié)合條件“x1·x2<0，x1+x2=4”確定對(duì)應(yīng)點(diǎn)B的坐標(biāo).

③利用點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)求解拋物線(xiàn)的解析式.

3. 教學(xué)環(huán)節(jié)三：以“數(shù)”思“形”，構(gòu)建函數(shù)圖像

利用上述拋物線(xiàn)的解析式，結(jié)合關(guān)鍵點(diǎn)繪制拋物線(xiàn)的圖像.

引導(dǎo)：根據(jù)拋物線(xiàn)的解析式，確定函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸，然后分別標(biāo)出圖像的頂點(diǎn)、與x軸的交點(diǎn)和對(duì)稱(chēng)軸，進(jìn)而繪制圖像.

4. 教學(xué)環(huán)節(jié)四：以“形”助“數(shù)”，研究取值問(wèn)題

在上述條件成立的情況下，如果 y1隨著自變量x的增大而增大，則x的取值范圍為多少？

引導(dǎo)：根據(jù)具體的拋物線(xiàn)圖像進(jìn)行研究，y1隨著自變量x的增大而增大，則表示需要取圖像上的單調(diào)遞增區(qū)間，根據(jù)函數(shù)的遞增區(qū)段來(lái)分析對(duì)應(yīng)的自變量取值.

教學(xué)的思考

1. 立足考題教學(xué)，探尋著力點(diǎn)

數(shù)形結(jié)合思想是初中數(shù)學(xué)最為重要的思想方法之一，許多教師在教學(xué)中僅在函數(shù)的性質(zhì)教學(xué)中進(jìn)行了簡(jiǎn)單的滲透，偏重于利用數(shù)形結(jié)合思想使學(xué)生理解具體的概念，但數(shù)形結(jié)合同樣是一種重要的解題方法和策略，掌握數(shù)形結(jié)合的方法對(duì)于提高學(xué)生的解題效率是十分有利的. 因此應(yīng)該從方法的“概念教學(xué)”走向方法的“解題教學(xué)”，即結(jié)合具體的考題，通過(guò)對(duì)考題的細(xì)致剖析使學(xué)生充分體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用內(nèi)涵，形成數(shù)形結(jié)合分析問(wèn)題的意識(shí). 將考題作為方法學(xué)習(xí)的著力點(diǎn)，不僅是提升學(xué)生綜合解題能力的應(yīng)用要求，同時(shí)也是當(dāng)下素質(zhì)教育的發(fā)展要求，將概念與應(yīng)用相結(jié)合可以使學(xué)生深刻體會(huì)方法的精髓所在.

2. 微設(shè)教學(xué)環(huán)節(jié)，體會(huì)應(yīng)用思想

數(shù)形結(jié)合方法應(yīng)用解題包含有兩層深義，一是以“數(shù)”思“形”，通過(guò)適度的運(yùn)算來(lái)獲得關(guān)鍵的數(shù)據(jù)，結(jié)合數(shù)據(jù)來(lái)構(gòu)建圖像;二是以“形”助“數(shù)”，充分利用圖像的直觀性，明確圖像結(jié)構(gòu)，透視考題本質(zhì)，探尋問(wèn)題解答的途徑，即利用圖像的性質(zhì)來(lái)探究數(shù)學(xué)規(guī)律，使復(fù)雜的代數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為與圖像性質(zhì)相關(guān)的問(wèn)題. 考慮到學(xué)生的理解能力，為使學(xué)生充分掌握該方法的解題策略，進(jìn)行考題教學(xué)時(shí)要合理的采用教學(xué)微設(shè)計(jì)的方式，將復(fù)雜的綜合問(wèn)題拆分為多個(gè)簡(jiǎn)單的問(wèn)題，然后通過(guò)對(duì)幾個(gè)分問(wèn)題的引導(dǎo)使學(xué)生掌握數(shù)形結(jié)合分析問(wèn)題的具體步驟. 如上述考題的微設(shè)計(jì)，首先利用分問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)據(jù)分析，利用數(shù)據(jù)來(lái)繪制函數(shù)圖像，然后利用圖像來(lái)簡(jiǎn)捷地求解問(wèn)題，這樣的方式不僅有利于學(xué)生理解方法的應(yīng)用性，還可以培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維.