[摘? 要] 文章通過(guò)對(duì)近兩年福建省中考統(tǒng)計(jì)與概率類(lèi)型題的詳細(xì)分析，深入解讀日常教學(xué)過(guò)程中如何更好地把握課本，并且結(jié)合數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的標(biāo)準(zhǔn)對(duì)教學(xué)提出了思考和建議.

[關(guān)鍵詞] 中考;統(tǒng)計(jì)與概率;概念;核心素養(yǎng)

新課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)統(tǒng)計(jì)與概率模塊的教學(xué)要求，是學(xué)生能夠理解隨機(jī)事件發(fā)生的可能性，體會(huì)樣本與總體的關(guān)系，體會(huì)頻率與概率的關(guān)系，并在實(shí)際學(xué)習(xí)過(guò)程中經(jīng)歷數(shù)據(jù)收集、數(shù)據(jù)整理和分析的過(guò)程等. 只有在這樣的過(guò)程中，學(xué)生才能構(gòu)建對(duì)于統(tǒng)計(jì)與概率的基本概念，并掌握它們的意義和求法，會(huì)繪制圖表，并進(jìn)一步懂得它們常見(jiàn)的錯(cuò)誤類(lèi)型及改正方法.

下面我們結(jié)合最近幾年福建省中考統(tǒng)計(jì)與概率類(lèi)型題的詳細(xì)分析，同時(shí)結(jié)合初中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的觀念對(duì)相關(guān)問(wèn)題進(jìn)行解讀.

對(duì)題目的分析

題目1? （2018福建卷第22題）甲、乙兩家快遞公司攬件員（攬收快件的員工）的日工資方案如下：甲公司為“基本工資+攬件提成”，其中基本工資為70元/日，每攬收一件提成2元;乙公司無(wú)基本工資，僅以攬件提成計(jì)算工資，若當(dāng)日攬件數(shù)不超過(guò)40，每件提成4元，若當(dāng)日攬件數(shù)超過(guò)40，超過(guò)部分每件多提成2元. 圖1是今年四月份甲公司攬件員人均攬件數(shù)和乙公司攬件員人均攬件數(shù)的條形統(tǒng)計(jì)圖.

（1）現(xiàn)從今年四月份的30天中隨機(jī)抽取1天，求這一天甲公司攬件員人均攬件數(shù)超過(guò)40（不含40）的概率;

（2）根據(jù)以上信息，以今年四月份的數(shù)據(jù)為依據(jù)，并將各公司攬件員的人均攬件數(shù)視為該公司各攬件員的攬件數(shù)，解決以下問(wèn)題：①估計(jì)甲公司各攬件員的日平均攬件數(shù);②小明擬到甲、乙兩家公司中的一家應(yīng)聘攬件員，如果僅從工資收入的角度考慮，請(qǐng)利用所學(xué)的統(tǒng)計(jì)知識(shí)幫他選擇，并說(shuō)明理由.

分析? 本題取材于當(dāng)今社會(huì)的熱門(mén)話(huà)題：快遞公司攬件員的日工資方案. 甲、乙兩家公司方案不同，甲公司工資方案屬于簡(jiǎn)單的一次函數(shù)關(guān)系，乙公司屬于分段函數(shù)，自變量取值范圍在40為分界點(diǎn)，所以在閱卷的過(guò)程中有一部分學(xué)生采用設(shè)函數(shù)解析式來(lái)回答本題，也是情理之中的. 本題如果從函數(shù)的角度去看，也是一道相當(dāng)有價(jià)值的題目，以上是從題目條件方面去分析的.

如果我們從題目的問(wèn)題入手分析就會(huì)發(fā)現(xiàn)，統(tǒng)計(jì)與概率的味道就凸顯出來(lái)了. 第（1）小題中，“30天中隨機(jī)抽取1天”以及“超過(guò)40（不含40）的概率”，問(wèn)題非常清晰，背后隱含的考點(diǎn)：這是一個(gè)“隨機(jī)事件”，求該事件發(fā)生的概率. “甲公司攬件員人均攬件數(shù)超過(guò)40（不含40）”指令要求非常明確，觀察橫坐標(biāo)，只有41，42符合，甲公司（即黑色部分）分別為3天、1天，滿(mǎn)足條件的有4天，而總數(shù)據(jù)條件也非常明顯，是“30天中”，從而該事件發(fā)生的概率，就可以根據(jù)定義得到答案.

第（2）小題①問(wèn)，采用了“估計(jì)”這個(gè)專(zhuān)業(yè)術(shù)語(yǔ)，再加上“各公司攬件員的人均攬件數(shù)視為該公司各攬件員的攬件數(shù)”，不難發(fā)現(xiàn)背后隱含的考點(diǎn)是用樣本去估計(jì)總體的思想. “日平均攬件數(shù)”背后也隱含著一個(gè)專(zhuān)業(yè)術(shù)語(yǔ)“平均數(shù)”，在條形統(tǒng)計(jì)圖中，準(zhǔn)確地說(shuō)隱含著“加權(quán)平均數(shù)”的概念. 回歸課本我們發(fā)現(xiàn)，現(xiàn)行人教版八年級(jí)下冊(cè)112頁(yè)對(duì)加權(quán)平均數(shù)的定義嚴(yán)格來(lái)說(shuō)是不夠完整的，是基于初中學(xué)生能夠理解的方式來(lái)進(jìn)行表達(dá)的. 課本隨后給出了加權(quán)平均數(shù)的計(jì)算公式，結(jié)合公式給出定義：“叫作這n個(gè)數(shù)的加權(quán)平均數(shù)”. 從嚴(yán)格意義上來(lái)看，加權(quán)平均數(shù)是指不同比重的一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，具體來(lái)說(shuō)，加權(quán)平均數(shù)就是“把一組數(shù)據(jù)按照合理的比例來(lái)進(jìn)行計(jì)算”，也就是“將各個(gè)數(shù)值乘以相對(duì)應(yīng)的權(quán)重值，然后相加進(jìn)行求和得到總體值，最后除以總的單位數(shù)”. 其實(shí)現(xiàn)行人教版配套教師教學(xué)用書(shū)對(duì)加權(quán)平均數(shù)還有進(jìn)一步解讀，“統(tǒng)計(jì)中常用平均數(shù)有算術(shù)平均數(shù)、調(diào)和平均數(shù)、幾何平均數(shù)等. 算術(shù)平均數(shù)分為簡(jiǎn)單平均數(shù)和加權(quán)平均數(shù)兩種形式. 在統(tǒng)計(jì)學(xué)上，簡(jiǎn)單算術(shù)平均數(shù)主要用于處理沒(méi)有分組的原始數(shù)據(jù)，而加權(quán)平均數(shù)只能用于已經(jīng)整理歸類(lèi)分組后的數(shù)據(jù)”. 我們進(jìn)一步研究不難發(fā)現(xiàn)加權(quán)平均數(shù)的大小不僅受各組數(shù)據(jù)值大小的影響，而且受各組數(shù)據(jù)值出現(xiàn)的頻數(shù)大小的影響.

基于這樣的分析，如果在授課過(guò)程中我們以這樣的思維角度去備課，對(duì)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行深入思考和研究，然后在教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生明白背后的這些道理，那么他們對(duì)于條形統(tǒng)計(jì)圖類(lèi)型已經(jīng)整理后的數(shù)據(jù)，求平均攬件數(shù)，就不難發(fā)現(xiàn)是求這一組數(shù)據(jù)的加權(quán)平均數(shù)，進(jìn)而得到答案. 即①甲公司各攬件員的日平均件數(shù)為=39件. 真正的難點(diǎn)在于學(xué)生對(duì)核心概念的理解，錯(cuò)誤往往是學(xué)生對(duì)概念背后所隱含的條件不清楚而產(chǎn)生的，在中考答題的時(shí)候出現(xiàn)千奇百怪的答案也就不足為奇了，這是我們?cè)谝院蟮慕虒W(xué)中應(yīng)該借鑒的.

第（2）小題②問(wèn)，問(wèn)題“僅從工資收入的角度”，背后隱含的信息就是告訴我們計(jì)算工資收入，但是題目“利用所學(xué)的統(tǒng)計(jì)知識(shí)”限制了我們解決問(wèn)題的工具，明確告知所學(xué)統(tǒng)計(jì)知識(shí)，如：總體、個(gè)體、樣本、平均數(shù)、方差、標(biāo)準(zhǔn)差、眾數(shù)、中位數(shù)、頻數(shù)、頻率等. 而結(jié)合本題條件，甲公司攬件員的日平均工資為“基本工資+攬件提成”，即基本工資為70元/日+每攬收一件提成2元，需要用到第①問(wèn)的日攬件平均數(shù)39，可以直接計(jì)算每天的平均收入，70+39×2=148元，也可以計(jì)算每月總收入：70×30+39×2×30=4440元. 而乙公司的收入計(jì)算方式，相對(duì)難度就大了一些. 因?yàn)橛小叭諗埣?shù)不超過(guò)40”和“日攬件數(shù)超過(guò)40”兩種情況，根據(jù)條件收入分別為：4元、6元. 而由①問(wèn)的分析我們知道，條形統(tǒng)計(jì)圖最核心的問(wèn)題是“權(quán)”，攬件數(shù)為38，39，40的權(quán)重分別為7，7，8，就可以計(jì)算攬件總數(shù)，每件收入是4元;而攬件數(shù)為41，42的權(quán)重分別為5，3，計(jì)算攬件總數(shù)，每件收入是6元. 這樣就可以計(jì)算最后的月總收入，當(dāng)然如果計(jì)算日平均攬件數(shù)，也可以得到日平均收入. 這樣就可以對(duì)比得到的甲乙兩家公司的工資收入，從而幫助小明做出選擇.

通過(guò)以上的分析，我們發(fā)現(xiàn)審題能力是解決問(wèn)題的一個(gè)關(guān)鍵，我們不僅僅要讀懂文字面上的含義，還要透過(guò)文字發(fā)掘背后所隱含的信息，這是一種非常重要的數(shù)學(xué)素養(yǎng). 在研究中我們發(fā)現(xiàn)2016年后很多數(shù)學(xué)專(zhuān)家在研討初中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的問(wèn)題，我們一直認(rèn)為初中學(xué)生通過(guò)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)培養(yǎng)他們閱讀、思考、表達(dá)三種能力是我們數(shù)學(xué)教學(xué)的目的. 閱讀是一個(gè)非常重要的素養(yǎng)，通過(guò)閱讀，能夠獲取我們所需要的信息，然后對(duì)所獲取的信息進(jìn)行加工，內(nèi)化為學(xué)生自己的東西，并通過(guò)思考，轉(zhuǎn)化為可以用語(yǔ)言（口頭和書(shū)面）進(jìn)行表達(dá)[1]，這就是我們理解的數(shù)學(xué)素養(yǎng). 在這個(gè)背景下，我們?cè)倏戳硪坏狸P(guān)于概率統(tǒng)計(jì)的問(wèn)題.

題目2? （2017福建卷第23題）某高校進(jìn)行共享單車(chē)活動(dòng)，每用單車(chē)一次，租金為0.5元. 現(xiàn)為了提高使用率，規(guī)定在一天內(nèi)，對(duì)多次用單車(chē)予以?xún)?yōu)惠，每天第二次用單車(chē)起，每多用一次減0.1元，如表1.

（1）求a，b;

（2）共享單車(chē)租賃公司為了了解是否盈利，從該校5000名學(xué)生中抽樣調(diào)查了100名學(xué)生每天用單車(chē)情況，情況如表2. 若該共享單車(chē)租賃公司每天要付成本5800元，問(wèn)該公司是否盈利，并說(shuō)明理由.

分析? 本題背景過(guò)了一年多來(lái)看依然十分新穎，共享單車(chē)已經(jīng)成為城市發(fā)展過(guò)程中十分重要的一個(gè)角色，審題能力、閱讀理解能力依然是考查的基本. 第（1）小題的題面信息：“每用單車(chē)一次，租金為0.5元”“每多用一次減0.1元”，問(wèn)題是求a，b的值，再結(jié)合表格中所列舉的“0.5，0.9”，其實(shí)隱含的信息就是在解讀題面“每次0.5元，每多用一次減0.1元”，所以不難得到，每天用3次付租金為：a=0.5+0.4+0.3=1.2元，每天用4次付租金為：b=0.5+0.4+0.3+0.2=1.4元. 每天用5次付租金題目條件已經(jīng)給出了，目的是為了幫助學(xué)生檢驗(yàn)前面3次和第4次用車(chē)所付的租金是否正確.

第（2）小題，題設(shè)直接就出現(xiàn)“抽樣調(diào)查”，隱含了對(duì)總體、樣本、樣本的容量、頻數(shù)等概念的考查，經(jīng)過(guò)整理后的數(shù)據(jù)以表格的形式出現(xiàn)，其實(shí)類(lèi)似于條形統(tǒng)計(jì)圖，權(quán)重對(duì)最后的數(shù)據(jù)分析有很大的影響. “5000名學(xué)生中抽樣調(diào)查100名學(xué)生”，背后隱含的信息是需要用樣本去估計(jì)總體的思想，所以需要計(jì)算樣本的平均租金，很明顯需要使用加權(quán)平均數(shù)的公式進(jìn)行計(jì)算得到1.1元，然后用這個(gè)平均數(shù)去估計(jì)總體的情況，進(jìn)而求出租金收入5000×1.1=5500元，最后跟“共享單車(chē)租賃公司每天要付成本5800元”較比得出所需要的結(jié)論.

經(jīng)過(guò)研究對(duì)比，我們可以發(fā)現(xiàn)近兩年福建省統(tǒng)考的統(tǒng)計(jì)題綜合程度高，考查的知識(shí)點(diǎn)與能力要求較強(qiáng). 這兩題所考查的知識(shí)點(diǎn)都含有概率、加權(quán)平均數(shù)、條形統(tǒng)計(jì)圖，同時(shí)考查了學(xué)生的運(yùn)算能力、推理能力，以及學(xué)生對(duì)數(shù)據(jù)分析、應(yīng)用意識(shí)及統(tǒng)計(jì)與概率的思想的掌握情況. 《新課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011版）在課程設(shè)計(jì)思路中有對(duì)統(tǒng)計(jì)與概率進(jìn)行詳細(xì)的描述，“數(shù)據(jù)分析觀念包括：①了解生活中一些問(wèn)題，我們應(yīng)當(dāng)先做調(diào)查研究來(lái)進(jìn)行數(shù)據(jù)收集，然后通過(guò)科學(xué)的分析就能夠弄清楚數(shù)據(jù)中蘊(yùn)涵的信息，最后對(duì)要研究的問(wèn)題做出判斷;②了解對(duì)于同樣的數(shù)據(jù)，我們可以有不同的分析方法，要求我們能夠根據(jù)問(wèn)題的背景以及我們的需求選擇合適的方法;③通過(guò)數(shù)據(jù)分析去真正體驗(yàn)隨機(jī)性. ” [2]

基于此，在核心素養(yǎng)的觀念下我們可以進(jìn)一步解讀統(tǒng)計(jì)與概率的內(nèi)容對(duì)于培養(yǎng)初中學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)應(yīng)包括以下三個(gè)互相關(guān)聯(lián)的要素：一是要有大數(shù)據(jù)意識(shí). 要了解生活中的問(wèn)題，可以并需要用數(shù)據(jù)來(lái)描述和刻畫(huà)，為此應(yīng)當(dāng)先做抽樣調(diào)查或者普查，然后收集數(shù)據(jù)，最后通過(guò)分析做出判斷. 二是能夠選擇適當(dāng)?shù)姆椒ㄋ鸭头治鰯?shù)據(jù). 要了解對(duì)于同樣的數(shù)據(jù)可以有不同的分析方法，我們需要懂得根據(jù)問(wèn)題的背景選擇合適的方法，不同的統(tǒng)計(jì)方法沒(méi)有簡(jiǎn)單意義上的“對(duì)”與“錯(cuò)”，只有“好”與“不好”. 三是能夠通過(guò)數(shù)據(jù)分析的過(guò)程去體驗(yàn)隨機(jī)性. 數(shù)據(jù)的隨機(jī)性主要有兩層含義：一是對(duì)于同樣的事情，每次收集到的數(shù)據(jù)有可能是不同的;二是只要有足夠的數(shù)據(jù)，我們就可能從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律.

從第2小題第（2）問(wèn)的解答過(guò)程也發(fā)現(xiàn)，按初中《新課程標(biāo)準(zhǔn)》中所述對(duì)基本統(tǒng)計(jì)量的要求，有一部分學(xué)生已經(jīng)達(dá)標(biāo)，同時(shí)也有了一定的統(tǒng)計(jì)意識(shí)，但在運(yùn)用的過(guò)程中，對(duì)基本統(tǒng)計(jì)量的理解是否到位還存在問(wèn)題. 而這個(gè)問(wèn)題背后最根本的原因還是對(duì)于概念的理解，特別是統(tǒng)計(jì)相關(guān)概念在學(xué)生心里形成的系統(tǒng)觀念. 通過(guò)學(xué)習(xí)概率與統(tǒng)計(jì)的知識(shí)，學(xué)生將其內(nèi)化為屬于自己的東西，構(gòu)建自己的知識(shí)體系，這才是初中統(tǒng)計(jì)與概率教學(xué)真正意義上的目的，從而形成學(xué)生對(duì)于社會(huì)現(xiàn)象的分析、對(duì)世界的認(rèn)識(shí)，這才是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)最核心的體現(xiàn).

對(duì)教學(xué)的啟示

結(jié)合上面對(duì)兩道中考試題的深入分析，我們發(fā)現(xiàn)一份中考試卷除了選拔功能之外，更大的意義是對(duì)來(lái)年中考方向的指引和對(duì)一線(xiàn)教學(xué)的指導(dǎo). 通過(guò)對(duì)一份試卷，甚至是一道題目的分析和反思，我們可以發(fā)現(xiàn)日常教學(xué)過(guò)程中存在的問(wèn)題，借助這樣的分析，可以進(jìn)一步加深自己對(duì)教學(xué)的認(rèn)知，形成自己的教學(xué)風(fēng)格或者教學(xué)主張. 特別是對(duì)初三教學(xué)和復(fù)習(xí)都有特別大的指導(dǎo)意義，比如通過(guò)對(duì)以上兩道概率與統(tǒng)計(jì)問(wèn)題的分析，我們可以發(fā)現(xiàn)日常教學(xué)中的方向.

1. 審題能力培養(yǎng)是關(guān)鍵

比如題目要求“請(qǐng)利用所學(xué)的統(tǒng)計(jì)知識(shí)幫他選擇，并說(shuō)明理由”，在閱卷過(guò)程中有部分學(xué)生使用一次函數(shù)求出解析式，根據(jù)解析式來(lái)回答問(wèn)題，他們忽略了“所學(xué)的統(tǒng)計(jì)知識(shí)”這樣關(guān)鍵性的界定. 目前初中階段所學(xué)統(tǒng)計(jì)知識(shí)基本包括：平均數(shù)、加權(quán)平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、極差、方差、各類(lèi)統(tǒng)計(jì)圖、樣本估計(jì)總體等.

2. 概念教學(xué)是重點(diǎn)

對(duì)于題目要求學(xué)生選擇合適的統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行說(shuō)明，很明顯考查學(xué)生對(duì)概念的理解，以及靈活應(yīng)用的能力. 平均數(shù)、加權(quán)平均數(shù)之間的區(qū)別和聯(lián)系，都需要在日常教學(xué)中讓學(xué)生真正理解其來(lái)龍去脈，弄清概念的內(nèi)涵和外延，而不僅僅是會(huì)背公式、背解題套路. 比如2018年福建中考第22題第（1）小問(wèn)求概率的問(wèn)題，在閱卷過(guò)程中發(fā)現(xiàn)一部分學(xué)生還是利用畫(huà)樹(shù)狀圖的方式來(lái)解決，為何會(huì)出現(xiàn)這種現(xiàn)象？背后傳遞出什么樣的信息？我們?cè)谌粘＝虒W(xué)過(guò)程中如何才能避免學(xué)生出現(xiàn)類(lèi)似的問(wèn)題呢？其實(shí)這些問(wèn)題都是非常有價(jià)值的，可以帶給我們一線(xiàn)教師很多的思考. 然后沿著這個(gè)思路深入去做研究，去做數(shù)據(jù)對(duì)比，就會(huì)發(fā)現(xiàn)我們的教學(xué)還有很多可為之處.

3. 計(jì)算能力培養(yǎng)不容忽視

學(xué)生計(jì)算能力不足的問(wèn)題在統(tǒng)計(jì)與概率題目中再一次凸顯出來(lái)，由于題目所給數(shù)據(jù)比較多，計(jì)算量比較大，很多學(xué)生計(jì)算能力不足的問(wèn)題就顯露無(wú)遺了. 反思教學(xué)，從初一“有理數(shù)”單元開(kāi)始，教師應(yīng)該如何教才能夠從源頭解決學(xué)生計(jì)算能力不足的問(wèn)題？比如在教學(xué)中很多“負(fù)負(fù)得正”這樣的結(jié)論，我們應(yīng)該如何正確解讀？是讓學(xué)生去背誦這樣的口訣，還是從算理、算法入手，從概念入手，讓學(xué)生經(jīng)由自己的閱讀，主動(dòng)獲取文本的信息，然后經(jīng)過(guò)內(nèi)在的加工，轉(zhuǎn)化為自己的語(yǔ)言進(jìn)行描述和表達(dá). 我們還發(fā)現(xiàn)學(xué)生運(yùn)算能力背后是對(duì)核心概念、算理、算法的理解和掌握.

4. 進(jìn)一步挖掘考題的潛在價(jià)值

對(duì)于2018年福建中考第22題值得一線(xiàn)教師進(jìn)一步挖掘其潛在的價(jià)值，由于本題所給出的數(shù)據(jù)較特殊，因此本題從平均數(shù)、眾數(shù)，或是中位數(shù)三種角度得到的結(jié)果都是選擇乙公司. 但在教學(xué)過(guò)程中我們可以引導(dǎo)學(xué)生從這三種不同的角度去解釋問(wèn)題時(shí)，仍需要從數(shù)據(jù)的實(shí)際意義去解釋. 比如詢(xún)問(wèn)學(xué)生，用這三個(gè)數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比，你認(rèn)為有什么不同？為什么用平均數(shù)來(lái)說(shuō)明比其他兩數(shù)更合適？為什么本題不能用方差來(lái)解釋?zhuān)客ㄟ^(guò)這樣的深入分析和反思，使學(xué)生對(duì)概念的理解進(jìn)一步加深，從而提升思維層次，取得更好的教學(xué)效果.

我們一直相信數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)必須在實(shí)際教學(xué)中才能真正得到落實(shí)，比如統(tǒng)計(jì)與概率是互聯(lián)網(wǎng)時(shí)代大數(shù)據(jù)背景下數(shù)學(xué)應(yīng)用的一個(gè)重要體現(xiàn)，數(shù)據(jù)分析已經(jīng)深入到現(xiàn)代社會(huì)的各個(gè)領(lǐng)域. 所以在日常教學(xué)活動(dòng)中，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)的形成過(guò)程中，要注重學(xué)生養(yǎng)成通過(guò)分析數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)規(guī)律，進(jìn)而解決問(wèn)題的習(xí)慣[3]. 特別是學(xué)生對(duì)于基本概念的理解，對(duì)于通過(guò)閱讀題目挖掘文本背后所隱含信息的能力的培養(yǎng)都是十分重要的，只有這樣我們才能真正做到通過(guò)數(shù)學(xué)培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)的目的.

參考文獻(xiàn)：

[1]丁耀星，段振富. “先學(xué)后導(dǎo)，合作探究”教學(xué)模式研究課題總結(jié)[J]. 中學(xué)教學(xué)參考， 2016（27）：6-8.

[2]中華人民共和國(guó)教育部. 義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）[M]. 北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

[3]段振富，劉曉艷.? 例談建立軸對(duì)稱(chēng)模型解決數(shù)學(xué)問(wèn)題[J]. 數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2014（1）：62-64.

基金項(xiàng)目：本文系福建省“十三五”第一批中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)帶頭人培養(yǎng)對(duì)象科研課題《基于核心素養(yǎng)的初中數(shù)學(xué)單元教學(xué)設(shè)計(jì)研究》階段性成果，立項(xiàng)編號(hào)：DTRSX2017012.

作者簡(jiǎn)介：段振富（1976-），教育碩士，中學(xué)一級(jí)教師，福州市骨干教師，從事中學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)模式、中學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)法指導(dǎo)、小初銜接專(zhuān)題研究等.