呂同林

摘 ? ?要：學(xué)習(xí)者的元認(rèn)知水平和能力是影響其深度理解數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)、領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想方法、探究問題解決策略以及發(fā)展數(shù)學(xué)思維的重要因素.從教學(xué)過程來看，元認(rèn)知能力的培養(yǎng)經(jīng)歷從“扶”到“放”、從“他控”到“自控”、從“外化”到“內(nèi)化”的過程;從育人目標(biāo)來看，教學(xué)活動(dòng)關(guān)注元認(rèn)知能力的培養(yǎng)，有利于學(xué)習(xí)者提升思維品質(zhì)、深化數(shù)學(xué)理解、形成數(shù)學(xué)核心素養(yǎng);從教學(xué)實(shí)踐來看，元認(rèn)知的能力培養(yǎng)可側(cè)重以下幾個(gè)方面：突出關(guān)聯(lián)策略，優(yōu)化學(xué)習(xí)品質(zhì);強(qiáng)化反思行為，促進(jìn)深度思考;關(guān)注主體意識(shí)，培育核心素養(yǎng).

關(guān)鍵詞：元認(rèn)知;數(shù)學(xué)理解;核心素養(yǎng)

培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)是當(dāng)前教育的重要目標(biāo).筆者在教學(xué)實(shí)踐中體會(huì)到，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的形成，離不開學(xué)習(xí)者的認(rèn)知水平和認(rèn)知能力.而學(xué)習(xí)者的元認(rèn)知水平和能力是影響其深度理解數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)、領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想方法、有效探究問題解決策略以及發(fā)展數(shù)學(xué)思維的重要因素.

一、元認(rèn)知內(nèi)涵

元認(rèn)知是由美國兒童心理學(xué)家弗拉威爾（J. H. Flavell）首先提出的.他把元認(rèn)知界定為反映或調(diào)節(jié)認(rèn)知活動(dòng)的任一方面的知識(shí)或認(rèn)知活動(dòng).具體地說，就是關(guān)于個(gè)人自己認(rèn)知過程的知識(shí)和調(diào)節(jié)這些過程的能力，即是對(duì)思維和學(xué)習(xí)活動(dòng)的知識(shí)和控制，是對(duì)思維活動(dòng)的自我體驗(yàn)、自我觀察、自我監(jiān)控和自我調(diào)節(jié).元認(rèn)知（也稱自我認(rèn)知）就是對(duì)認(rèn)知的認(rèn)知，是學(xué)習(xí)者認(rèn)知心理和認(rèn)知策略進(jìn)一步完善的過程，是完成有效認(rèn)知活動(dòng)的關(guān)鍵.從認(rèn)知的對(duì)象看，認(rèn)知的主體是知識(shí)，而元認(rèn)知的主體是認(rèn)知行為本身.從認(rèn)知的形式看，元認(rèn)知是一種高級(jí)的認(rèn)知活動(dòng)，是對(duì)學(xué)習(xí)活動(dòng)的控制和調(diào)節(jié).主要包括三個(gè)層面：一是元認(rèn)知知識(shí)（通過學(xué)習(xí)和體驗(yàn)積累起來的，關(guān)于認(rèn)知的陳述性知識(shí)和程序性知識(shí)）;二是元認(rèn)知監(jiān)控（認(rèn)知活動(dòng)中，目標(biāo)、計(jì)劃、實(shí)施步驟的明確，應(yīng)用策略選擇，結(jié)果預(yù)測;評(píng)價(jià)活動(dòng)及時(shí)反饋，方法、策略和目標(biāo)及時(shí)修正調(diào)整;評(píng)價(jià)策略的使用效果以及完成任務(wù)的程度;活動(dòng)結(jié)束后對(duì)結(jié)果的檢驗(yàn)，后續(xù)行動(dòng)方案或措施的改進(jìn)）;三是元認(rèn)知體驗(yàn)（認(rèn)知活動(dòng)中產(chǎn)生的認(rèn)知體驗(yàn)和情感體驗(yàn)）.研究表明：元認(rèn)知也指反思自己表現(xiàn)的能力……如果兒童對(duì)自己的學(xué)習(xí)能力缺乏洞察，幾乎不能期望他們制定計(jì)劃或做出有效的自我調(diào)節(jié).

因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，教師要引領(lǐng)學(xué)習(xí)者基于自身認(rèn)知特點(diǎn)，結(jié)合具體學(xué)習(xí)內(nèi)容和目標(biāo)，及時(shí)思考并預(yù)見學(xué)習(xí)途徑，改進(jìn)并優(yōu)化學(xué)習(xí)的方法和策略，反思學(xué)習(xí)過程，自我監(jiān)控、調(diào)節(jié)學(xué)習(xí)進(jìn)程和方法，在觀察、實(shí)驗(yàn)、分析、比較、猜想、論證、反思等環(huán)節(jié)，經(jīng)歷數(shù)學(xué)概念、法則、公式、性質(zhì)等知識(shí)的形成過程，建構(gòu)認(rèn)知、思考策略，領(lǐng)悟知識(shí)的本質(zhì)內(nèi)涵，掌握數(shù)學(xué)思想方法，完善學(xué)習(xí)方略，提升思維品質(zhì).此種做法其實(shí)就是發(fā)展元認(rèn)知能力的有效途徑.

二、元認(rèn)知實(shí)踐

（一）教學(xué)內(nèi)容：《圓周角》（九年級(jí)）

內(nèi)容解析：從知識(shí)角度來看，本節(jié)課有三方面學(xué)習(xí)內(nèi)容.一是圓周角的概念;二是圓周角定理及其證明;三是定理的應(yīng)用.它是繼圓及其相關(guān)概念、圓心角定理、垂徑定理后的又一重要內(nèi)容.深入理解圓周角概念、定理和推論為后續(xù)學(xué)習(xí)圓內(nèi)接三角形、四邊形以及圓內(nèi)相關(guān)量的計(jì)算、關(guān)系的論證等奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).從數(shù)學(xué)思想方法來看，定理內(nèi)容探索體現(xiàn)了“特殊到一般”思考路徑，定理的證明突出了分類討論的數(shù)學(xué)方法，體現(xiàn)“特殊到一般”“一般到特殊”以及“化未知為已知”的化歸策略.從學(xué)習(xí)策略來看，圓周角概念的形成過程，由頂點(diǎn)位置、弧的大小變化感受運(yùn)動(dòng)變化的意義和價(jià)值;圓周角定理的探索與圓心角、弧等元素進(jìn)行關(guān)聯(lián)，這種基于聯(lián)系的探索活動(dòng)讓學(xué)生的思考深刻而靈動(dòng)，并指向知識(shí)的內(nèi)核;定理證明的多樣化轉(zhuǎn)化策略有助于學(xué)習(xí)者自我控制、自我調(diào)節(jié)能力的發(fā)展，并促進(jìn)元認(rèn)知水平的攀升.

（二）教學(xué)目標(biāo)

（1）經(jīng)歷圓周角概念的形成過程，體驗(yàn)抽象、概括、精練的數(shù)學(xué)過程.

（2）與圓心角的性質(zhì)聯(lián)系，探索圓周角的性質(zhì)，感受類比遷移的數(shù)學(xué)方法，提升認(rèn)知水平.

（3）探索圓周角定理的證明，感悟特殊到一般、一般到特殊、未知到已知的思考、說理策略，深化思維品質(zhì)，完善思維結(jié)構(gòu).

（4）參與交流互動(dòng)、語言表征、作圖呈現(xiàn)、反思調(diào)控等活動(dòng)，促進(jìn)元認(rèn)知水平的發(fā)展.

目標(biāo)解析：基于元認(rèn)知發(fā)展的課堂教學(xué)目標(biāo)，不僅關(guān)注“四基”，還要聚焦元認(rèn)知能力的發(fā)展.在教學(xué)活動(dòng)中，既關(guān)注知識(shí)理解程度，又關(guān)注知識(shí)理解的方式和策略，不斷強(qiáng)化元認(rèn)知的訓(xùn)練，調(diào)節(jié)和修正認(rèn)知的策略，逐步深化數(shù)學(xué)理解，不斷提升思維品質(zhì).

（三）教學(xué)過程

1.關(guān)注聯(lián)系，學(xué)習(xí)新知

板塊1 圓周角概念探討

問題一 ? ①前面學(xué)習(xí)了與圓有關(guān)的哪種角？它是如何定義的？圓心角的關(guān)聯(lián)要素是什么？

②如圖1，B，C是⊙O上的兩點(diǎn)，畫出[BC]所對(duì)的圓心角.思考：[BC]所對(duì)角的頂點(diǎn)還可以在哪些位置？畫圖說明.

③能否選擇適當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)，對(duì)所畫的角進(jìn)行分類？試著給這幾類角起個(gè)合適的名稱.試著給這幾類角下個(gè)定義.

評(píng)析 ? 問題①回顧已有知識(shí)，關(guān)注圓心角的定義方式以及其所關(guān)聯(lián)的量.問題②關(guān)注作圖，形成圖形表征意識(shí)，并對(duì)所畫圖形相互補(bǔ)充完善.問題③學(xué)生的初始表征不一定標(biāo)準(zhǔn)、規(guī)范和完美，但在思維的碰撞中，呈現(xiàn)思考過程，說明道理和緣由，對(duì)思考和策略調(diào)控具有積極的意義和價(jià)值.這里從已有認(rèn)知出發(fā)，通過角的頂點(diǎn)位置變化，感受角與圓的關(guān)聯(lián)性.通過概念辨析深化圓周角認(rèn)識(shí)，形成合理的認(rèn)知.在概念的形成過程中，通過直觀感知、合情表達(dá)、優(yōu)化和調(diào)控認(rèn)知的過程，進(jìn)一步發(fā)展元認(rèn)知能力.

生5：從剛才的研討活動(dòng)得出，[BC]占圓周的四分之一，其所對(duì)的圓周角等于45°（圓心角的一半）.

……

師：剛才，幾位同學(xué)用不同的方式，從不同的角度，探索問題解決的策略，值得我們學(xué)習(xí).探索問題的解決方案，要緊扣已知條件和結(jié)論，分析它們之間的聯(lián)系，選擇適當(dāng)方法，架設(shè)橋梁，實(shí)現(xiàn)從已知到未知之間的轉(zhuǎn)化.

評(píng)析 ? 經(jīng)歷具體到抽象、特殊到一般的數(shù)學(xué)規(guī)律的探索過程;運(yùn)用觀察、實(shí)驗(yàn)、分類、歸納、猜想、計(jì)算、驗(yàn)證等方法揭示數(shù)學(xué)聯(lián)系和規(guī)律，把握數(shù)學(xué)本質(zhì)屬性;在自我判斷、自我選擇、自我調(diào)控等活動(dòng)中，提升認(rèn)知水平，發(fā)展元認(rèn)知能力，提升數(shù)學(xué)思辨能力，形成數(shù)學(xué)素養(yǎng).

3.反思研討，優(yōu)化策略

板塊3 ?圓周角定理證明（略）

圓周角定理的證明過程中有三個(gè)重要環(huán)節(jié)：一是分類別畫圖;二是分類別證明;三是圓周角所對(duì)的弧類別的研討.定理中的圖形為什么分三類？每一類畫怎樣的圖形？證明過程是各自獨(dú)立，還是相互聯(lián)系？轉(zhuǎn)化過程中，哪種先證？其他情況向哪個(gè)方向轉(zhuǎn)化？如何轉(zhuǎn)化？圓周角所對(duì)的弧又有哪些類別？其他情形，結(jié)論是否成立？如何證明？三類弧之間以哪一類為代表較為適當(dāng)？等等，無不包含豐富的元認(rèn)知能力.教學(xué)活動(dòng)聚焦監(jiān)察、預(yù)見、控制、調(diào)節(jié)、評(píng)價(jià)等元認(rèn)知要素，適當(dāng)引導(dǎo)，及時(shí)體驗(yàn)，逐步實(shí)現(xiàn)“他控”到“自控”、“外化”向“內(nèi)化”的轉(zhuǎn)變，讓元認(rèn)知發(fā)展貫穿于學(xué)習(xí)的過程，完善思維品質(zhì)，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng).

三、實(shí)踐感悟

心理學(xué)認(rèn)為，人的認(rèn)知水平?jīng)Q定了思維層次，元認(rèn)知的能力決定了思維的高度.我們倡導(dǎo)：數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)，關(guān)注認(rèn)知途徑、優(yōu)化學(xué)習(xí)策略、調(diào)控學(xué)習(xí)過程、發(fā)展元認(rèn)知能力，以此完善思考路徑、提升思維品質(zhì)、深化數(shù)學(xué)理解.從實(shí)踐來看，元認(rèn)知能力的培養(yǎng)要著力關(guān)注以下幾個(gè)方面.

（一）突出關(guān)聯(lián)策略，優(yōu)化學(xué)習(xí)品質(zhì)

元認(rèn)知的核心是對(duì)自己的認(rèn)知行為實(shí)施監(jiān)控和調(diào)整.如何監(jiān)控、向什么方向調(diào)整都需要學(xué)習(xí)者儲(chǔ)藏一定的知識(shí)、方法以及多維度、多層次分析問題、解決問題的策略.數(shù)學(xué)具有較強(qiáng)的整體性、聯(lián)系性、層次性、邏輯性、抽象性等特征.知識(shí)之間、結(jié)構(gòu)之間、方法之間、表征形式等方面都存在一定的關(guān)聯(lián)性.在教學(xué)活動(dòng)中，適時(shí)引導(dǎo)學(xué)生開展關(guān)聯(lián)活動(dòng)，豐富思考策略，積累思維經(jīng)驗(yàn)，建構(gòu)調(diào)控所需的資源庫.

與生活現(xiàn)象關(guān)聯(lián)，經(jīng)歷觀察、分析、抽象、類比、猜想、歸納、驗(yàn)證等活動(dòng)，生成數(shù)學(xué)概念，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律，建構(gòu)數(shù)學(xué)模型，形成數(shù)學(xué)原理;與前置關(guān)聯(lián)，逐步推演，厘清數(shù)學(xué)生長脈絡(luò)，形成數(shù)學(xué)思考鏈條;與相似結(jié)構(gòu)關(guān)聯(lián)，明晰異同，形成新的結(jié)構(gòu)圖式;關(guān)注多元表征，形成多維理解，讓思考靈動(dòng)自然.“這個(gè)內(nèi)容，讓我想起什么？”“此特點(diǎn)與哪個(gè)規(guī)律相像？”“這一內(nèi)容還可以通過什么形式表達(dá)？”“回到基本概念（原點(diǎn)）去思考有什么發(fā)現(xiàn)？”……經(jīng)歷這些思考，不斷監(jiān)察、體驗(yàn)、調(diào)控認(rèn)知行為，逐步從“他控”走向“自控”，改進(jìn)學(xué)習(xí)行為，豐富學(xué)習(xí)策略，完善學(xué)習(xí)品質(zhì).

（二）經(jīng)歷反思活動(dòng)，促進(jìn)深度思考

波利亞注重解題后的“回顧”——反思環(huán)節(jié).“你能否檢驗(yàn)這個(gè)結(jié)論？”“你能否用別的方法導(dǎo)出這個(gè)結(jié)果？”“你能不能將這個(gè)結(jié)果或方法用于其他問題？”這是策略優(yōu)化調(diào)控重要一環(huán);“你能不能一下子看出問題的解？”這是培養(yǎng)解題者的“題感”，實(shí)際是對(duì)問題的敏感，是一種解題元認(rèn)知的體驗(yàn).心理學(xué)的基本研究方法：“內(nèi)省”即自我觀察法，它是元認(rèn)知能力培養(yǎng)的重要策略.

學(xué)習(xí)活動(dòng)中的反思行為，不能僅僅局限于解題活動(dòng).數(shù)學(xué)概念的形成、公式規(guī)律的歸納、問題的分析和解決、轉(zhuǎn)化類比策略思考等一切數(shù)學(xué)活動(dòng)，凡涉及元認(rèn)知活動(dòng)的方面都應(yīng)自覺地進(jìn)行“內(nèi)省”.“這樣的過程合理嗎？”“有無其他策略？”“哪種方法簡便易行？”“能否換一種方式表述？”“這樣的探索路徑是否可以用于其他問題的探索？”“其與相似內(nèi)容有哪些不同之處？”“應(yīng)用環(huán)節(jié)要注意什么？”“運(yùn)用它可以解決哪些問題？”……教學(xué)活動(dòng)不斷引領(lǐng)反思行為，從內(nèi)容到方法、從如何思到思的全面性、從方法的合理性到結(jié)論的完備性等方面逐步發(fā)展批判性思維能力.由“他化”逐步走向“內(nèi)化”，促進(jìn)探索活動(dòng)的深入，深化數(shù)學(xué)思考，持續(xù)提升元認(rèn)知的發(fā)展水平.

（三）關(guān)注主體意識(shí)，培植核心素養(yǎng)

元認(rèn)知水平是學(xué)習(xí)者對(duì)自身認(rèn)知的反思和調(diào)整能力.初中學(xué)生元認(rèn)知能力的培養(yǎng)需要堅(jiān)持不懈地進(jìn)行訓(xùn)練，尤其要突出學(xué)習(xí)者主體參與意識(shí)的培養(yǎng).由“扶”到“放”，通過教者的“外化提示”、學(xué)生的“出聲思維”“自我提示”等訓(xùn)練活動(dòng)，逐步走向行動(dòng)的自覺.多關(guān)注“為什么？”“怎么辦？”“為什么這樣辦？”“怎樣辦最佳？”等思維活動(dòng)，逐步引領(lǐng)學(xué)習(xí)者獨(dú)立分析、探索、實(shí)踐、質(zhì)疑、創(chuàng)造，適時(shí)監(jiān)察、調(diào)控認(rèn)知行為，深化數(shù)學(xué)理解.營造交流互動(dòng)氛圍，相互學(xué)習(xí)，相互促進(jìn)，自我糾錯(cuò)，自我改進(jìn);積極鼓勵(lì)策略的多樣化、個(gè)性化，激活創(chuàng)新潛質(zhì).

蘇霍姆林斯基說過：“我要關(guān)注的是，讓我所培育的每一個(gè)孩子都成長為會(huì)思考、會(huì)探索的有智慧的人，讓認(rèn)識(shí)過程的每一步都使心靈變得更高尚，使意志煉得更堅(jiān)強(qiáng).”“立德樹人”是教育的根本任務(wù).數(shù)學(xué)教師應(yīng)在整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，引導(dǎo)學(xué)習(xí)者關(guān)注學(xué)習(xí)狀態(tài)，突出活動(dòng)策略，調(diào)控認(rèn)知過程，經(jīng)歷元認(rèn)知體驗(yàn)，以此促進(jìn)學(xué)習(xí)者“用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，用數(shù)學(xué)的思維分析世界，用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)世界”良好品質(zhì)的形成.