姬梁飛

摘 ? ?要：化歸思想不是一成不變的，它是發(fā)展的、創(chuàng)新的.隨著教育條件和學(xué)習(xí)環(huán)境的變化，它的教育形態(tài)是升華的、多元的、趣味的、易親近的.教師應(yīng)該研究化歸思想的意境與魅力，運(yùn)用教育智慧和教學(xué)邏輯去自然綻放其在應(yīng)用過程中的思維形態(tài).

關(guān)鍵詞：化歸思想;數(shù)學(xué)知識(shí);教育形態(tài);數(shù)學(xué)思維

一般地，數(shù)學(xué)界將數(shù)學(xué)知識(shí)的存在形式分為原始形態(tài)、學(xué)術(shù)形態(tài)及教育形態(tài).原始形態(tài)的知識(shí)被認(rèn)為是客觀的、稚嫩的、尚待完善的，學(xué)術(shù)形態(tài)的知識(shí)被認(rèn)為是美麗的、高貴的、冰冷的.國際數(shù)學(xué)教育委員會(huì)前主席H.弗賴登塔爾曾評論道，任何一種數(shù)學(xué)思想的公開發(fā)表形式均非是它當(dāng)初被發(fā)現(xiàn)時(shí)的模樣，一旦它被作為解決問題的工具時(shí)，就相應(yīng)地發(fā)展成某種形式化的技巧，至于它的求解與發(fā)現(xiàn)過程則被漠視在一邊，使得火熱的發(fā)明變成冰冷的美麗[1].教育形態(tài)的數(shù)學(xué)知識(shí)是知識(shí)在教育環(huán)境下所呈現(xiàn)的形態(tài)，也是需要教育工作者進(jìn)行轉(zhuǎn)化的知識(shí)形式.張奠宙教授曾主張將數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)術(shù)形態(tài)轉(zhuǎn)換為教育形態(tài)，并作為數(shù)學(xué)教學(xué)的基本目標(biāo)之一[2].他認(rèn)為，學(xué)術(shù)形態(tài)的數(shù)學(xué)往往表現(xiàn)成一種冰冷的美麗，教育形態(tài)的數(shù)學(xué)卻是一種火熱的思考[3].化歸是轉(zhuǎn)化和歸結(jié)的合稱，它是一種思維方法，是提升學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的利器.化歸思想的構(gòu)建與完善經(jīng)歷了原始形態(tài)和學(xué)術(shù)形態(tài)，數(shù)學(xué)教育工作者的職責(zé)是把它的學(xué)術(shù)形態(tài)轉(zhuǎn)換為合適的教育形態(tài).重視教育語言與學(xué)術(shù)語言的表述差異、教育形態(tài)與學(xué)術(shù)形態(tài)的知識(shí)功能差異、學(xué)生與教師的思維層次差異.教師需要引導(dǎo)學(xué)習(xí)主體深刻理解隱藏“冰冷美”背后的知識(shí)本質(zhì)和思維過程，讓化歸思想的“冰冷的美麗”回歸于學(xué)習(xí)者的“火熱思考”，用教育智慧和邏輯去表達(dá)與轉(zhuǎn)化，充分暴露化歸思想形成的思維形態(tài).本文謹(jǐn)從化歸思想在數(shù)學(xué)應(yīng)用中的五種思維形態(tài)入手，闡釋化歸思想在應(yīng)用中的一般路徑.

一、從合情推理到公理系統(tǒng)的演繹

思維的推演離不開化歸思想，邏輯系統(tǒng)是數(shù)學(xué)中應(yīng)用化歸思想比較顯著和高度集中的一個(gè)板塊.早期，人們根據(jù)已有的事實(shí)或問題，通過觀察、分析、聯(lián)想、比較得到一些合乎情理的推理論斷，這種推演方法主要是類比和歸納，也統(tǒng)稱為合情推理.例如，類比平面直角三角形中的勾股定理（a2+b2=c2），推演出空間直角四面體的性質(zhì)，即三個(gè)直角面的面積平方和之和等于斜面的面積平方（S12+S22+S32=S2）.這些推理過程借助化歸思維，將三維空間“降維”為二維空間，用二維空間圖形性質(zhì)類推立體圖形性質(zhì).演繹推理是從已知的一般原理出發(fā)，推出研究對象在某種特殊情況下具有的性質(zhì)，帶有拋磚引玉、借古諷今、以舊引新的意蘊(yùn).波利亞曾指出“合情推理是冒險(xiǎn)的、有爭議的、暫時(shí)的”.事實(shí)上，演繹推理，既要有合情推理的成分，又要有論證推理的證明.后來，歐幾里得利用演繹推理將《原本》轉(zhuǎn)化為一個(gè)典型的邏輯系統(tǒng)，用盡可能少的原始概念和不需證明的原始公設(shè).這種公理化方法在數(shù)學(xué)發(fā)展史上具有豐碑式的不朽價(jià)值，它基本上完善了初等幾何理論體系，此后這種公理化方法被迅速應(yīng)用到社會(huì)科學(xué)和自然科學(xué)領(lǐng)域.正如波利亞所言，歐幾里得幾何不僅是一個(gè)公理系統(tǒng)，而且是此類系統(tǒng)中的第一個(gè)，也是最了不起的一個(gè)，其他科學(xué)領(lǐng)域已經(jīng)而且至今都在努力模仿[4].

化歸思想是如何滲透其中的呢？首先，化歸方法有助于幾何學(xué)研究對象的確立.幾何學(xué)的研究內(nèi)容繁多，需要通過化歸方法將煩瑣的幾何要素歸結(jié)為最普遍情形予以考察.研究幾何問題，只需抓住幾何研究要素中的本質(zhì)特征，即研究對象：點(diǎn)、線、面.其次，公理系統(tǒng)的建立需將系列的、具體的事實(shí)概括、轉(zhuǎn)化、歸結(jié)為一般公設(shè)、公理.從這些公設(shè)、公理出發(fā)，超越事物的具體表象，尋求幾何世界里的普遍規(guī)律，利用化歸與演繹方法，將公理、公設(shè)逐步推演出467條定理.最后，化歸思想促進(jìn)歐氏幾何公理系統(tǒng)的不斷完善.在認(rèn)識(shí)世界的過程中，人們通過觀察、實(shí)驗(yàn)、推理等方式獲得知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，這些經(jīng)驗(yàn)的真理性、完備性、相容性都需要得到檢驗(yàn)和辨別.從邏輯結(jié)構(gòu)上看，初等幾何理論作為一個(gè)封閉的演繹體系，從基本假設(shè)演繹出眾多復(fù)雜的結(jié)論，從一般原理到特殊問題的推理，這些結(jié)論和推理都需要經(jīng)過嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明，而證明思路的發(fā)現(xiàn)、構(gòu)建、實(shí)施，除了必要的邏輯規(guī)則外，較大程度上還需依賴于基本的數(shù)學(xué)思想方法，尤其是化歸方法.通過化歸方法的輔助證明，幾何公理系統(tǒng)更加條理化、系統(tǒng)化，走向相容和完備，最終趨于成熟和完善.

二、從具體表征到數(shù)學(xué)抽象的歸結(jié)

從哲學(xué)角度看，表象與本質(zhì)是人們研究事物外部表現(xiàn)和內(nèi)部聯(lián)系的一對辯證法概念.表象是事物外部的具體表現(xiàn)，本質(zhì)是事物內(nèi)在的根本屬性，兩者是辯證統(tǒng)一的，表象反映本質(zhì)，本質(zhì)決定事物的內(nèi)涵和發(fā)展趨向.在實(shí)踐中，需要去粗取精、去偽存真、由此及彼、由表及里，最后實(shí)現(xiàn)從現(xiàn)象到本質(zhì)、從不深刻到更深刻的無限過程[5].從心理學(xué)角度看，事物表征分為表象、圖式以及認(rèn)知地圖.一方面它代表著客觀事物形態(tài)，并反映客觀事物的特征.另一方面，它是外界事物在人們心理活動(dòng)中的再現(xiàn)，是人們心理活動(dòng)需要持續(xù)加工、建構(gòu)的目標(biāo)對象.轉(zhuǎn)化思想在具體表征和數(shù)學(xué)抽象之間的轉(zhuǎn)換有雙層內(nèi)涵.具體來說，有兩種體現(xiàn)，以無限觀為基礎(chǔ)的極限論和以坐標(biāo)系為基礎(chǔ)的數(shù)形互化.

綜上所述，研究化歸思想的思維形態(tài)有利于優(yōu)化數(shù)學(xué)知識(shí)的教育形態(tài)，升華數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)術(shù)形態(tài)，將數(shù)學(xué)知識(shí)真正轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)能力、數(shù)學(xué)素養(yǎng)，將隱藏在“冰冷的美麗”背后的數(shù)學(xué)本質(zhì)、數(shù)學(xué)思維呈現(xiàn)出來.化歸思維也能夠引發(fā)學(xué)生的合情思考，領(lǐng)會(huì)知識(shí)的來龍去脈，提升學(xué)生探求知識(shí)的愿望，這種愿望才是他們持久學(xué)習(xí)的內(nèi)驅(qū)力.

參考文獻(xiàn)：

[1]FREUDENTHAL H. Didactical phenomenology of mathematical structures[M]. Dordrecht： Reidel， 1983： 9.

[2]張奠宙.關(guān)于數(shù)學(xué)知識(shí)的教育形態(tài)[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2001（5）：2.

[3]張奠宙，王振輝.關(guān)于數(shù)學(xué)的學(xué)術(shù)形態(tài)和教育形態(tài)——談“火熱的思考”與“冰冷的美麗”[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2002（2）：1-4.

[4]波利亞.怎樣解題：數(shù)學(xué)思維的新方法[M]. 涂泓，馮承天，譯.上海：上?？萍冀逃霭嫔?，2011：198.

[5]列寧.列寧全集（第38卷）[M].中共中央馬克思恩格斯列寧斯大林著作編譯局，編譯.北京：人民出版社，1986：239.

[6]徐利治.論無限——無限的數(shù)學(xué)與哲學(xué)[M].大連：大連理工大學(xué)出版社，2018：14-29.