張 果，曹立佳，盧天秀

(1．四川輕化工大學(xué)a．自動(dòng)化與信息工程學(xué)院;b．?dāng)?shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，四川 自貢 643000;2．四川省智慧旅游研究基地，四川 自貢 643000)

引 言

四旋翼無人機(jī)在控制臺(tái)的控制命令下，可以進(jìn)行垂直起降、空中懸停、橫向飛行等動(dòng)作，可以用很小的代價(jià)完成各項(xiàng)任務(wù)，具有很強(qiáng)的實(shí)用性，如用于近地軍事偵查、影視拍攝、甚至快遞業(yè)務(wù)等［1］。四旋翼無人機(jī)作為一個(gè)典型的多輸入、多輸出、欠驅(qū)動(dòng)、強(qiáng)耦合的非線性系統(tǒng)［2］，其控制算法在市場(chǎng)中大多數(shù)為PID 控制，而研究最為廣泛的是在李雅普諾夫穩(wěn)定性分析基礎(chǔ)上的各類控制算法，如自適應(yīng)控制算法、魯棒控制算法、最優(yōu)控制算法、滑膜控制算法。近來，基于連續(xù)介質(zhì)力學(xué)和微分幾何的收縮理論被用作最新的非線性系統(tǒng)收斂性分析方法，其核心增量穩(wěn)定性分析不需要確定系統(tǒng)的平衡點(diǎn)。相對(duì)于李雅普諾夫穩(wěn)定受擾動(dòng)后會(huì)產(chǎn)生平衡點(diǎn)位移的情況，由于不需要確定系統(tǒng)的平衡點(diǎn)，基于微分分析的收縮理論依然可以對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行穩(wěn)定性分析，給控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)帶來了很大便利。在李雅普諾夫方法的研究中，文獻(xiàn)［3］針對(duì)固定翼無人機(jī)的姿態(tài)和速度控制中存在不確定和外部擾動(dòng)的問題，設(shè)計(jì)自適應(yīng)超螺旋滑模干擾觀測(cè)器和控制器，實(shí)現(xiàn)了固定翼無人機(jī)對(duì)速度指令和姿態(tài)指令的有限時(shí)間精確跟蹤。文獻(xiàn)［4］建立了無人機(jī)巡檢過程的飛行運(yùn)動(dòng)及優(yōu)化控制模型，以滿足無人機(jī)巡檢的約束條件，并提出了魯棒自適應(yīng)容錯(cuò)控制算法。反步法是一種針對(duì)嚴(yán)反饋系統(tǒng)，通過分步構(gòu)造虛擬控制量，以滿足系統(tǒng)鎮(zhèn)定的控制方法，文獻(xiàn)［5］考慮了四旋翼飛行器模型參數(shù)不確定和陣風(fēng)干擾的情況，設(shè)計(jì)了一種自適應(yīng)積分反步(Integral Backstepping，IB) 控制方法。文獻(xiàn)［6］受收縮理論的啟發(fā)，設(shè)計(jì)了一種動(dòng)態(tài)解耦非線性系統(tǒng)的魯棒分布式模型預(yù)測(cè)控制。對(duì)于收縮理論的研究，文獻(xiàn)［7］使用收縮理論解決了一類同步動(dòng)態(tài)系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)的同步問題。文獻(xiàn)［8］提出了一種基于收縮理論指數(shù)穩(wěn)定性的自動(dòng)列車執(zhí)行器飽和自適應(yīng)魯棒控制方法。文獻(xiàn)［9］利用收縮理論討論了水下航行器的增量穩(wěn)定性。文獻(xiàn)［10］針對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)或未知量估計(jì)問題，使用收縮理論做了狀態(tài)估計(jì)設(shè)計(jì)。文獻(xiàn)［11］使用收縮分析對(duì)非線性隨機(jī)系統(tǒng)觀測(cè)器的增量穩(wěn)定性進(jìn)行了討論。文獻(xiàn)［12］使用滑模變結(jié)構(gòu)控制(SMVSC) 方法實(shí)現(xiàn)了固定翼無人機(jī)的期望軌跡跟蹤。文獻(xiàn)［13］提出了一種基于積分型的反步控制方法應(yīng)用于四旋翼飛行器的穩(wěn)定飛行及軌跡跟蹤控制。文獻(xiàn)［14］針對(duì)一類不確定非線性參數(shù)嚴(yán)反饋系統(tǒng)，提出基于收縮理論的自適應(yīng)動(dòng)態(tài)面控制方法。然而，現(xiàn)有文獻(xiàn)對(duì)飛行器系統(tǒng)控制器的設(shè)計(jì)大多使用李雅普諾夫方法，考慮到平衡點(diǎn)位移的情況與構(gòu)造能量函數(shù)時(shí)的復(fù)雜性，李雅普諾夫方法在調(diào)節(jié)參數(shù)時(shí)有一定難度，而收縮分析無需求解系統(tǒng)平衡點(diǎn)，滿足雅克比矩陣負(fù)定條件就能調(diào)節(jié)參數(shù)，給控制器的設(shè)計(jì)帶來很大便利。本文將收縮理論應(yīng)用于復(fù)雜四旋翼飛行器系統(tǒng)，提出了一種收縮反步(Contraction Backstepping，CB) 控制算法，并對(duì)其增量穩(wěn)定性與李雅普諾夫穩(wěn)定性進(jìn)行對(duì)比分析，證明了控制器的合理性。

1 收縮理論基本原理

考慮平滑非線性系統(tǒng)

其中，狀態(tài)x 的軌跡隨時(shí)間的指數(shù)收斂性可用虛擬位移進(jìn)行分析，虛擬位移表示空間中同一時(shí)刻兩個(gè)點(diǎn)之間的線性微小增量，記作δx，對(duì)δx 進(jìn)行坐標(biāo)變換得:

其中，Ω(x，t) 為一致逆方陣，定義表示黎曼空間的度量一致對(duì)稱鎮(zhèn)定矩陣P = ΩTΩ，那么由微分幾何知識(shí)可得，變換后的軌跡平方距離為:

該距離隨時(shí)間的變化率可寫為:

其中，λmax表示矩陣F 對(duì)稱部分的最大特征值，計(jì)算可得:

其中，δz0表示初始狀態(tài)的虛擬位移，如果λmax是一致嚴(yán)格負(fù)定的，那么δz 指數(shù)收斂于0。

若方程(1) 受到有界擾動(dòng)d(x，t) ，即有:

在二階閉環(huán)系統(tǒng)的收縮分析中，采用反饋聯(lián)接方式的虛擬位移可表示為:

當(dāng)且僅當(dāng)每個(gè)子系統(tǒng)收縮時(shí)，整個(gè)系統(tǒng)是收縮的。

2 四旋翼飛行器動(dòng)力學(xué)模型

四旋翼飛行器可看作是一個(gè)具有六個(gè)自由度和四個(gè)輸入項(xiàng)的欠驅(qū)動(dòng)剛體，其推力由四個(gè)螺旋槳產(chǎn)生，可通過指令控制四個(gè)螺旋槳以使無人機(jī)保持一定的姿態(tài)并跟隨所需的航路飛行，如圖1 所示。

圖1 四旋翼飛行器

四旋翼飛行器的動(dòng)力學(xué)方程表示為:

其中，Ix、Iy、Iz為慣性矩陣，是飛行器空氣動(dòng)力中外力和扭矩重要參數(shù); b 表示阻力系數(shù); d 為升力系數(shù); m 為無人機(jī)質(zhì)量; g 為重力加速度; l 為機(jī)臂的長(zhǎng)度; Jr為轉(zhuǎn)子慣量;為滾轉(zhuǎn)角，θ 為俯仰角，ψ 為偏航角; x、y 為固定x －y 平面上的無人機(jī)質(zhì)心坐標(biāo)，z 為高度; ωi(i = 1，2，3，4) 為四旋翼無人機(jī)的四個(gè)旋轉(zhuǎn)角速度，與對(duì)應(yīng)的四個(gè)輸入項(xiàng)Ui關(guān)系可表示為:

3 收縮反步控制

3.1 控制策略

本文的采用雙環(huán)控制策略，如圖2 所示，外環(huán)位置真實(shí)值與期望值作差，解算出控制高度的輸入項(xiàng)與水平位置輸入項(xiàng)，反解出期望的姿態(tài)角后進(jìn)入內(nèi)環(huán)姿態(tài)控制，解算出控制姿態(tài)的輸入項(xiàng)。

3.2 控制器設(shè)計(jì)

其中，

圖2 雙回路控制結(jié)構(gòu)框圖

該子系統(tǒng)的虛擬位移可表示為:

其中，雅克比矩陣J11表示為:

為保證雅克比矩陣J11一致負(fù)定，虛擬控制輸入β1() 可選擇為:

其中，k7＞0。誤差動(dòng)力學(xué)可縮減為:

對(duì)z1求導(dǎo)后將式(15) 和式(16) 帶入可得:

因此，式(16) 和式(17) 的虛擬位移狀態(tài)空間形式可表示為:

為保證z1的收斂性，同時(shí)形成反饋聯(lián)接，需滿足J12= －J21，并且J22＜0，即:

控制器U2可選擇為:

其中，k8＞k7。

同理，四旋翼飛行器系統(tǒng)(9) 的飛行器高度控制器U1以及姿態(tài)控制器U3、U4表示為:

其中，zd、d、θd、d 為期望值，k5～k12為控制增益。在反解模塊中，可以通過水平控制器來推算四旋翼飛行器

則水平方向上的子系統(tǒng)可改寫為:

根據(jù)式(24) 可推導(dǎo)出滿足收縮增量穩(wěn)定性的控制器:

其中，kx1、kx2、ky1、ky2為控制增益。

3.3 穩(wěn)定性分析

將控制輸入U(xiǎn)2帶入虛擬位移系統(tǒng)(18) ，其閉環(huán)反饋聯(lián)接的形式可表示為:

那么λmax(J) = －k7∨(2k7－k8+1) ，顯然存在k7、k8使λmax(J) 一致嚴(yán)格負(fù)定，使δe →0、δz1→0。

為進(jìn)一步說明由收縮分析設(shè)計(jì)的控制器是合理的，下面使用李雅普諾夫方法驗(yàn)證式(11) 平衡點(diǎn)穩(wěn)定性。將式(21) 帶入式(11) 得:

其中:

式(28) 狀態(tài)空間形式可寫為:

然后在系統(tǒng)的平衡點(diǎn)處求解方程

在Matlab 中，令k7= 1 ，k8= 3，輸入命令P=lyap(A’，I) ，進(jìn)一步，由eig(P) 給出矩陣的特征值:

由此可以證明系統(tǒng)在平衡點(diǎn)也是李雅普諾夫漸進(jìn)穩(wěn)定的。

4 計(jì)算機(jī)仿真實(shí)驗(yàn)

本文實(shí)驗(yàn)仿真平臺(tái)為MATLAB?？紤]四旋翼無人機(jī)在無干擾環(huán)境中飛行，選取仿真步長(zhǎng)τ = 0．01，設(shè)定的期望軌跡為:

四旋翼無人機(jī)參數(shù)見表1，各控制器的相關(guān)參數(shù)見表2。

表1 四軸飛行器參數(shù)

表2 控制器相關(guān)參數(shù)

在表1 和表2 給出的參數(shù)條件下，應(yīng)用積分反步方法與收縮反步方法設(shè)計(jì)的控制器，仿真效果如圖3 ～圖7 所示，其中實(shí)線所示為積分反步方法的結(jié)果，虛線所示為收縮反步方法的結(jié)果。

飛行器在水平方向x、y 和豎直方向z 的位置誤差如圖3 所示。

由圖3 可知:運(yùn)用收縮反步方法，飛行器在x、y 方向上的位置誤差波動(dòng)更小(約為積分反步方法的四分之一) ;運(yùn)用收縮反步方法，飛行器在z 方向上位置誤差幾乎為零，遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于積分反步方法的誤差。因此，從位置誤差上看，用收縮反步方法能較好地進(jìn)行飛行器跟蹤。

飛行器的俯仰角θ，滾轉(zhuǎn)角φ 和偏航角ψ 及其誤差如圖4 和圖5 所示。

圖3 飛行器的位置誤差曲線

圖4 飛行器的姿態(tài)角

圖5 飛行器的姿態(tài)角誤差

飛行器的直觀運(yùn)動(dòng)軌跡的仿真結(jié)果如圖6 和圖7所示，其中，圖6 為三維運(yùn)動(dòng)軌跡(立體顯示) ，圖7 為俯視運(yùn)動(dòng)軌跡(平面顯示) 所示。

圖6 三維軌跡

圖7 俯視軌跡

由圖6 和圖7 可知，應(yīng)用收縮反步方法設(shè)計(jì)的控制器，飛行器的三維運(yùn)動(dòng)軌跡與期望值相差不大，飛行器的俯視運(yùn)動(dòng)軌跡與期望值幾乎完全重合。

此外，從圖3 和圖5 可知，對(duì)比于積分反步法，采用收縮反步法的飛行器接近期望軌跡消耗的時(shí)間更少，控制效果更穩(wěn)定，狀態(tài)誤差更小，尤其在高度位置z 的跟蹤上尤為明顯。從圖4 ～圖7 的仿真結(jié)果來看，應(yīng)用本文提出的收縮反步控制算法，飛行器飛行更加穩(wěn)定，軌跡跟蹤性能更強(qiáng)。

對(duì)于輸入信號(hào)的仿真，飛行器的控制輸入如圖8 所示，四旋翼的電機(jī)轉(zhuǎn)速如圖9 所示。

由圖8 和圖9 可知，運(yùn)用收縮反步方法得到的電機(jī)轉(zhuǎn)速?zèng)]有超過飛行器實(shí)際可承受的電機(jī)轉(zhuǎn)速的范圍，即，對(duì)飛行器的物理性能要求在可行范圍之內(nèi)。

5 結(jié)束語(yǔ)

圖8 飛行器的控制輸入

圖9 飛行器的電機(jī)轉(zhuǎn)速

在研究收縮理論的基礎(chǔ)上，完成了對(duì)于多輸入多輸出四旋翼無人機(jī)的控制器設(shè)計(jì)。對(duì)比于IB 控制算法，本文提出的收縮反步控制能實(shí)現(xiàn)狀態(tài)的快速收斂，穩(wěn)態(tài)誤差更小。由于應(yīng)用反步控制技術(shù)，控制器設(shè)計(jì)受到系統(tǒng)嚴(yán)格反饋的限制，后續(xù)的研究將對(duì)其增量穩(wěn)定性進(jìn)行分析，討論模型在參數(shù)不確定、有外部干擾的條件下的自適應(yīng)控制器的設(shè)計(jì)方法。