賀舞燕 魯建橋

[摘? 要] 用運(yùn)動(dòng)、變化的觀點(diǎn)認(rèn)識(shí)全等圖形，有助于學(xué)生感悟圖形變換的價(jià)值和發(fā)展圖形變換的意識(shí).對(duì)于“全等三角形”這一課，文章立意于圖形變換，在反復(fù)研課與反思的基礎(chǔ)上，不斷地對(duì)該課教學(xué)進(jìn)行重構(gòu)與實(shí)踐.

[關(guān)鍵詞] 圖形變換;全等三角形;教學(xué)方法;案例分析

圖形變換是幾何學(xué)的重要內(nèi)容，它描述的是圖形的變換方式和變換前后兩個(gè)圖形的關(guān)系. 圖形變換具有使孤立的、離散的條件相互溝通的作用，它是解決幾何問(wèn)題的重要思想方法.兩個(gè)全等圖形可以看成是由一個(gè)圖形通過(guò)變換得到另一個(gè)圖形，用變化、運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)認(rèn)識(shí)全等圖形，有助于學(xué)生感悟圖形變換的價(jià)值和發(fā)展圖形變換的意識(shí).

環(huán)節(jié)1：體驗(yàn)全等圖形，明確方向

師：同學(xué)們注意過(guò)嗎，生活中有許多形狀和大小都相同的圖形.例如，圖1、圖2、圖3、圖4中的各對(duì)圖形.這樣的各對(duì)圖形有何特點(diǎn)？本節(jié)課一起來(lái)探究這個(gè)問(wèn)題. （揭示課題并板書(shū)）

環(huán)節(jié)2：定義全等三角形，形成概念

師：現(xiàn)在請(qǐng)同學(xué)們把圖1中的兩個(gè)圖形剪下來(lái)，并把它們疊在一起.問(wèn)：同學(xué)們能發(fā)現(xiàn)什么？（圖形課前發(fā)給學(xué)生）

師：好的. 圖2中左邊的圖形做怎樣的運(yùn)動(dòng)能使它與右邊的圖形完全重合？

生1：左邊的圖形先按順時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)一下，再向右平移.

師：不錯(cuò).那么圖3和圖4呢？

生2：這兩個(gè)圖形能重合.

師：要使這兩個(gè)圖形能重合，其重合的方法是什么？

生3：相對(duì)應(yīng)的點(diǎn)要放一起.

師：同學(xué)們還能舉出類似這樣的生活中的例子嗎？

生4：半徑相同的兩個(gè)圓.

生5：我手中的30度、60度、90度的三角板和張亮手中的相同角度的三角板.

生6：電腦中復(fù)制粘貼前后的兩幅圖片……

師：同學(xué)們說(shuō)得非常好.一般地，能完全重合的兩個(gè)圖形叫作全等圖形.特別地，能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫作全等三角形.

師：兩個(gè)全等三角形重合時(shí)，能互相重合的頂點(diǎn)叫作全等三角形的對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，互相重合的邊叫作全等三角形的對(duì)應(yīng)邊，互相重合的角叫作全等三角形的對(duì)應(yīng)角.

師：為便于書(shū)寫，用符號(hào)“≌”來(lái)表示全等.“∽”可理解為形狀相同;“=”可理解為大小一樣.例如，△ABC和△A′B′C′全等，可記作“△ABC≌△A′B′C′”，讀作“三角形ABC全等于三角形A′B′C′”.一般地，用符號(hào)“≌”來(lái)表示兩個(gè)三角形全等時(shí)，通常把對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的字母寫在對(duì)應(yīng)位置上.

師：圖5中的△ABC和△A′B′C′是全等三角形.

問(wèn)：它們的對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)、對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角分別是什么？

生7：……

師：不錯(cuò).觀察下圖，請(qǐng)思考：通過(guò)怎樣的運(yùn)動(dòng)能使下圖中的各對(duì)全等三角形分別完全重合？

生8：①△DEF沿CB方向平移;②△DAE沿過(guò)點(diǎn)A的直線翻折.

生9：③△ABC沿AD方向平移;④△DCE沿過(guò)點(diǎn)C的直線翻折.

生10：⑤△ACD繞AC的中點(diǎn)旋轉(zhuǎn);⑥△ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn).

生11：⑦△DAC沿直線AC翻折;⑧△FDE繞線段FC的中點(diǎn)旋轉(zhuǎn).

師：好的. 找對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)、對(duì)應(yīng)角和對(duì)應(yīng)邊時(shí)，經(jīng)常要先想象三角形的重疊方式.

環(huán)節(jié)3：探索邊角關(guān)系，生成性質(zhì)

師：全等三角形的定義可以分解出兩個(gè)命題：（1）若兩個(gè)三角形能完全重合，則這兩個(gè)三角形全等.（2）若兩個(gè)三角形全等，則這兩個(gè)三角形能完全重合.問(wèn)：全等三角形的對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角分別相等嗎？為什么？

生12：全等三角形的對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角分別相等.因?yàn)槿鹊膬蓚€(gè)三角形能完全重合.

師：好的.對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角分別相等的兩個(gè)三角形是全等三角形嗎？

生13：通過(guò)疊合實(shí)驗(yàn)可得：對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角分別相等的兩個(gè)三角形是全等三角形.

師：好的.一般地，若兩個(gè)三角形全等，則其對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角分別相等.若兩個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角分別相等，則這兩個(gè)三角形全等.

環(huán)節(jié)4：嘗試知識(shí)應(yīng)用，提煉方法

師：現(xiàn)在請(qǐng)同學(xué)們思考下列兩個(gè)例題.

例1：如圖7，△AOC與△BOD全等. 問(wèn)：

（1）如何表示這兩個(gè)全等三角形？

（2）若∠A與∠B是對(duì)應(yīng)角，則其余的對(duì)應(yīng)角和對(duì)應(yīng)邊分別是什么？

生14：△AOC≌△BOD.

生15：因?yàn)椤螦與∠B是對(duì)應(yīng)角，所以其余的對(duì)應(yīng)角是：∠AOC與∠BOD，∠ACO與∠BDO;對(duì)應(yīng)邊是：OA與OB，OC與OD，AC與BD.

師：找對(duì)應(yīng)點(diǎn)、對(duì)應(yīng)角、對(duì)應(yīng)邊，你是怎樣思考的？

生16：先想象重合前后的兩個(gè)圖形，再確定對(duì)應(yīng)點(diǎn)、對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角.

教師補(bǔ)充：相等的邊是對(duì)應(yīng)邊，相等角的對(duì)邊是對(duì)應(yīng)邊，相等角的夾邊也是對(duì)應(yīng)邊;類似的，同樣可以得到找對(duì)應(yīng)角的方法. 這些方法是找全等三角形對(duì)應(yīng)元素的常用方法，以后我們會(huì)經(jīng)常用到.

例2：如圖8，AD平分∠BAC，AB=AC.問(wèn)：

（1）△ABD與△ACD全等嗎？為什么？

（2）BD與CD相等嗎？∠B與∠C相等嗎？為什么？

生17：△ABD≌△ACD.因?yàn)锳D平分∠BAC，所以∠BAD=∠CAD，所以將圖8沿AD對(duì)折時(shí)，射線AC與射線AB重合.因?yàn)锳B=AC，所以點(diǎn)C與點(diǎn)B重合.因此，△ABD與△ACD能完全重合，即△ABD≌△ACD（全等三角形的定義）.

生18：BD=CD，∠B=∠C.因?yàn)椤鰽BD≌△ACD，所以BD=CD（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等），∠B=∠C（全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等）.

師：好的.同學(xué)們判斷兩個(gè)三角形全等有哪些經(jīng)驗(yàn)？

生19：若兩個(gè)三角形能完全重合，則這兩個(gè)三角形是全等三角形.若兩個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角分別相等，則這兩個(gè)三角形是全等三角形.

師：好的.已知兩個(gè)圖形全等找對(duì)應(yīng)邊或?qū)?yīng)角，和已知對(duì)應(yīng)邊或?qū)?yīng)角判定兩個(gè)三角形全等是以后會(huì)經(jīng)常遇到的兩種基本題型.

師：一個(gè)圖形通過(guò)適當(dāng)?shù)倪\(yùn)動(dòng)變?yōu)榱硪粋€(gè)圖形，運(yùn)動(dòng)前后的兩個(gè)圖形有何關(guān)系？

生20：運(yùn)動(dòng)前后的兩個(gè)圖形全等.

生21：運(yùn)動(dòng)前后兩個(gè)圖形的對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角分別相等.

師：由此大家有何感觸？

生22：圖形運(yùn)動(dòng)能改變圖形的位置，但不會(huì)改變圖形的形狀和大小.

生23：圖形運(yùn)動(dòng)能實(shí)現(xiàn)量與量之間的相互轉(zhuǎn)化.

師：好的.由于圖形運(yùn)動(dòng)能使孤立的、分散的條件相互溝通，所以在解決幾何問(wèn)題時(shí)會(huì)經(jīng)常使用圖形運(yùn)動(dòng)的思想方法.

師：接下來(lái)，請(qǐng)同學(xué)們完成課后作業(yè)題，并在完成后，小組里進(jìn)行校對(duì)與反饋.

環(huán)節(jié)5：回顧知識(shí)脈絡(luò)，感悟收獲

師：請(qǐng)同學(xué)們圍繞下列問(wèn)題反思與總結(jié)本節(jié)課的收獲.

（1）本節(jié)課研究的內(nèi)容和研究的方法是什么？

（2）判定兩個(gè)三角形全等有哪些方法？全等三角形有哪些性質(zhì)？

（3）尋找全等三角形的對(duì)應(yīng)元素有哪些方法？

（4）你認(rèn)為研究全等三角形有何意義？

全等三角形是認(rèn)識(shí)三角形的繼續(xù)——從一個(gè)三角形到兩個(gè)三角形之間的關(guān)系，它也是一種特殊的相似變換. “全等三角形”的教學(xué)內(nèi)容不僅包括全等圖形和全等三角形的概念，用字母和符號(hào)表示全等三角形，及其他的性質(zhì)與判定，也包括全等三角形性質(zhì)與判定的形成與應(yīng)用的過(guò)程和蘊(yùn)含的圖形變換思想等. 全等三角形的判定及性質(zhì)為證明線段相等、角相等提供了重要的方法，研究全等三角形的方法具有普遍適用性.想象重疊方式、尋找對(duì)應(yīng)元素等過(guò)程能培養(yǎng)學(xué)生的想象力、感知力和創(chuàng)新精神，其蘊(yùn)含的圖形變換思想是數(shù)學(xué)中的重要思想.

本課例根據(jù)教學(xué)內(nèi)容的地位與作用及蘊(yùn)含的教育價(jià)值，將本課教學(xué)立意于圖形變換，以學(xué)生身邊的題材為背景，從學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平和已有的經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，通過(guò)教師適度引導(dǎo)與學(xué)生自主探究相結(jié)合的方式，逐步使學(xué)生經(jīng)歷完整的認(rèn)知過(guò)程.在“定義全等三角形”的教學(xué)中，既有“實(shí)驗(yàn)、演示、想象、判斷、歸納、定義”的過(guò)程，以形成全等圖形的概念并且感受使兩個(gè)全等圖形完全重合所要遵循的疊的規(guī)則，又有“演繹、表示、解釋”的過(guò)程，以獲得全等三角形及對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)、對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角的概念和用符號(hào)表示全等三角形的方法，也有獲得概念之后的反思，以知道常見(jiàn)的使兩個(gè)全等三角形重疊的運(yùn)動(dòng)方式和感悟其蘊(yùn)含的圖形變換思想.在“全等三角形的性質(zhì)與判定”的教學(xué)中，既有分解定義的過(guò)程，以明確從定義中可以分解出性質(zhì)與判定兩個(gè)命題，又有根據(jù)定義判斷與表達(dá)性質(zhì)與判定的過(guò)程，以形成全等三角形的性質(zhì)與判定.在“嘗試應(yīng)用”的教學(xué)中，既有用所獲知識(shí)解決問(wèn)題的過(guò)程，以鞏固概念，又有解決問(wèn)題之后的反思，以積累判斷兩個(gè)三角形全等及找對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角的經(jīng)驗(yàn)，明確與全等三角形有關(guān)的兩類題型，感悟圖形變換的價(jià)值.在“回顧與感悟”的教學(xué)中，既有教師問(wèn)題引導(dǎo)下學(xué)生的自主思考與交流，又有教師的總結(jié).這體現(xiàn)了過(guò)程教育和學(xué)為中心的教學(xué)模式，能實(shí)現(xiàn)“參與定義全等三角形的活動(dòng)，能說(shuō)出全等三角形及對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)、對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角的概念，能知道并會(huì)用字母和符號(hào)表示全等三角形的方法，能感悟獲得全等三角形概念的過(guò)程和蘊(yùn)含的抽象思維、符號(hào)表示思想、圖形變換思想;探索全等三角形的性質(zhì)與判定，能知道從全等三角形定義中可以分解出性質(zhì)和判定兩個(gè)命題，理解全等三角形的性質(zhì)與判定;參與嘗試知識(shí)應(yīng)用的活動(dòng)，會(huì)用全等三角形的定義判定兩個(gè)三角形全等”的教學(xué)目標(biāo).

因此，“全等三角形”的教學(xué)，不僅要關(guān)注涉及的數(shù)學(xué)結(jié)果，也要關(guān)注獲得數(shù)學(xué)結(jié)果的過(guò)程和蘊(yùn)含的圖形變換思想等.這對(duì)發(fā)展學(xué)生圖形變換的意識(shí)和懂得圖形變換的價(jià)值有積極的影響.