周琦

[摘? 要] 基礎(chǔ)教育中數(shù)學(xué)的核心是思維的訓(xùn)練與抽象模型的建立，其中函數(shù)作為初入中等數(shù)學(xué)中的第一步尤為重要. 透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì)，同樣適合于教學(xué)，運(yùn)用生活中可觀的現(xiàn)象建立起抽象的模型. 文章以“二次函數(shù)”的教學(xué)設(shè)計(jì)為例，展開(kāi)說(shuō)明構(gòu)建抽象的數(shù)學(xué)模型，也貼近數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng).

[關(guān)鍵詞] 核心素養(yǎng);二次函數(shù);教學(xué)設(shè)計(jì);數(shù)學(xué)模型

“二次函數(shù)”是蘇科版《義務(wù)教育教科書(shū)·數(shù)學(xué)》九年級(jí)下冊(cè)第五章第一節(jié)內(nèi)容，本課是在學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了一次函數(shù)概念、反比例函數(shù)概念、表達(dá)式、圖像、性質(zhì)、應(yīng)用的基礎(chǔ)上來(lái)學(xué)習(xí)二次函數(shù)的概念.二次函數(shù)是初中階段研究的最后一個(gè)具體的函數(shù)，與反比例函數(shù)一樣都是非線性函數(shù).同時(shí)，二次函數(shù)與之前學(xué)過(guò)的一元二次方程有著密切的聯(lián)系，進(jìn)一步學(xué)習(xí)二次函數(shù)將為一元二次方程的解法提供新的方法和途徑，并使學(xué)生更深刻地理解“數(shù)形結(jié)合”的思想.本課的二次函數(shù)概念是后續(xù)研究二次函數(shù)的圖像、性質(zhì)、應(yīng)用的基礎(chǔ)，也為高中進(jìn)一步研究其他類型的函數(shù)做好了鋪墊，提供了研究函數(shù)的范式，發(fā)展了學(xué)生數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng).

（1）從學(xué)生的年齡特征和認(rèn)知結(jié)構(gòu)分析：九年級(jí)下學(xué)期的學(xué)生心理比較成熟，思維方式已從形象思維向抽象思維發(fā)展，知識(shí)遷移能力和邏輯推理能力迅速發(fā)展.

（2）從學(xué)生知識(shí)技能基礎(chǔ)來(lái)看：學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)一次函數(shù)和反比例函數(shù)的定義、表達(dá)式、圖像、性質(zhì)和應(yīng)用，這套學(xué)習(xí)函數(shù)的范式對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)二次函數(shù)有良好的引導(dǎo)作用.

（3）從學(xué)生數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)來(lái)看：在之前函數(shù)的學(xué)習(xí)中，學(xué)生已具有解決一些實(shí)際問(wèn)題的能力，感受到函數(shù)反映的是變化過(guò)程，表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，對(duì)函數(shù)表達(dá)式的特點(diǎn)也有所了解，同時(shí)具備了一定的獨(dú)立思考、合作交流等能力.

（1）經(jīng)歷探索兩個(gè)變量之間函數(shù)關(guān)系的過(guò)程，會(huì)用數(shù)學(xué)式子抽象出某些變量之間的數(shù)量關(guān)系，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)抽象的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

（2）通過(guò)對(duì)實(shí)際問(wèn)題情境的分析，確定二次函數(shù)的表達(dá)式，體會(huì)二次函數(shù)的意義，發(fā)展學(xué)生邏輯推理的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

（3）通過(guò)實(shí)例分析，進(jìn)一步感受二次函數(shù)的三要素和變量取值范圍的確定.

理解二次函數(shù)概念，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng).

（1）理解二次函數(shù)概念的形成過(guò)程.

（2）根據(jù)實(shí)際問(wèn)題抽象二次函數(shù)的表達(dá)式.

探究式教學(xué).

1. 發(fā)現(xiàn)新知，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)建模的數(shù)學(xué)素養(yǎng)

問(wèn)題1：寫(xiě)出下列問(wèn)題中兩個(gè)變量之間的關(guān)系.

（1）汽車(chē)油箱內(nèi)有油40 L，每行駛100 km耗油10 L，則行駛過(guò)程中油箱內(nèi)剩余油量Q（L）與行駛路程s（km）之間有什么關(guān)系？

（2）南京與上海相距300 km，一輛汽車(chē)從南京出發(fā)，以速度v（km/h）開(kāi)往上海，全程用時(shí)t（h），則全程用時(shí)t（h）與速度v（km/h）之間有什么關(guān)系？

（3）水滴激起的波紋不斷向外擴(kuò)展，所形成圓的面積S隨半徑r的變化而變化，S與r之間有什么關(guān)系？

（4）用16 m長(zhǎng)的籬笆圍成長(zhǎng)方形生物園飼養(yǎng)小兔，長(zhǎng)方形的面積y（m2） 與長(zhǎng)x（m）之間有什么關(guān)系？

（5）一面長(zhǎng)寬比為2 ∶ 1的矩形鏡子，四周鑲有邊框，已知鏡面的價(jià)格是每平方米120元，邊框的價(jià)格是每米30元，加工費(fèi)45元.若鏡面寬x m，則總費(fèi)用y（元）與鏡面寬x（m）之間有什么關(guān)系？

預(yù)設(shè)：（1）Q=40-s;（2）t=;（3）S=πr2;（4）y=-x2+8x;（5）y=240x2+180x+45.

問(wèn)題2：你能將上述的函數(shù)關(guān)系式分組嗎？并說(shuō)出分組的理由.

預(yù)設(shè)：（1）一次函數(shù);（2）反比例函數(shù);（3）（4）（5）沒(méi)學(xué)過(guò)的函數(shù).

教學(xué)分析? 生活中大量存在表示兩個(gè)變量之間關(guān)系的情境，有一些能用以前學(xué)習(xí)的一次函數(shù)或反比例函數(shù)表示，但更多的已經(jīng)無(wú)法滿足這兩種函數(shù)關(guān)系，引出一種新的函數(shù)模型.根據(jù)新舊知識(shí)的聯(lián)結(jié)點(diǎn)，從實(shí)際意義出發(fā)，寫(xiě)出函數(shù)關(guān)系式，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)建模的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

2. 探索新知，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象的數(shù)學(xué)素養(yǎng)

問(wèn)題3：觀察S=πr2，y=-x2+8x，y=240x2+180x+45三個(gè)函數(shù)關(guān)系式，它們?cè)诮Y(jié)構(gòu)上有哪些共同特征？你覺(jué)得這種結(jié)構(gòu)特征與我們學(xué)過(guò)的什么函數(shù)類似？

預(yù)設(shè)1：①左邊是因變量;②右邊是關(guān)于自變量的二次整式.

預(yù)設(shè)2：類似于一次函數(shù)，一次函數(shù)左邊是因變量，右邊是關(guān)于自變量的一次整式.

問(wèn)題4：類比一次函數(shù)給具有這種特征的函數(shù)起一個(gè)名稱.

預(yù)設(shè)：二次函數(shù).

問(wèn)題5：回顧一次函數(shù)的概念.

預(yù)設(shè)：一般地，形如y=kx+b（k，b為常數(shù)，且k≠0）的函數(shù)叫作一次函數(shù)（Linear function），其中x是自變量，y是x的函數(shù).

問(wèn)題6：類比一次函數(shù)歸納二次函數(shù)的定義.

師生共同得出：一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，且a≠0）的函數(shù)叫作二次函數(shù)（quadratic function），其中x是自變量，y是x的函數(shù).

問(wèn)題7：生活中有許多類似的實(shí)例，你還能舉出一些二次函數(shù)的實(shí)例嗎？

教學(xué)分析? 讓學(xué)生分析函數(shù)表達(dá)式的特征，大部分學(xué)生分析表達(dá)有困難，以小組合作的形式互相啟發(fā). 通過(guò)對(duì)一次函數(shù)的概念和表達(dá)式的回顧、遷移，在新舊知識(shí)的對(duì)比中，引導(dǎo)學(xué)生歸納，師生達(dá)成共識(shí)得出二次函數(shù)的概念和表達(dá)式，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

3. 探究新知，發(fā)展學(xué)生邏輯推理的數(shù)學(xué)素養(yǎng)

問(wèn)題8：（1）上述三個(gè)二次函數(shù)解析式中二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)分別是多少？

（2）上述三個(gè)二次函數(shù)自變量取值范圍分別是多少？

教學(xué)分析? 二次函數(shù)是比一次函數(shù)更復(fù)雜的函數(shù)，一次函數(shù)由一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)兩個(gè)常數(shù)確定，而二次函數(shù)關(guān)系式由二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)這三個(gè)常數(shù)共同確定，它們最高次項(xiàng)的系數(shù)都不能為0.通常自變量可取一切實(shí)數(shù)，但在實(shí)際問(wèn)題中自變量取值范圍受到實(shí)際意義和條件的限制，需要通過(guò)對(duì)具體情境的分析得到自變量的取值范圍.一則體現(xiàn)對(duì)二次函數(shù)概念完整性的螺旋式上升策略，二則培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)思維習(xí)慣.

問(wèn)題9：寫(xiě)出下列函數(shù)關(guān)系式和自變量取值范圍.若是二次函數(shù)，請(qǐng)指出它的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng).

（1）寫(xiě)出正方體的表面積S（cm2）與正方體棱長(zhǎng)a（cm）之間的函數(shù)關(guān)系;

（2）寫(xiě)出高為14 cm的圓柱體的體積V（cm2）與底面半徑r（cm）之間的函數(shù)關(guān)系;

（3）矩形紙片長(zhǎng)30 cm，寬20 cm，從內(nèi)部剪去一個(gè)邊長(zhǎng)為x cm的正方形，寫(xiě)出剩余部分面積S（cm2）與x（cm）之間的函數(shù)關(guān)系.

預(yù)設(shè)：（1）S=6a2（a>0）;（2）V=14πr2（r>0）;（3）S=600-x2（0

問(wèn)題10：一次函數(shù)的特例是正比例函數(shù)，二次函數(shù)有沒(méi)有特例呢？

預(yù)設(shè)：a是二次項(xiàng)系數(shù)不能為0，b或c可以為0，由此得到二次函數(shù)三種特殊的形式：①y=ax2（a為常數(shù)，且a≠0）;②y=ax2+c（a，c為常數(shù)，且a≠0）;③y=ax2+bx（a，b為常數(shù)，且a≠0）.

教學(xué)分析? 概念教學(xué)的難點(diǎn)是從抽象概括中進(jìn)行邏輯推理，類比一次函數(shù)從一般到特殊的研究方法，通過(guò)對(duì)二次函數(shù)各項(xiàng)系數(shù)能否為0的討論，得到二次函數(shù)三種特殊形式，這是對(duì)二次函數(shù)形式的深度認(rèn)識(shí). 同時(shí)，這也為研究二次函數(shù)的圖像、性質(zhì)提供了從特殊到一般的探究思路，發(fā)展了學(xué)生邏輯推理的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

4. 內(nèi)化新知，發(fā)展學(xué)生理解數(shù)學(xué)的素養(yǎng)

問(wèn)題11：關(guān)于x的函數(shù)y=（m2+m-2）·x2+（m+2）x+n-1，

（1）m，n滿足什么條件時(shí)，y是x的二次函數(shù)？

（2）m，n滿足什么條件時(shí)，y是x的一次函數(shù)？

（3）m，n滿足什么條件時(shí)，y是x的正比例函數(shù)？

設(shè)計(jì)意圖? 通過(guò)字母系數(shù)取值范圍的討論，主要是各項(xiàng)系數(shù)何時(shí)為0，何時(shí)不能為0，強(qiáng)化概念，有效辨別函數(shù)類型.點(diǎn)狀知識(shí)通過(guò)邏輯鏈系統(tǒng)化、整體化，將二次函數(shù)納入函數(shù)系統(tǒng)，這是函數(shù)系統(tǒng)的又一次擴(kuò)充，讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)概念不能死記硬背，需要在理解的基礎(chǔ)上完善自己的函數(shù)認(rèn)知體系，發(fā)展學(xué)生理解數(shù)學(xué)的素養(yǎng).

5. 消化新知，發(fā)展學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的素養(yǎng)

布置課后練習(xí)：課本P8習(xí)題5.1.

設(shè)計(jì)意圖? 二次函數(shù)模型是從實(shí)際情境中抽象出來(lái)的，概括總結(jié)歸納后，還要應(yīng)用于實(shí)際.實(shí)際問(wèn)題數(shù)學(xué)化，再用數(shù)學(xué)概念、知識(shí)解釋實(shí)際問(wèn)題，這種相互轉(zhuǎn)化的過(guò)程就是數(shù)學(xué)能力提升的過(guò)程，需要學(xué)生在課后練習(xí)和實(shí)際生活中不斷體會(huì)，反復(fù)應(yīng)用，發(fā)展學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的素養(yǎng).

6. 體悟新知，發(fā)展學(xué)生理性思維的數(shù)學(xué)素養(yǎng)

（1）本課我學(xué)習(xí)了哪些知識(shí)內(nèi)容？

（2）本課我運(yùn)用了哪些思想方法？

（3）本課我在哪些數(shù)學(xué)素養(yǎng)方面得到提升？

（4）課后我還準(zhǔn)備對(duì)哪些方面進(jìn)一步研究？

設(shè)計(jì)意圖? 引導(dǎo)學(xué)生回顧二次函數(shù)發(fā)生、發(fā)展的過(guò)程，加深對(duì)二次函數(shù)的認(rèn)識(shí)，提升數(shù)學(xué)思想方法的理性認(rèn)識(shí)和相應(yīng)數(shù)學(xué)素養(yǎng)的發(fā)展.將二次函數(shù)納入函數(shù)研究體系，啟發(fā)學(xué)生根據(jù)已有學(xué)習(xí)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)從整體性和結(jié)構(gòu)性角度思考后續(xù)二次函數(shù)的學(xué)習(xí)內(nèi)容、探究方式，發(fā)展學(xué)生理性思維的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

1. 挖掘核心問(wèn)題，有效設(shè)計(jì)

問(wèn)題是數(shù)學(xué)的心臟，也是思維活動(dòng)的起點(diǎn). 本課設(shè)計(jì)首先讓學(xué)生從現(xiàn)實(shí)情境中抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題，建立模型，在與一次函數(shù)的類比中歸納模型特征，并嘗試用一般的函數(shù)關(guān)系式表示，同時(shí)得到二次函數(shù)描述性定義.但此時(shí)，學(xué)生對(duì)二次函數(shù)的認(rèn)知還停留在函數(shù)關(guān)系式的表面形式和對(duì)函數(shù)的已有認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)上，而由淺入深、由表及里、由具體到抽象、由片面到全面地認(rèn)識(shí)二次函數(shù)的本質(zhì)是本節(jié)課的核心問(wèn)題.所以，在探究新知環(huán)節(jié)，設(shè)計(jì)問(wèn)題串，從函數(shù)系統(tǒng)架構(gòu)的角度思考二次函數(shù)的細(xì)節(jié)問(wèn)題，這些問(wèn)題有別于類比函數(shù)—— 一次函數(shù)，但又與一次函數(shù)認(rèn)識(shí)視角相同的共性問(wèn)題. 隨后在內(nèi)化新知中，為了對(duì)二次函數(shù)、一次函數(shù)、正比例函數(shù)的概念進(jìn)行正確辨析，設(shè)置問(wèn)題，協(xié)助學(xué)生深度理解二次函數(shù)概念的內(nèi)涵和外延.

2. 發(fā)展數(shù)學(xué)素養(yǎng)，教學(xué)相長(zhǎng)

本課的重難點(diǎn)是二次函數(shù)概念的形成和理解，這個(gè)過(guò)程是很抽象的，所以在組織教學(xué)活動(dòng)時(shí)，鼓勵(lì)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界從中抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題，然后用數(shù)學(xué)的思維思考問(wèn)題，用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)問(wèn)題，最后用數(shù)學(xué)的知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題.用數(shù)學(xué)的眼光抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程就是根據(jù)實(shí)際意義運(yùn)用數(shù)學(xué)運(yùn)算寫(xiě)出二次函數(shù)關(guān)系式，經(jīng)歷數(shù)學(xué)建模的過(guò)程，發(fā)展了學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模的數(shù)學(xué)素養(yǎng);用數(shù)學(xué)的思維思考問(wèn)題，是讓學(xué)生經(jīng)歷思考，根據(jù)新舊知識(shí)的聯(lián)結(jié)點(diǎn)自然生長(zhǎng)知識(shí)、方法、經(jīng)驗(yàn)，運(yùn)用邏輯推理形成并理解二次函數(shù)概念的來(lái)龍去脈，發(fā)展學(xué)生邏輯推理的數(shù)學(xué)素養(yǎng);用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)問(wèn)題就是用數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言表達(dá)從實(shí)際問(wèn)題抽象出的函數(shù)關(guān)系式，發(fā)現(xiàn)一類新的函數(shù)關(guān)系形如y=ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，且a≠0），滿足這樣形式的函數(shù)關(guān)系就是二次函數(shù).同樣，二次函數(shù)關(guān)系一定滿足y=ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，且a≠0），二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)確定了，二次函數(shù)關(guān)系式就確定了.從具體到抽象，發(fā)展了學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、理性思維的數(shù)學(xué)素養(yǎng);用數(shù)學(xué)的知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題是借助二次函數(shù)模型分析問(wèn)題，透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì)，解決實(shí)際問(wèn)題.雖然這并不是本課的重點(diǎn)，但作為章起始課，要有統(tǒng)領(lǐng)全章的視野，發(fā)展學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的數(shù)學(xué)素養(yǎng).培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，并不是喊喊口號(hào)這么簡(jiǎn)單，教師要有更新教育教學(xué)的理念，從數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的角度重新解讀教材，突出教學(xué)本質(zhì)，整合教學(xué)資源，設(shè)計(jì)教學(xué)流程，落實(shí)核心素養(yǎng).學(xué)生的發(fā)展需要教師的引導(dǎo)，教師的成長(zhǎng)需要學(xué)生促進(jìn)，在推進(jìn)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的教學(xué)中，師生協(xié)同共進(jìn)，教學(xué)相長(zhǎng).

立足數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)這一落腳點(diǎn)，挖掘核心問(wèn)題，精心設(shè)計(jì)教學(xué)環(huán)節(jié).當(dāng)數(shù)學(xué)的教學(xué)回歸問(wèn)題本源，從結(jié)構(gòu)化、整體化、網(wǎng)絡(luò)化的角度思考數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展，核心素養(yǎng)的發(fā)展便水到渠成.師生是學(xué)習(xí)共同體，唯有在日常教學(xué)中讓數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)貼地而行，師生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)才能共生共長(zhǎng)、落地生根.