陳麗真

[摘? 要] 數(shù)學概念是數(shù)學學習的核心與基礎，準確理解數(shù)學概念是學好數(shù)學的前提，數(shù)學概念的學習要領會數(shù)學抽象的過程，概念變式教學旨在從不同角度深刻辨析概念的內(nèi)涵與外延，提升學生的數(shù)學抽象等核心素養(yǎng).

[關鍵詞] 數(shù)學概念;變式教學;數(shù)學抽象;數(shù)學運算

概念是事物本質(zhì)的反映，是對一類事物概括的表征. 數(shù)學概念是數(shù)學的根基，概念教學是課堂的重要環(huán)節(jié)之一，是數(shù)學教學的核心和基石. 那么，如何讓學生深刻理解、準確掌握數(shù)學概念？概念變式教學旨在從不同角度深刻辨析概念的內(nèi)涵與外延，提升學生的數(shù)學抽象素養(yǎng)，提高課堂教學效率. 在概念教學中，通過圖形變式、語言變式、符號變式等探究活動，使學生對概念獲得多角度的理解，對概念的本質(zhì)有更深刻的認識.

[?]利用變式，抽象概念直觀化

例1：設A，B是非空的數(shù)集，如果按照某種確定的對應關系f，使對于集合A 中的任意一個數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f（x）和它對應，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數(shù)，記作：y=f（x），x∈A. 其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域;與x的值相對應的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合叫做函數(shù)的值域. 顯然，值域是集合B的子集.

“函數(shù)”是高中數(shù)學的一個重要概念，用集合與對應的語言刻畫函數(shù)概念比較抽象，學生理解困難. 為了幫助學生準確理解這個抽象的數(shù)學概念，可以讓學生討論并嘗試完成下列問題，老師再逐一講解.

分析：函數(shù)是特殊的映射，函數(shù)定義中強調(diào)“三性”：任意性、存在性、唯一性，這三性只要有一個不滿足，便不能構(gòu)成函數(shù). （1）集合A不是數(shù)集，明確了函數(shù)的特殊所在;（2）集合A的元素0在B中沒有與之對應的元素，不滿足“任意性”;（3）集合A的元素1在B中有兩個元素1，-1與之對應，不滿足“唯一性”;（5）集合A的元素3在B中沒有與之對應的元素，不滿足“存在性”. 只有（4）和（6）滿足函數(shù)的概念，而（6）集合B并不是該函數(shù)的值域，體現(xiàn)了“值域是集合B的子集”.

分析：圖像是函數(shù)的一種重要表示形式，定義域、值域和對應關系是決定函數(shù)的三要素. 在函數(shù)概念中提到“x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域”，“值域是集合B的子集”. 學生要會借助“三要素”，分析、判斷圖形是否為函數(shù)的圖像. （3）中值域是[0，3]，不是集合B的子集;（4）中定義域是 [0，1]，不是A;（6）中0≤x<2時任意的x有兩個y值與之對應. 所以只有（1）（2）（5）符合題設函數(shù)的概念.

數(shù)學概念非常精煉，寓意深刻，要仔細推敲概念中的每一字、每一詞，理解準確到位. 以上變式從“數(shù)”到“形”著力體現(xiàn)“函數(shù)”這一概念中的關鍵字眼：“數(shù)集”、“任意”、“存在”、“唯一”. 通過直觀、具體的變式，建立感性經(jīng)驗和抽象概念之間的聯(lián)系，用不同的變式揭示概念的本質(zhì)，通過對本質(zhì)特征的分析，加深對整個概念的理解. 教學中，設置反例、錯例辨析的變式訓練，通過對問題正面、側(cè)面、反面的分析，幫助學生理解概念的本質(zhì)，并能運用概念發(fā)現(xiàn)問題的癥結(jié)所在，達到去偽存真、由此及彼的目的.

[?]利用變式，拓展概念的內(nèi)涵及外延

變式教學要源于課本又要高于課本，做到遵循課標，突出重點. 本例對“函數(shù)單調(diào)性”的概念從條件的等價性（變式1、2），結(jié)論與條件的轉(zhuǎn)換（變式3、4），否命題（變式5）與逆否命題（變式6）等進行不同角度、不同層次的變式，有意識地引導學生發(fā)現(xiàn)變化中的不變，學生不僅獲得對“函數(shù)單調(diào)性”這一概念的等價形式，又為函數(shù)單調(diào)性的應用，如利用單調(diào)性比大小、解抽象不等式的學習打下基礎. 如此，對概念的建構(gòu)提供一個有層次的推進過程，讓學生多角度地理解概念，對學生掌握知識、促進思維和培養(yǎng)能力等方面起著非常重要的作用.

[?]利用變式，辨析易混淆的不同概念

在人教版《數(shù)學選修2-3》的第二章《概率》中介紹了兩種離散型隨機變量的概率分布：超幾何分布與二項分布.課標要求學生能通過具體實例，認識這兩種概率模型，并能運用這兩種模型解決一些實際問題，但不少學生沒有掌握好這兩種模型，不能準確地辨別所要解決的問題是屬于超幾何分布還是二項分布，?；煜龖?

教師應引導學生認真審題，通過例題與變式用詞的不同，正確辨析兩種不同的分布. 從抽取的方式上，超幾何分布是無放回的，二項分布是有放回的;從獨立性上，超幾何分布是不獨立的，二項分布是相互獨立的;當產(chǎn)品的總數(shù)很大而被抽出的產(chǎn)品較少時，超幾何分布可以當作二項分布. 一般地，若以樣本數(shù)據(jù)估計總體情況，或以樣本頻率代替總體概率，則是二項分布問題.

數(shù)學核心素養(yǎng)是在學生與問題的有效互動中得到提升的. 本例通過變式，創(chuàng)設不同的問題情境，使學生在具體問題的體驗中辨析不同的概念，并通過對材料的分析，抓住問題的數(shù)學本質(zhì)，培養(yǎng)學生數(shù)據(jù)分析與數(shù)學運算的素養(yǎng).

例4中a，b可能取值都是四個，基本事件是有限的，變式中a，b可取[0，3]上的任意實數(shù)，基本事件是無限的. 這樣，學生更清楚區(qū)別“古典概型”和“幾何概型”的關鍵在于：古典概型的基本事件是有限的，幾何概型的基本事件是無限的. 并且，兩道變式又教會學生如何區(qū)分是“與長度有關的幾何概型”還是“與面積有關的幾何概型”. 因此，在教學中教師應針對相似概念的易混淆點，恰當巧妙地設計一些變式，幫助學生更好地理解、區(qū)分不同的概念. 唯有這樣，學生才能正確運用概念解題.

高中數(shù)學教學應將數(shù)學核心素養(yǎng)的培養(yǎng)貫穿于教學活動的全過程，要有意識地將發(fā)展學生數(shù)學核心素養(yǎng)作為教學的導向，數(shù)學概念的教學是發(fā)展學生核心素養(yǎng)的重要載體. 通過教學實踐發(fā)現(xiàn)，在概念教學中恰當?shù)卦O置變式問題，可以有效地呈現(xiàn)概念的本質(zhì)屬性、清晰概念的內(nèi)涵及外延，能讓學生多方面、多角度地加深對概念的理解，拓展知識;設置層層遞進的變式問題，引導學生從不同的角度分析、用不同的方法解決，能提高學生分析問題的能力和遷移能力，培養(yǎng)學生的數(shù)學思維品質(zhì). 這對教學內(nèi)容及發(fā)展學生的個體能力，都能產(chǎn)生積極的促進作用. 然而，變式教學不能變成教師整節(jié)課的精彩演繹和拓展，不能教師講得神采飛揚，學生聽得應接不暇.教師必需注意學生的認知水平，結(jié)合具體的教學內(nèi)容創(chuàng)設適合的變式，控制變式的數(shù)量及變式的深度，發(fā)揮概念變式的積極教學意義，提升學生的數(shù)學核心素養(yǎng).