曾宏建

[摘? 要] 為幫助學(xué)生有效對(duì)接大學(xué)階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，也為增強(qiáng)課程資源的可選擇性，促進(jìn)學(xué)生的個(gè)性化發(fā)展，高中數(shù)學(xué)教師要注意加強(qiáng)對(duì)大學(xué)數(shù)學(xué)先修課程開設(shè)的探索和研究，文章以《微積分》為例，探討了課程設(shè)計(jì)的基本構(gòu)想、目標(biāo)設(shè)計(jì)、內(nèi)容要求、教學(xué)模式以及評(píng)價(jià)方式.

[關(guān)鍵詞] 先修課程;微積分;課程設(shè)計(jì)

在高中階段，為促進(jìn)學(xué)生有效對(duì)接大學(xué)某些課程的學(xué)習(xí)，學(xué)校要開設(shè)一些大學(xué)先修課（即Advanced Placement，簡(jiǎn)寫為“AP”），這些課程具有一定的選擇性，可讓學(xué)生根據(jù)自己個(gè)性化的需求做出選擇. 筆者和本校教研組的同事在教學(xué)中積極探索數(shù)學(xué)先修課的開設(shè)實(shí)踐，下面以《微積分》的課程設(shè)計(jì)為例談?wù)勛约旱牟僮骱退伎?

[?] 微積分先修課程設(shè)計(jì)的基本構(gòu)想

早在1996年，當(dāng)時(shí)頒布的《全日制普通高級(jí)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱（實(shí)驗(yàn)）》就將微積分的部分知識(shí)列入高中數(shù)學(xué)的選修內(nèi)容，讓學(xué)生根據(jù)需要進(jìn)行學(xué)習(xí);2004年開始的新課程改革中，有關(guān)微積分的教學(xué)內(nèi)容和要求也被修改，2013年版的新課程標(biāo)準(zhǔn)從學(xué)生核心素養(yǎng)發(fā)展的需要出發(fā)，對(duì)有關(guān)內(nèi)容進(jìn)行了完善. 當(dāng)然，高中數(shù)學(xué)對(duì)微積分的教學(xué)要求是比較低的，重心主要落在極限思維和導(dǎo)數(shù)上，學(xué)生可以借此對(duì)微積分形成初步認(rèn)識(shí)，但還是相當(dāng)模糊，筆者認(rèn)為這和大學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)具有很遠(yuǎn)距離，這也是本校開設(shè)微積分先修課的緣起.

對(duì)學(xué)生來講，微積分的知識(shí)和相關(guān)技能在自然科學(xué)、工程應(yīng)用等多個(gè)領(lǐng)域都有廣泛運(yùn)用，而其所涉及的研究思路在高中階段的數(shù)理化科目中也早就有所涉及，所以引導(dǎo)部分學(xué)有余力的學(xué)生學(xué)習(xí)微積分內(nèi)容，對(duì)他們的發(fā)展大有裨益. 聯(lián)系微積分的知識(shí)特點(diǎn)，結(jié)合學(xué)生的實(shí)際情形，筆者所設(shè)計(jì)的“微積分先修課”主要是面向高二學(xué)生，授課時(shí)間是高二下學(xué)期.

微積分課程的基本內(nèi)容包括函數(shù)與極限思想、微積分基本理念、積分計(jì)算和應(yīng)用、微分中值定理與泰勒公式、級(jí)數(shù)等等. 通過這些內(nèi)容的學(xué)習(xí)，學(xué)生將概覽微積分基本的知識(shí)框架，掌握基礎(chǔ)性的理論和相應(yīng)計(jì)算方法，這既有助于學(xué)生借助相關(guān)的理論思想和方法來分析當(dāng)前問題，也為學(xué)生的后續(xù)學(xué)習(xí)奠定了基礎(chǔ)[1]. 微積分本身也是一個(gè)良性的思維載體，對(duì)應(yīng)問題的分析和研究需要學(xué)生將“數(shù)”與“形”充分聯(lián)系起來，而且要綜合運(yùn)用邏輯、推理和演繹等理性思維來展開研究，學(xué)生在這一過程中必然會(huì)充分對(duì)思維的某些特質(zhì)進(jìn)行針對(duì)性的訓(xùn)練，這些效果是在數(shù)學(xué)其他內(nèi)容或者別的學(xué)科中很難獲得的.

總之，在高中階段開設(shè)微積分先修課能引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)銜接大學(xué)課程的學(xué)習(xí)，同時(shí)也能倚靠微積分課程自身的特點(diǎn)來發(fā)展學(xué)生的思維和能力，是切合學(xué)生發(fā)展需要的課程設(shè)計(jì).

[?] 微積分先修課程的目標(biāo)設(shè)計(jì)

在研究微積分先修課的目標(biāo)時(shí)，教師不但要充分考量知識(shí)的應(yīng)用性特點(diǎn)，更要將重心落實(shí)在可持續(xù)性發(fā)展上，這其實(shí)也正是數(shù)學(xué)先修課的總體設(shè)計(jì)目標(biāo)，即“認(rèn)知概念，強(qiáng)化應(yīng)用，發(fā)展能力，提升素養(yǎng)”. 在具體教學(xué)中，筆者從知識(shí)和能力兩個(gè)主要維度來設(shè)計(jì)微積分課程的目標(biāo)，同時(shí)兼顧中學(xué)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的其他方面，由此來建設(shè)一個(gè)適合學(xué)生能力提升的平臺(tái)，有效激活學(xué)生思維，引導(dǎo)學(xué)生在各種探究活動(dòng)中展開個(gè)性化學(xué)習(xí)，推動(dòng)學(xué)生的有效發(fā)展.

從知識(shí)和技能等層面來講，微積分課程有著很強(qiáng)的工具性，它是研究很多問題的重要理論基礎(chǔ)，在思想和方法層面，微積分又對(duì)應(yīng)著極限思想、化曲為直、無限分割等操作，為學(xué)生對(duì)問題的本質(zhì)性認(rèn)識(shí)和技巧性處理提供了方法和思路. 立足于高中學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，同時(shí)也瞄準(zhǔn)學(xué)生將來的發(fā)展方向，筆者從知識(shí)技能與思想方法兩個(gè)方面確定微積分先修課的課程目標(biāo).

1. 知識(shí)技能方面的目標(biāo)設(shè)計(jì)

（1）熟練掌握函數(shù)的表示方法，并且能對(duì)相關(guān)表示方法之間的聯(lián)系形成理解.

（2）結(jié)合變化率和局部線性近似來認(rèn)識(shí)導(dǎo)數(shù)，并能夠采用導(dǎo)數(shù)的概念和相關(guān)方法處理對(duì)應(yīng)的問題.

（3）采用黎曼和的極限思路來認(rèn)識(shí)定積分的定義及其內(nèi)涵，并能夠采用積分來處理對(duì)應(yīng)問題.

（4）能用技術(shù)工具來幫助問題分析，解釋實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象和結(jié)果，并對(duì)相關(guān)結(jié)論進(jìn)行驗(yàn)證.

（5）能采用科學(xué)的表達(dá)方式進(jìn)行數(shù)學(xué)交流，并能夠在交流中分享對(duì)數(shù)學(xué)問題和方法的認(rèn)識(shí).

（6）能采用函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、積分等概念和方法來解釋物理問題，并能圍繞物理情境建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型.

（7）能結(jié)合微積分的基本理論探求問題分析方法的合理性.

（8）能采用微積分基本定理來理解導(dǎo)數(shù)與積分的基本關(guān)系.

2. 思想方法方面的目標(biāo)設(shè)計(jì)

（1）逐步熟悉微積分基本的運(yùn)算方法.

（2）綜合運(yùn)用微積分的概念和方法來分析和解決實(shí)際問題.

（3）采用微積分的研究思想和方法進(jìn)行各種建模操作，并能結(jié)合計(jì)算機(jī)的使用來求解問題.

（4）結(jié)合微積分問題的處理和分析領(lǐng)會(huì)抽象概括的思想和方法.

（5）發(fā)展學(xué)生的自學(xué)意識(shí)，引導(dǎo)學(xué)生體驗(yàn)并培養(yǎng)邏輯推理的思想和方法.

以上是筆者在探索過程中，結(jié)合學(xué)生實(shí)際以及高中數(shù)學(xué)的課程特點(diǎn)，設(shè)計(jì)出微積分先修課的基本目標(biāo). 在目標(biāo)定位上，筆者區(qū)分開大學(xué)與高中兩個(gè)學(xué)段教學(xué)要求的差別，明確先修課不是正式的教學(xué)課，也不是預(yù)習(xí)課，整體要求上是對(duì)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的延伸，是為了促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的進(jìn)一步發(fā)展.

[?] 微積分先修課程的內(nèi)容和要求

微積分先修課將一元微分和積分作為重要內(nèi)容，整個(gè)課程劃分為七個(gè)單元：（1）函數(shù);（2）極限與連續(xù);（3）導(dǎo)數(shù)與微分;（4）中值定理與導(dǎo)數(shù)運(yùn)用;（5）不定積分;（6）定積分;（7）無窮級(jí)數(shù). 下面筆者以第一單元“函數(shù)”為例，簡(jiǎn)單介紹一下主要的教學(xué)內(nèi)容及相應(yīng)的教學(xué)要求.

學(xué)生在高一階段就已經(jīng)學(xué)習(xí)很多函數(shù)的知識(shí)，在平常的學(xué)習(xí)過程中也經(jīng)常性地使用這些知識(shí). 考慮到微積分與函數(shù)緊密的關(guān)系，而且微積分本身概念的嚴(yán)謹(jǐn)性，兼顧到高二學(xué)生對(duì)這一塊知識(shí)的遺忘等因素，筆者認(rèn)為依然要將“函數(shù)”作為微積分的第一個(gè)單元，基本內(nèi)容和相關(guān)要求如表1所示.

微積分本就是基于函數(shù)研究的一種延伸和發(fā)展，實(shí)數(shù)、函數(shù)和極限應(yīng)該是微積分理論的基礎(chǔ)，是研究者結(jié)合“微元”和“無限逼近”的思想來對(duì)函數(shù)進(jìn)行研究. 因此，學(xué)習(xí)微積分必須從函數(shù)開始，這是高中生最熟悉的內(nèi)容，是他們探索陌生知識(shí)時(shí)最可靠的落腳點(diǎn)，在此基礎(chǔ)上我們?cè)龠M(jìn)行新問題的拓展，合乎學(xué)生的認(rèn)知習(xí)慣，這樣的內(nèi)容和要求設(shè)計(jì)能有效銜接學(xué)生的知識(shí)基礎(chǔ)，這樣的處理也是我們?cè)O(shè)計(jì)數(shù)學(xué)先修課的基本思路.

[?] 微積分先修課程的教學(xué)模式

我們開設(shè)微積分先修課主要是為了引導(dǎo)學(xué)生對(duì)微積分的概念形成認(rèn)知，并能夠采用微積分的思想和相關(guān)方法來處理問題，因此在教學(xué)過程中，教師要充分考慮學(xué)生的思維和理解，只有學(xué)生對(duì)內(nèi)容形成理解才能對(duì)知識(shí)靈活運(yùn)用，這也成為我們選擇教學(xué)模式的基本出發(fā)點(diǎn).

在高中數(shù)學(xué)的教學(xué)中，教師一般都會(huì)遵從學(xué)生的思維特點(diǎn)來設(shè)計(jì)問題，然后引導(dǎo)學(xué)生展開探索，圍繞問題來架構(gòu)整個(gè)課堂教學(xué)，讓學(xué)生能夠積極而主動(dòng)地展開思考，進(jìn)而有效領(lǐng)會(huì)知識(shí)，對(duì)研究方法和科學(xué)思想形成感悟，這種常態(tài)化的教學(xué)模式在微積分教學(xué)過程中依然可以使用.

隨著新課程的不斷推進(jìn)，高中數(shù)學(xué)原有的授課模式正在不斷發(fā)生調(diào)整，教師會(huì)將自主學(xué)習(xí)、合作探究、發(fā)現(xiàn)教學(xué)、情境教學(xué)等教學(xué)方式和方法融入課堂設(shè)計(jì)之中，由此形成適應(yīng)新時(shí)期學(xué)生發(fā)展需要的課堂[2]. 在微積分先修課的教學(xué)實(shí)踐中，筆者也積極探索適合先修課的課堂組織方式，比如交互式教學(xué)，此種教學(xué)模式主要分為這樣幾個(gè)環(huán)節(jié)：（1）導(dǎo)入環(huán)節(jié)，教師引導(dǎo)學(xué)生明確目標(biāo)，學(xué)生形成初步設(shè)想;（2）初學(xué)環(huán)節(jié)，學(xué)生展開初步學(xué)習(xí)并發(fā)現(xiàn)存在的問題;（3）推進(jìn)環(huán)節(jié)，學(xué)生圍繞問題展開集體探討，在解決問題的同時(shí)對(duì)知識(shí)形成認(rèn)識(shí)和理解;（4）鞏固階段，學(xué)生展開練習(xí)，在鞏固認(rèn)識(shí)的同時(shí)進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)和解決遺留問題，并提升認(rèn)識(shí);（5）作業(yè)，學(xué)生獨(dú)立完成作業(yè)，既能實(shí)現(xiàn)對(duì)學(xué)習(xí)效果的檢測(cè)，還能加深對(duì)知識(shí)的理解.

筆者嘗試的課堂組織方式還包括探究式教學(xué)，此方式包括以下環(huán)節(jié)：（1）導(dǎo)入環(huán)節(jié)，教師創(chuàng)設(shè)情境引出問題，學(xué)生展開猜想;（2）自主探究，教師創(chuàng)造條件引導(dǎo)學(xué)生以合作學(xué)習(xí)的方式展開觀察、實(shí)驗(yàn)、辯論等活動(dòng)，全方位地搜集證據(jù)證實(shí)猜想或?qū)Σ孪脒M(jìn)行修正;（3）總結(jié)推廣，學(xué)生對(duì)探究過程中的成果和經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行總結(jié)和提煉，并對(duì)相關(guān)結(jié)論進(jìn)行舉一反三的應(yīng)用，以此來提升認(rèn)識(shí);（4）評(píng)價(jià)反思，教師組織學(xué)生對(duì)探究過程展開自主評(píng)價(jià)和相互評(píng)價(jià)，鼓勵(lì)學(xué)生分享探究心得;（5）作業(yè)，學(xué)生結(jié)合作業(yè)評(píng)估學(xué)習(xí)情況，并鞏固認(rèn)識(shí).

在實(shí)際教學(xué)過程中，教師要根據(jù)具體情況來選擇教學(xué)模式和相關(guān)方法，一些概念性比較強(qiáng)的內(nèi)容，比如極限、微分的概念等等，這些適合傳統(tǒng)教學(xué)和探究式教學(xué)相結(jié)合的教學(xué)方法，即學(xué)生先在自主探究中形成初步認(rèn)識(shí)，教師再結(jié)合講解讓學(xué)生明確最完整、最科學(xué)的表達(dá);一些強(qiáng)調(diào)知識(shí)運(yùn)用的內(nèi)容，適合以探究式教學(xué)來進(jìn)行，比如極限性質(zhì)的探究、微分中值定理等等，學(xué)生在探究過程中將親歷知識(shí)的形成，由此產(chǎn)生更加深刻的理解和認(rèn)識(shí);對(duì)于某些側(cè)重于方法和技巧的內(nèi)容，比如極限的運(yùn)算、導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性等等，這些可以采用交互式的方式來進(jìn)行研究，讓學(xué)生在師生互動(dòng)、生生對(duì)話中發(fā)現(xiàn)并研究問題，最終在問題解決的過程中提升認(rèn)識(shí)和理解.

[?] 微積分先修課程的教學(xué)評(píng)價(jià)

一般來講，考試是最直接，也是最簡(jiǎn)單的評(píng)價(jià)方式，將這種方式應(yīng)用于微積分先修課程能夠讓教師得到相對(duì)客觀的評(píng)價(jià)結(jié)果，從而更加有效地指導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí). 但是，我們也必須注意到，先修課不是高中階段的必修課程，是建立學(xué)生自愿學(xué)習(xí)基礎(chǔ)上的選擇性課程，教師不能單一地采用考試來評(píng)價(jià)與衡量學(xué)生. 為此，筆者認(rèn)為應(yīng)該積極建設(shè)多元化的評(píng)價(jià)體系，以過程評(píng)價(jià)為主，通過評(píng)價(jià)來引導(dǎo)學(xué)生修正自己的學(xué)習(xí)方式和方法，提升他們的學(xué)習(xí)效果.

在微積分先修課的實(shí)踐過程中，筆者首先引導(dǎo)學(xué)生在每一次自主學(xué)習(xí)與合作探究的過程中就展開自主評(píng)價(jià)，評(píng)價(jià)的內(nèi)容主要包括參與研究的動(dòng)機(jī)和態(tài)度、探索過程的自信程度、獨(dú)立思考的方法和習(xí)慣、合作探究的意識(shí)和熱情、數(shù)學(xué)能力的發(fā)展?fàn)顩r等等，這些評(píng)價(jià)主要是定性的，筆者希望通過這樣的評(píng)價(jià)來促進(jìn)學(xué)生展開反思和交流.

評(píng)價(jià)還可以是作業(yè)的完成情況，微積分先修課的作業(yè)包括常規(guī)的習(xí)題，還包括具有開放性和探索性的研究課題、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)心得體會(huì)、數(shù)學(xué)小論文等等，這些內(nèi)容可以覆蓋學(xué)生對(duì)知識(shí)的鞏固，幫助學(xué)生進(jìn)一步發(fā)展學(xué)習(xí)興趣，實(shí)現(xiàn)學(xué)習(xí)方法的改進(jìn)和優(yōu)化. 當(dāng)然在課程結(jié)束時(shí)，我們?cè)俳M織學(xué)生以考試和學(xué)習(xí)小結(jié)的方式來對(duì)整個(gè)學(xué)習(xí)進(jìn)行整體的評(píng)價(jià).

以上是筆者有關(guān)微積分先修課程開設(shè)過程的操作和思路的簡(jiǎn)單介紹，中學(xué)數(shù)學(xué)先修課的開設(shè)和探索還剛剛開始，筆者的研究視角也比較狹隘，在后期的實(shí)踐過程中，筆者將深度探索和總結(jié)，努力設(shè)計(jì)出更加優(yōu)秀的課程資源.

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