趙瑞環(huán) 左立娟 李娟飛

【摘 要】在高等數(shù)學(xué)的教學(xué)中開展案例教學(xué)是應(yīng)用型高校培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用能力和提高教學(xué)質(zhì)量的有效方法之一。本文探討了案例式教學(xué)應(yīng)用的意義、特點(diǎn)，實(shí)施案例教學(xué)的過程及相關(guān)示例，并指出在案例教學(xué)中還需要進(jìn)一步深入研究的三個(gè)關(guān)鍵問題。

【關(guān)鍵詞】高等數(shù)學(xué)；案例式教學(xué)；實(shí)踐；關(guān)鍵問題

【中圖分類號(hào)】G642 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】1671-8437（2019）10-0011-02

高等數(shù)學(xué)是工科院校的一門基礎(chǔ)學(xué)科，它直接影響到許多其他課程的課程建設(shè)和學(xué)生素質(zhì)的培養(yǎng)。數(shù)學(xué)定理、概念比較抽象，學(xué)生都認(rèn)為它枯燥無用。傳統(tǒng)高等數(shù)學(xué)的教學(xué)模式是“滿堂灌”，學(xué)生往往處于被動(dòng)接受知識(shí)的狀態(tài)，給學(xué)生一種抽象、深?yuàn)W的感覺，覺得學(xué)與不學(xué)都一樣。應(yīng)用型高校是以培養(yǎng)應(yīng)用型人才為目標(biāo)的，傳統(tǒng)的教學(xué)方式已然落后。應(yīng)用型人才培養(yǎng)目標(biāo)要求在教學(xué)中加強(qiáng)培養(yǎng)學(xué)生對(duì)知識(shí)的綜合應(yīng)用能力，注重?cái)?shù)學(xué)與其它學(xué)科之間的聯(lián)系[1]。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的目的是為了學(xué)以致用，必須培養(yǎng)學(xué)生利用理論知識(shí)解決實(shí)際問題的能力。因此，在應(yīng)用型高校的高等數(shù)學(xué)教學(xué)中穿插專業(yè)案例或?qū)嶋H案例是迫切需要的，這樣可以使學(xué)生更加明確學(xué)習(xí)目的，發(fā)揮自主性，提高知識(shí)的趣味性，激發(fā)學(xué)生不斷思考、提出問題，分析和解決問題的能力。

案例教學(xué)法是1870年由哈佛大學(xué)法學(xué)院院長首創(chuàng)，在工商管理等學(xué)科的教學(xué)中取得了巨大的成功[2]。案例教學(xué)其實(shí)就是一種過程和實(shí)踐教學(xué)，教師根據(jù)教學(xué)目的選用典型性、啟發(fā)性的案例作為教學(xué)材料，把學(xué)生引入一個(gè)特定情境中，通過師生之間雙向和學(xué)生之間多向互動(dòng)討論，讓學(xué)生了解與教學(xué)主題相關(guān)的概念或理論。傳統(tǒng)的課堂是著重于理論知識(shí)的傳授，案例教學(xué)則側(cè)重于培養(yǎng)學(xué)生通過分析、歸納出解決問題的思路和方法，把重視知識(shí)轉(zhuǎn)化為重視能力，同時(shí)又實(shí)現(xiàn)了師生的雙向交流。這種教學(xué)方式對(duì)教師和學(xué)生的要求都高，學(xué)生從被動(dòng)的聽講者轉(zhuǎn)變?yōu)榉e極的參與者。雖然一開始學(xué)生的學(xué)習(xí)效率可能有所降低，但是學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和對(duì)所學(xué)知識(shí)的理解和掌握程度會(huì)有明顯的提高[3]。

案例教學(xué)于1980年引入我國后，已經(jīng)在我國高校的管理、法律等專業(yè)的教學(xué)中得到了普遍程度的應(yīng)用。但是，案例教學(xué)在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用還處于起步階段。從目前收集到的資料來看，盡管許多數(shù)學(xué)教師已經(jīng)認(rèn)識(shí)到了案例教學(xué)的價(jià)值，但是發(fā)表的論文都是在說明案例教學(xué)對(duì)高等數(shù)學(xué)教學(xué)的必要性上，真正的教學(xué)案例確實(shí)還是不夠?qū)I(yè)和通俗易懂。

在高等數(shù)學(xué)中應(yīng)用案例教學(xué)，就必須了解案例教學(xué)的特點(diǎn)：案例教學(xué)的實(shí)踐性是由案例的真實(shí)性決定的，學(xué)生根據(jù)所學(xué)的知識(shí)在教師的指導(dǎo)下解決問題，實(shí)際上是學(xué)生對(duì)自己真實(shí)生活實(shí)踐的體驗(yàn)。在教學(xué)過程中，教師起著主導(dǎo)作用，學(xué)生是參與者，要充分發(fā)揮主觀能動(dòng)性[4]。

1 案例教學(xué)在高等數(shù)學(xué)中的實(shí)踐

1.1 選擇案例

高等數(shù)學(xué)不同于其它課程，并不是所有的內(nèi)容都適合案例教學(xué)，教師在上課前要精心選擇案例。如高等數(shù)學(xué)中的一些重要的概念，我們可以選取文化色彩濃厚或者學(xué)生熟悉的實(shí)際問題作案例：極限的概念可以用“割圓術(shù)”來引入說明；導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用可以用投籃的角度是多少時(shí)命中率最高的問題來體現(xiàn)；在極值部分可以選擇租賃公寓時(shí)怎樣才能達(dá)到最高收入作案例；在定積分部分可以組織學(xué)生建立一個(gè)交通流下黃燈閃爍時(shí)間的模型，培養(yǎng)他們將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)模型，從而應(yīng)用所學(xué)知識(shí)解決簡(jiǎn)單實(shí)際問題的能力；在一階微分方程部分可以結(jié)合我們?nèi)粘Ｉ钪械幕瘜W(xué)溶液混合配比和銀行利率增長問題；在級(jí)數(shù)部分可以以信息處理問題為背景，簡(jiǎn)單說明信號(hào)分析，密碼破譯的核心原理等。同時(shí)教師將數(shù)學(xué)與專業(yè)背景聯(lián)系起來，產(chǎn)生的教學(xué)效果就會(huì)更好，如給經(jīng)濟(jì)學(xué)專業(yè)學(xué)生上課時(shí)，選擇一些關(guān)于社會(huì)經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型，如經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)中價(jià)格漲幅對(duì)需求和利潤的影響可以用一元函數(shù)的極限與導(dǎo)數(shù)問題來解釋[5]。在案例的選取上，教師一定要把握好尺度，給出的數(shù)學(xué)問題要有探究性。案例太復(fù)雜，或者太簡(jiǎn)單，都不能調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性，更不能起到鍛煉學(xué)生邏輯思維能力的作用。

1.2 分析案例

高等數(shù)學(xué)中的概念、定理等有著很強(qiáng)的邏輯性和抽象性，因此，師生都要做好充分的準(zhǔn)備。教師可以在授課前，將案例材料交給學(xué)生，并由教師提出針對(duì)性的問題，給學(xué)生時(shí)間去查找資料，在講授內(nèi)容時(shí)，根據(jù)學(xué)生實(shí)際情況合理分組，并引導(dǎo)學(xué)生積極思考討論，讓學(xué)生闡述自己的想法主動(dòng)學(xué)習(xí)。在這個(gè)過程中，教師應(yīng)有效地控制課堂氣氛，把握討論主題和節(jié)奏，及時(shí)調(diào)整補(bǔ)充教學(xué)方案。在學(xué)生的討論結(jié)果中，教師應(yīng)依據(jù)本節(jié)課的教學(xué)目的，通過分析、比較選擇最佳答案?jìng)魇趯W(xué)生。并且要對(duì)學(xué)生的表現(xiàn)做出積極的評(píng)價(jià)，以激勵(lì)下次更好地參與[6]。

1.3 歸納推廣案例

教師可以再列舉一些類似的案例，讓學(xué)生對(duì)比幾個(gè)案例的共同點(diǎn)，歸納提煉出新的數(shù)學(xué)概念和方法。讓學(xué)生在案例分析的基礎(chǔ)上把基本原理和概念掌握好，從而具備能運(yùn)用理論知識(shí)分析解決實(shí)際問題的能力。

1.4 評(píng)估教學(xué)效果

要求教師對(duì)課堂效果及時(shí)進(jìn)行評(píng)估，包括案例是否具有代表性，能否準(zhǔn)確反應(yīng)理論知識(shí)點(diǎn)，還有學(xué)生對(duì)已學(xué)知識(shí)的延展性，重點(diǎn)是學(xué)生對(duì)教學(xué)的參與熱情，能夠自己發(fā)現(xiàn)規(guī)律并能引申理論知識(shí)[7]。

2 案例教學(xué)中需要解決的關(guān)鍵問題

目前，我們進(jìn)行案例教學(xué)需要解決的關(guān)鍵問題有三個(gè)方面。

首先，由于高等數(shù)學(xué)的案例教學(xué)處于實(shí)驗(yàn)階段，案例庫匱乏。我們要結(jié)合應(yīng)用型院校的實(shí)際情況，深入研究專業(yè)教學(xué)大綱，選擇或者編制符合教學(xué)目的，適合學(xué)生討論，便于理解的典型案例。再者，案例應(yīng)具有真實(shí)性、啟發(fā)性和趣味性。要經(jīng)常對(duì)案例庫進(jìn)行更新和維護(hù)，滿足專業(yè)需要，做到與時(shí)俱進(jìn)，完成案例庫的建設(shè)。

其次，案例教學(xué)對(duì)教師要求較高，需要教師具有很好地知識(shí)結(jié)構(gòu)和教學(xué)能力，能夠在教學(xué)中結(jié)合專業(yè)和學(xué)生的實(shí)際情況進(jìn)行教學(xué)。但是多數(shù)高校高等數(shù)學(xué)教師都是數(shù)學(xué)專業(yè)畢業(yè)直接走上講臺(tái)，其它學(xué)科背景知識(shí)不足，在案例教學(xué)中不能起到主導(dǎo)作用，臨場(chǎng)應(yīng)變能力和組織管理課堂能力不行，這就求教師從多方面提高自己的綜合水平，大膽創(chuàng)新，積極實(shí)踐，不斷完善自我。

最后，由于學(xué)校培養(yǎng)機(jī)制的影響，具體起來不好實(shí)施，如現(xiàn)在由于應(yīng)用型大學(xué)的改革，公共基礎(chǔ)課課時(shí)減少，很難在有限的課時(shí)內(nèi)全面開展案例教學(xué)，我們只能選取有代表性的知識(shí)點(diǎn)利用案例教學(xué)，并且將其它教學(xué)方法參與其中靈活應(yīng)用，力求獲得最大的效果。

3 對(duì)零點(diǎn)定理進(jìn)行案例式教學(xué)示范

零點(diǎn)定理：函數(shù)在閉區(qū)間[，]上連續(xù)，并且，則在（，）內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得。

由教師提出引例：假設(shè)有一個(gè)邊界、形狀任意且底面和表面都水平的蛋糕，問是否存在一個(gè)點(diǎn)，在這個(gè)點(diǎn)處切一刀可以把蛋糕分成兩塊面積相等的部分。

我們可以把問題歸結(jié)為把一個(gè)多邊形面積二等分的問題。用一條直線從左到右掃過整個(gè)多邊形，則位于直線左側(cè)的面積由0逐漸增大，直線右側(cè)的面積則逐漸減少。若把直線左側(cè)的面積記為，直線右側(cè)的面積記為，則隨著直線位置的變化，的值在某個(gè)點(diǎn)之前是負(fù)數(shù)，某個(gè)點(diǎn)之后是正數(shù)，它一定經(jīng)過了一個(gè)點(diǎn)，使得。通過對(duì)這個(gè)實(shí)際問題的探討，既可以讓學(xué)生學(xué)習(xí)了零點(diǎn)定理，又將知識(shí)加以應(yīng)用。同時(shí)為了拓展學(xué)生的知識(shí)面還可以讓學(xué)生思考日常生活中的其它例子，最后教師給出以下兩個(gè)問題，一是拉一根橡皮筋，一頭朝左，同時(shí)另一頭朝右，在橡皮筋不拉斷的情況下，橡皮筋上總有一點(diǎn)在它原來的位置不動(dòng)；二是把椅子放在不平的地面上，通常三條腿著地，一條腿不著地，只需將它旋轉(zhuǎn)幾下就四條腿著地了。這些生活中很常見的問題平時(shí)很少有人去深入地思考，以此例可以引導(dǎo)學(xué)生多觀察生活，多動(dòng)腦思考問題。

為適應(yīng)應(yīng)用型高校創(chuàng)新人才培養(yǎng)的課程體系的改革需要，教學(xué)實(shí)踐表明在傳統(tǒng)的高等數(shù)學(xué)教學(xué)方法中結(jié)合學(xué)生的專業(yè)知識(shí)，適當(dāng)?shù)剡\(yùn)用案例教學(xué)，搭建理論聯(lián)系實(shí)際的平臺(tái)，讓數(shù)學(xué)學(xué)以致用，能夠激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，最終取得良好的教學(xué)效果。

【參考文獻(xiàn)】

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[5]董慶華.“高等數(shù)學(xué)”課程的案例教學(xué)實(shí)踐[J].紡織服裝教育，2013（1）.

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[7]孫秀娟，王新霞，王春.高等數(shù)學(xué)案例教學(xué)法[J].高師理科學(xué)刊，2012（3）.