王偉芳

?

關(guān)于數(shù)學(xué)分析課程教學(xué)的探討

王偉芳

（唐山師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)系，河北 唐山 063000）

對(duì)數(shù)學(xué)分析課程教師教學(xué)方法和學(xué)生學(xué)習(xí)方法進(jìn)行了探討，重點(diǎn)給出了學(xué)習(xí)共同體在數(shù)學(xué)分析課程中實(shí)施方案。

學(xué)習(xí)共同體；教學(xué)方法；學(xué)習(xí)方法

1 研究現(xiàn)狀及意義

微積分主要是為了解決曲線的切線、曲率、曲線長(zhǎng)、曲線圍成的面積、曲面圍成的體積等幾何問(wèn)題而產(chǎn)生的，這就注定了其與數(shù)學(xué)分析與解析幾何兩門課程的密切聯(lián)系。數(shù)學(xué)分析課程的主要內(nèi)容分為極限理論、微分學(xué)、積分學(xué)和級(jí)數(shù)理論四大部分；解析幾何課程的主要內(nèi)容是向量代數(shù)以及空間線、面等圖形性質(zhì)。這兩門課程的內(nèi)容有著緊密的聯(lián)系，體現(xiàn)為：（1）數(shù)學(xué)分析中的許多定義定理都有幾何意義；（2）幾何觀察有助于數(shù)學(xué)分析問(wèn)題的解決；（3）數(shù)學(xué)分析尤其是多元函數(shù)積分學(xué)部分的學(xué)習(xí)離不開解析幾何的知識(shí)。牢固的解析幾何基礎(chǔ)可以幫助學(xué)生準(zhǔn)確找出積分區(qū)域在坐標(biāo)系中的位置，從而把多元函數(shù)的積分逐步轉(zhuǎn)化為定積分來(lái)求解。多數(shù)學(xué)校的數(shù)學(xué)分析課程多元函數(shù)積分學(xué)部分安排在第3學(xué)期，而解析幾何的課程安排在第1學(xué)期。

筆者對(duì)唐山師范學(xué)院數(shù)學(xué)系大二學(xué)生進(jìn)行了調(diào)查，調(diào)查顯示：在學(xué)習(xí)多元函數(shù)積分學(xué)時(shí)，大多數(shù)學(xué)生解析幾何的知識(shí)不足以理解數(shù)學(xué)分析的內(nèi)容。如果在數(shù)學(xué)分析講授過(guò)程中穿插幾何知識(shí)，一方面受到數(shù)學(xué)分析課時(shí)的限制，另一方面也會(huì)沖淡數(shù)學(xué)分析的主線。如果不補(bǔ)充相關(guān)內(nèi)容，學(xué)生在將多元函數(shù)積分轉(zhuǎn)化為定積分時(shí)又有困難。

2 數(shù)學(xué)分析課程教法探討

教學(xué)是教與學(xué)的有機(jī)結(jié)合，在教學(xué)過(guò)程中，教師起主導(dǎo)作用，而學(xué)生則處于主體地位。學(xué)習(xí)主體的主動(dòng)努力程度往往決定其學(xué)習(xí)效果。因此，提高學(xué)生的參與度是提高教學(xué)效果的重要方面。傳統(tǒng)課堂講授中學(xué)生參與度相對(duì)較低，組建學(xué)習(xí)小組能使更多同學(xué)參與進(jìn)來(lái)。

2.1 學(xué)習(xí)共同體建設(shè)

2.1.1 學(xué)習(xí)共同體

學(xué)習(xí)共同體是由學(xué)生和教師共同組成的，以完成共同的學(xué)習(xí)任務(wù)為載體，以促進(jìn)成員全面成長(zhǎng)為目的，強(qiáng)調(diào)在學(xué)習(xí)過(guò)程中以相互作用式的學(xué)習(xí)觀作指導(dǎo)，通過(guò)人際溝通、交流和分享各種學(xué)習(xí)資源而相互影響、相互促進(jìn)的基層學(xué)習(xí)集體。

數(shù)學(xué)分析課程多元函數(shù)積分學(xué)的學(xué)習(xí)，需要學(xué)生具體學(xué)習(xí)：

（1）曲線/曲面在空間直角坐標(biāo)系下的圖形與其方程的對(duì)應(yīng)關(guān)系；

（2）求空間區(qū)域在某坐標(biāo)面上的投影區(qū)域。

2.1.2 數(shù)學(xué)分析課程中學(xué)習(xí)共同體的探索與實(shí)施

學(xué)生總結(jié)環(huán)節(jié)：全班同學(xué)以小組為單位總結(jié)解析幾何知識(shí)，重點(diǎn)討論如何由曲線/曲面的方程得到其在空間直角坐標(biāo)系下的圖形，以及如何根據(jù)圖形的特征得到其方程。

圖1、圖2、圖3及圖4是唐山師范學(xué)院數(shù)學(xué)系2016級(jí)數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)部分學(xué)生的作業(yè)展示。

圖1 學(xué)生的作業(yè)（1）

圖2 學(xué)生的作業(yè)（2）

圖3 學(xué)生的作業(yè)（3）

圖4 學(xué)生的作業(yè)（4）

教師提問(wèn)環(huán)節(jié)：學(xué)生完成總結(jié)后，進(jìn)一步提出思考題，由若干曲面圍成的空間體在空間直角坐標(biāo)系中的圖形，并求其在平面的投影。

學(xué)生講解環(huán)節(jié)：課上組內(nèi)討論3 min，然后推舉一人上臺(tái)講解求投影區(qū)域的過(guò)程。

教師總結(jié)環(huán)節(jié)：掌握了曲線/曲面方程在空間坐標(biāo)系中的圖形，再由它們圍成曲面/空間體是容易的。下面重點(diǎn)總結(jié)空間區(qū)域在坐標(biāo)面上的投影問(wèn)題，假設(shè)空間區(qū)域由兩個(gè)曲面

與

圍成。

聯(lián)立兩曲面方程得兩曲面的相交曲線C；

過(guò)曲線向平面做柱面：從兩曲面方程中消去，得到關(guān)于，的方程

即為過(guò)曲線向平面做柱面；求曲線在平面的投影曲線：

求投影區(qū)域：投影曲線

圍成的區(qū)域即為由兩個(gè)曲面

與

圍成的空間區(qū)域在平面上的投影區(qū)域[1]。

通過(guò)教師總結(jié)環(huán)節(jié)，學(xué)生能深刻理解解題過(guò)程，并能從中學(xué)會(huì)概括總結(jié)的方法。整個(gè)過(guò)程充分調(diào)動(dòng)了每個(gè)學(xué)生的積極性，又培養(yǎng)了學(xué)生的合作意識(shí)和團(tuán)隊(duì)精神。通過(guò)前期的充分準(zhǔn)備，多數(shù)學(xué)生在解決多元函數(shù)積分學(xué)問(wèn)題時(shí)能快速勾勒出大致圖像，迅速得出投影區(qū)域，再結(jié)合多元函數(shù)的積分轉(zhuǎn)化為定積分的方法，就能很好地解決多元函數(shù)的積分問(wèn)題。

學(xué)生在中學(xué)階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)基本都有相對(duì)固定的模式，而到了大學(xué)階段，數(shù)學(xué)分析的內(nèi)容多，課時(shí)周期長(zhǎng)，技巧靈活，理論性強(qiáng)，沒(méi)有一定的學(xué)習(xí)方法，學(xué)習(xí)難度很大。

2.2 幾何意義法

數(shù)學(xué)分析中的許多定理都有幾何意義，理解定理的幾何意義有助于掌握定理的內(nèi)容。如羅爾中值定理的幾何意義是滿足定理?xiàng)l件的曲線有平行于軸的切線[2,p122]；積分第一中值定理的幾何意義是由=，=，=()，（()≥0）以及軸所圍曲邊梯形的面積等于某個(gè)長(zhǎng)方形的面積[2,p220]等。

2.3 幾何觀察法

一提到幾何觀察法，我們可能首先想到的是在證明拉格朗日中值定理時(shí)輔助函數(shù)的構(gòu)造，通過(guò)從幾何直觀上分析拉格朗日中值定理的條件和結(jié)論，就不難構(gòu)造出滿足羅爾中值定理?xiàng)l件的函數(shù)。事實(shí)上，很多結(jié)論的得到都依賴于幾何觀察，比如要證黎曼函數(shù)()在無(wú)理點(diǎn)處連續(xù)，對(duì)，首先找出使得

的所有有理點(diǎn)1，2，……，x，然后通過(guò)在數(shù)軸上標(biāo)注這些有理點(diǎn)，就能很容易地得到的取法。此外，函數(shù)極限的保號(hào)性等結(jié)論都可以借助數(shù)軸來(lái)理解。

基于以上教學(xué)方法，結(jié)合幾何學(xué)科特點(diǎn)，可適當(dāng)運(yùn)用多媒體輔助教學(xué)。一方面，可以將抽象的知識(shí)具體化，使學(xué)生對(duì)知識(shí)有直觀的印象，優(yōu)化教學(xué)效果；另一方面，能使學(xué)生看到圖文并茂、視聽一體的交互式集成信息，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣；此外，大大精簡(jiǎn)板書畫圖的過(guò)程，有效利用課程時(shí)間，優(yōu)化教學(xué)設(shè)計(jì)。

3 數(shù)學(xué)分析課程學(xué)法探討

數(shù)學(xué)分析作為數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)時(shí)最多的課程，其基本知識(shí)、基本理論和基本方法是學(xué)生分析和解決問(wèn)題的基礎(chǔ)。而準(zhǔn)確理解掌握三基，單憑識(shí)記往往是不夠的。初學(xué)者對(duì)知識(shí)的理解不會(huì)特別深刻，教師在講授課程內(nèi)容的同時(shí)，提示一些記憶的方法，有利于學(xué)生對(duì)知識(shí)的掌握。

3.1 聯(lián)想記憶法

數(shù)學(xué)分析的內(nèi)容雖多，但很多內(nèi)容都是類似的。比如數(shù)學(xué)分析中多次出現(xiàn)收斂的概念，具體包括數(shù)列收斂、函數(shù)收斂、反常積分收斂、數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂與一致收斂、含參量反常積分的收斂。每種收斂的判別都有柯西收斂準(zhǔn)則，在教學(xué)過(guò)程中讓學(xué)生觀察收斂的定義和柯西收斂準(zhǔn)則的異同，以后根據(jù)收斂的定義，學(xué)生就能準(zhǔn)確寫出相應(yīng)的柯西準(zhǔn)則。

再如數(shù)學(xué)分析中四次出現(xiàn)阿貝爾和迪利克雷判別法，其中兩個(gè)與積分有關(guān)，兩個(gè)與級(jí)數(shù)有關(guān)。以積分的阿貝爾和迪利克雷判別法為例，定理的結(jié)論都是兩個(gè)函數(shù)乘積的無(wú)窮積分收斂（一致收斂），條件一是關(guān)于其中一個(gè)函數(shù)的無(wú)窮積分的，條件二是關(guān)于另一個(gè)函數(shù)的，單獨(dú)的函數(shù)都要求單調(diào)（因?yàn)橐\(yùn)用積分第二中值定理）。如果把定理的條件結(jié)論放在一起記憶，效果更佳。

3.2 思維導(dǎo)圖

數(shù)學(xué)知識(shí)系統(tǒng)的訓(xùn)練還需要自己進(jìn)行歸納總結(jié)，確保知識(shí)點(diǎn)的全面與完整，明確知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系，以便保證知識(shí)點(diǎn)的理解和應(yīng)用。以小組為單位，做章節(jié)思維導(dǎo)圖，首先提煉章的主題，形成中心詞，接下來(lái)提煉節(jié)的主題，形成關(guān)鍵詞，然后構(gòu)建中心詞與關(guān)鍵詞、關(guān)鍵詞與關(guān)鍵詞的聯(lián)系，在此基礎(chǔ)上，再補(bǔ)充細(xì)節(jié)。思維導(dǎo)圖可以使學(xué)生明確課程內(nèi)容的結(jié)構(gòu)、知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系，為分析解決問(wèn)題提供理論基礎(chǔ)。同時(shí)，在這個(gè)過(guò)程中也能充分發(fā)揮學(xué)習(xí)共同體的作用，促進(jìn)學(xué)生合作學(xué)習(xí)的可持續(xù)發(fā)展。

[1] 范秋君.漫談數(shù)學(xué)分析中的曲線與曲面[M].北京:高等教育出版社,2001:1-113.

[2] 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析[M].北京:高等教育出版社,2010.

On the Teaching of Mathematical Analysis Course

WANG Wei-fang

(Department of Mathematics and Information Science, Tangshan Normal University, Tangshan 063000, China)

This paper probes into the teaching methods of teachers and the learning methods of students in the course of mathematical analysis, and puts emphasis on the implementation plan of the learning community in the course of mathematical analysis.

learning community; teaching methods; learning methods

O171

A

1009-9115(2019)03-0107-04

10.3969/j.issn.1009-9115.2019.03.028

唐山師范學(xué)院教育教學(xué)改革項(xiàng)目（2017001009）

2018-09-03

2019-03-11

王偉芳（1984-），女，河北定州人，碩士，講師，研究方向?yàn)樾〔ǚ治觥?/p>

（責(zé)任編輯、校對(duì)：趙光峰）