□ 吳麗明

有幸拜讀了《教學(xué)月刊·小學(xué)版（數(shù)學(xué)）》2018年第11期鄭倩和郜舒竹兩位老師的文章《數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的直覺和誤解》，頗受啟發(fā)。筆者在教學(xué)實(shí)踐中也經(jīng)常遇到這類錯(cuò)誤。下面試圖用“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域中某些典型的直覺性錯(cuò)誤案例，展開對(duì)學(xué)生心理思維的診斷分析，并提出防止這類錯(cuò)誤發(fā)生的教學(xué)策略。

一、“數(shù)字湊整去尾”導(dǎo)致直覺性計(jì)算錯(cuò)誤分析及建議

【案例分析】

“數(shù)字湊整去尾”指的是在計(jì)算整數(shù)、小數(shù)加減法時(shí)，數(shù)據(jù)的尾數(shù)相加正好能湊成“10”，相減正好得“0”。我們來看學(xué)生的一個(gè)錯(cuò)例（如圖1）。此題來自于五上年級(jí)小數(shù)四則計(jì)算，出錯(cuò)率為20%（全班30名學(xué)生）。為了弄清原委，筆者對(duì)出錯(cuò)的學(xué)生進(jìn)行了訪談，回答出奇地一致：“我沒仔細(xì)看，一看到兩個(gè)5剛好湊10一起相加，就加了。”

圖1

學(xué)生的說法給了這類直覺性錯(cuò)誤“合理性”，當(dāng)學(xué)生面對(duì)能夠“湊整或去尾”的計(jì)算題時(shí)，數(shù)字起到了誘導(dǎo)作用，在學(xué)生的大腦中會(huì)調(diào)度出“湊整”或“去尾”的表象，進(jìn)而用這些表象進(jìn)行思維，做出破壞計(jì)算規(guī)則的判斷。“湊整去尾”比規(guī)則刺激強(qiáng)烈，從而導(dǎo)致學(xué)生對(duì)“規(guī)則”的熟視無睹，“直覺”就告知錯(cuò)誤答案。

【教學(xué)策略】引導(dǎo)反思，從認(rèn)知到元認(rèn)知

從案例中可以看出，“數(shù)字特征”誘導(dǎo)及心理準(zhǔn)備不足是此類錯(cuò)誤產(chǎn)生的主要原因，為糾正與防止這類錯(cuò)誤的發(fā)生，筆者采用了以下三種教學(xué)策略：題組訓(xùn)練—對(duì)比反思—舉一反三。

1.題組訓(xùn)練。這類“數(shù)字誘導(dǎo)”性直覺錯(cuò)誤往往在題量少或者單獨(dú)出現(xiàn)的時(shí)候不容易錯(cuò)，所以，事先鋪設(shè)“題組”，將“湊整去尾”計(jì)算題型放置在題組中出現(xiàn)，讓學(xué)生從集體的高頻出錯(cuò)率中主動(dòng)發(fā)現(xiàn)差異，引起心理注意。比如案例中的（2.5+5）×4，看似很簡單的題目錯(cuò)誤率卻很高，當(dāng)筆者把錯(cuò)題投影出現(xiàn)的時(shí)候，學(xué)生自己都很“驚訝”。

2.對(duì)比反思。對(duì)比反思是指讓學(xué)生通過對(duì)比，反思計(jì)算過程的正確與錯(cuò)誤。比如針對(duì)上面案例中的錯(cuò)誤，筆者設(shè)計(jì)了如下導(dǎo)語，讓學(xué)生明白根源。

師：2.5+5有六位同學(xué)算成了3，但在3+0.3這題上卻沒有出現(xiàn)同樣的錯(cuò)誤。為什么同樣的題型，偏偏就這題錯(cuò)了呢？你是怎么想的呢？

生：（恍然大悟）5和5正好湊整，自然而然就加了，上當(dāng)了，而另外一道3和3不湊整，就不會(huì)這樣去想了。

這樣的對(duì)比反思過程，有利于學(xué)生對(duì)不同類型的計(jì)算題運(yùn)用正確的計(jì)算策略。

3.舉一反三。讓學(xué)生通過這個(gè)錯(cuò)例，去思考分析哪些題目也可能會(huì)犯同樣的錯(cuò)誤，以起到舉一反三的防止作用。針對(duì)上面的案例，教師繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生思考，平時(shí)還有哪些計(jì)算也是數(shù)字干擾你出錯(cuò)呢？通過回顧，學(xué)生舉出了不少錯(cuò)例，如：3.2-2=3,0.11-0.1=0.1，0.16÷4=0.4，等等。這說明此時(shí)學(xué)生已經(jīng)有了主動(dòng)監(jiān)控思維的準(zhǔn)備，當(dāng)再次面對(duì)數(shù)字誘導(dǎo)時(shí)，自然就能避免直覺產(chǎn)生的錯(cuò)誤。

二、“整數(shù)固有觀念”導(dǎo)致直覺性認(rèn)識(shí)錯(cuò)誤分析及建議

【案例分析】

圖2

四則運(yùn)算中整數(shù)固有觀念“總數(shù)÷份數(shù)=每份數(shù)，‘每份數(shù)’肯定小于‘總數(shù)’”就是較為典型的“整數(shù)觀念”直覺認(rèn)識(shí)，下題（如圖2）是一個(gè)直覺錯(cuò)例（浙教版五年級(jí)上冊）：用面積除以總噸數(shù)，出錯(cuò)率為13.3%（全班30名學(xué)生）。訪談中筆者問學(xué)生：“你本來列的數(shù)量關(guān)系是對(duì)的，怎么又劃去了呢？”學(xué)生回答：“算了以后發(fā)現(xiàn)結(jié)果比9.9噸還大了，覺得‘每份數(shù)’肯定要比‘總數(shù)’小，所以我就想是不是要反過來除。”

學(xué)生的說法揭示了錯(cuò)誤的“合理性”，“整數(shù)固有觀念”除法里“每份數(shù)”一定比“總數(shù)”要小，當(dāng)出現(xiàn)“每公頃的數(shù)量”比“總噸數(shù)”還大的時(shí)候就認(rèn)為數(shù)量關(guān)系錯(cuò)了。

【教學(xué)策略】預(yù)見“錯(cuò)誤”，從直覺到“自覺”

從案例中可以看出，對(duì)“整數(shù)固有觀念”的錯(cuò)誤認(rèn)知是產(chǎn)生此類錯(cuò)誤的根本原因。為了糾正觀念，防止錯(cuò)誤，教師要有充分預(yù)見，教學(xué)時(shí)可采用“條件互逆—辯論說理—類比尋源”的策略。

1.條件互逆。對(duì)于給定的兩個(gè)條件A和B，經(jīng)常同時(shí)提出兩個(gè)互為“被除數(shù)和除數(shù)”的問題。筆者對(duì)教材中的練習(xí)進(jìn)行加工，如“在占地0.025公頃的果園里，有125棵蘋果樹，平均每棵樹占地多少平方米”這一題，可以增加一個(gè)條件互逆問題“平均每平方米種蘋果樹多少棵”。雖然都是除法，但通過條件互逆，學(xué)生就會(huì)去想每一個(gè)除法結(jié)果的意義所在，弱化整數(shù)除法里“每份數(shù)比總數(shù)小”的觀念。

2.辯論說理?！罢麛?shù)固有觀念”被學(xué)生沖動(dòng)地錯(cuò)誤使用，還在于學(xué)生對(duì)算理和數(shù)量關(guān)系不明晰，缺少從意義上的深入思考，對(duì)此，筆者針對(duì)此案例中的錯(cuò)誤進(jìn)行了辯論說理的“補(bǔ)救”措施，通過爭鳴，把“理”給越辯越明。

師：M同學(xué)將對(duì)改錯(cuò)，認(rèn)為總噸數(shù)除以公頃數(shù)后的“每份數(shù)”一定小于總噸數(shù)。這種觀點(diǎn)錯(cuò)在哪里？請(qǐng)你結(jié)合題意來說一說。

生：（從意義理解）因?yàn)楸怀龜?shù)9.9噸是0.81（正確應(yīng)為0.825）公頃土地的產(chǎn)量，也就是說1公頃不到就產(chǎn)了9.9噸，那么1公頃產(chǎn)多少，肯定要比9.9噸多。

生：地多了，產(chǎn)量肯定也大了，求出來多才對(duì)，少了肯定不對(duì)，不應(yīng)該改。

通過辯論和理性思考，在一定程度上可以抑制固有觀念的直覺沖動(dòng)。

3.類比尋源。錯(cuò)例辨析后，繼續(xù)讓學(xué)生對(duì)“整數(shù)固有觀念”進(jìn)行尋思。教師提問：“還有哪些整數(shù)范圍里的規(guī)律，在小數(shù)中運(yùn)用好像不對(duì)了？”學(xué)生從錯(cuò)題本上陸續(xù)找出了“例證”。比如整數(shù)“乘法總是越乘越大，除法總是越除越小”，但是小數(shù)就不是這樣，并舉例0.8÷0.95和0.8的大小比較時(shí)，很容易認(rèn)為除了就小了。通過小組討論，最后學(xué)生用計(jì)算驗(yàn)證、畫圖示意等各種方法逐漸明了這個(gè)規(guī)律只有在除數(shù)是大于1時(shí)才會(huì)成立。

三、“計(jì)算及結(jié)果可能性”引起的直覺性判斷錯(cuò)誤分析及建議

【案例分析】

用所列算式“能否進(jìn)行四則運(yùn)算”“結(jié)果是否整除、除盡”等直覺來判斷數(shù)量關(guān)系的對(duì)與錯(cuò)。此類錯(cuò)誤年級(jí)越低越突出，新知學(xué)習(xí)之初更明顯。請(qǐng)看以下一題。此題來自二上年級(jí)的題組測試對(duì)比。

第（一）組學(xué)校有兩排房子，東邊排有8個(gè)教室，比西邊排教室少4個(gè)，西邊排教室有幾個(gè)？第（二）組學(xué)校有兩排房子，東邊排有8個(gè)教室，比西邊排教室少10個(gè)，西邊排教室有幾個(gè)？

結(jié)果顯示，數(shù)量關(guān)系相同的情況下，“數(shù)字能夠進(jìn)行四則運(yùn)算”比不能任意進(jìn)行計(jì)算的錯(cuò)誤率高20%以上。

訪談時(shí)，筆者問學(xué)生：“右邊這題也有‘少’字，怎么就發(fā)現(xiàn)是用‘加’呢？”學(xué)生回答：“一開始，我也是用減的，但是8-10不能減，所以想肯定不是減，再看了一下，是加?！?/p>

【教學(xué)策略】回歸“原點(diǎn)”，化直覺為推理

此案例說明學(xué)生面對(duì)問題，不是根據(jù)數(shù)量關(guān)系來推理出算式，而是憑數(shù)字計(jì)算直覺做出推論，因此學(xué)會(huì)分析推理是關(guān)鍵。筆者在教學(xué)中據(jù)此實(shí)施“符號(hào)化—回歸‘原點(diǎn)’分析—問題出發(fā)‘推理’”三大策略，收到一定成效。

2.回歸“原點(diǎn)”分析。當(dāng)學(xué)生出現(xiàn)錯(cuò)誤后，每次都帶領(lǐng)學(xué)生回歸“概念”“關(guān)系”這一“原點(diǎn)”，不是簡單地就錯(cuò)論錯(cuò)。針對(duì)案例中的題目，引導(dǎo)學(xué)生回歸關(guān)鍵句“誰多誰少”這一“原點(diǎn)”上來。

師：求的是哪邊的教室？

師：西邊教室和誰比呢？是多還是少？

師：題目中不是有“少”字嗎？怎么是“多”了？你怎么發(fā)現(xiàn)的？

師：你可以畫個(gè)圖給大家看看嗎？到底哪邊教室多，才符合題目意思？

……

如果每次分析錯(cuò)誤，教師都能帶領(lǐng)學(xué)生找到“原點(diǎn)”，從“原點(diǎn)”出發(fā)進(jìn)行思考，久而久之，學(xué)生就會(huì)養(yǎng)成清晰的分析思路，從而避免用直覺解決問題。

與正規(guī)金融相比，非正規(guī)金融土生土長，具有地緣、親緣和血緣等優(yōu)勢，收集和處理借款人的信息成本很低，能夠通過多種途徑及時(shí)地了解借款方的生產(chǎn)經(jīng)營狀況與還貸能力。尤其非正規(guī)金融手續(xù)簡便，借貸要求低，通常不需要提供擔(dān)保，融資靈活快捷，使得中小企業(yè)容易借得資金。因此，非正規(guī)金融能夠最大限度地滿足農(nóng)村中小企業(yè)的融資需求。

3.問題出發(fā)“推理”。在高年級(jí)，培養(yǎng)從問題出發(fā)的推理能力，是解決直覺性錯(cuò)誤的有效手段。我們再來看一個(gè)學(xué)生解決平均速度中常見的直覺錯(cuò)例（浙教版五年級(jí)上冊）。

對(duì)此，筆者帶著學(xué)生展開一次“問題出發(fā)的推理”，破解直覺性理解錯(cuò)誤。

師：要解決什么問題？根據(jù)速度、路程和時(shí)間的關(guān)系，數(shù)量關(guān)系應(yīng)該是什么？

師：回到題中尋找我們需要的路程和時(shí)間，你發(fā)現(xiàn)了什么？

師：缺少路程、時(shí)間，怎么辦？

師：兩個(gè)都要假設(shè)嗎？路程和時(shí)間，假設(shè)哪一個(gè)更好？

生：假設(shè)路程更好，因?yàn)樯舷缕碌穆烦淌且粯拥摹?/p>

經(jīng)過推理分析后，筆者把情境變換成“單價(jià)”“工效”，在后續(xù)測評(píng)時(shí)發(fā)現(xiàn)學(xué)生的解題正確率大大提高了，這說明學(xué)生已經(jīng)從直覺判斷回歸到分析推理這一正確的軌道上來，不再憑直覺用“速度和除以2”計(jì)算。

“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域的直覺錯(cuò)誤現(xiàn)象存在于小學(xué)各個(gè)年級(jí)和各個(gè)知識(shí)學(xué)習(xí)階段，如果我們能夠不斷地從學(xué)生的錯(cuò)誤中進(jìn)行反思，不斷尋求解決問題的對(duì)策，那么學(xué)生的這種錯(cuò)誤率一定會(huì)降低，也一定會(huì)促進(jìn)他們更好地發(fā)展。