韋珍
一元二次方程是初中數學的重要內容,在數學競賽中經常出現.有些競賽題從表面上看不是一元二次方程的問題,但是通過轉化、變換,可以構造一元二次方程,并借助已熟悉的一元二次方程的知識及解題技巧,達到化難為易進而解決問題.下面以四道競賽題為例,介紹構造一元二次方程的幾種方法.
一、以根定義 巧構方程
例1 已知實數 ,且滿足 , ,則 .
分析 乍看這道題,好像要分別求出 和 ,若求 ,計算量非常大。我們只要將這兩個方程各自整理成一般式,再觀察所得的兩個方程的系數,不難發(fā)現,其本質上為同一個方程.
解 由已知得: 為方程 的兩個實數根,即為 的實數根;
所以 , ,可得:
所以,原式=
= .
二、二元禮讓 巧構方程
例 2 已知 都是整數,且 , ,求 的值.
分析 以上組合是三元二次方程組,若是直接求 的值,難度較大,不妨通過消元,整理成一個二元二次方程,再將其看成關于 的一元二次方程.
解 由 得 ;
將 代入 ,得: ;
整理得: ;
解得: ;
∵ 都是整數,
∴ 是完全平方數4;
∴ 只能取 ; ; ; ;
∴相對應 4;0;4;0;
故 5或-1或3或-3.
三、用判別式 巧構方程
例3 已知: 是完全平方式.求證: .
分析 題目中的完全平方式出現了四個字母,要直接應用它來證 ,相當難,但若將已知條件轉化成“關于 的一元二次方程 有兩個相等的實數根”,此題就非常簡單了.
證明 把已知代數式整理成關于 的二次三項式,得
原式= ,①
∵它是完全平方式,
∴關于 的一元二次方程 有兩個相等的實數根;
∴△=0.
即 .
整理得:
∴ ,
∴ .
要使等式成立,必須且只需: ,解得 .
四、根與系數 巧構方程
例4 已知實數 滿足: ,(1)求 中的最大者的最小值;(2)求 的最小值(2003年全國初中數學競賽試題).
分析 從形式上看,容易聯想到可以轉化為兩數和與兩數積的形式,這樣就可以根據根與系數的關系,構造一元二次方程來求解.
解 (1) 設 是最大者,由 ,可知 ,并可化為 , 由 可化為 ,因此,實數 可以看作關于 的一元二次方程 的兩個根,由 是實數,所以 ,得:
,即 , ,因c>0,
所以c+2>0,得(c-2)(c-4)≥0,解得:c≤2或c≥4,因為c是最大者,故c的最小值是4..
(2) 因為 ,
所以 .
故: 的最小值是6.