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一、參數(shù)方程的“一生一試”
參數(shù)方程的“一生一試”即題目里面已知條件是參數(shù)方程,由參數(shù)方程直接對準(zhǔn)問題的導(dǎo)向生成相應(yīng)的表達(dá)式一試即可解決,可稱為直譯型題。有時(shí)可生成極坐標(biāo)方程或者普通方程一試便可。
例1(2013年高考新課標(biāo)II卷)(23)已知動點(diǎn)P、Q都在曲線 ( 為參數(shù))上,對應(yīng)參數(shù)分別為 與 ,M為PQ的中點(diǎn).(1)求M的軌跡的參數(shù)方程;(2)將M到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離d表示為 的函數(shù),并判斷M的軌跡是否過坐標(biāo)原點(diǎn).
分析:此題是直譯型題,根據(jù)題目的已知條件翻譯成數(shù)學(xué)表達(dá)式,外加簡單運(yùn)算即可。
解:(1)依題意有 ,點(diǎn)M
M的軌跡的參數(shù)方程為 ( 為參數(shù),
(2)M點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離d= = 當(dāng) 時(shí),d=0,故M的軌跡過坐標(biāo)原點(diǎn)。
二、極坐標(biāo)方程的“一生一試”
極坐標(biāo)方程的“一生一試”即題目里面已知條件是極坐標(biāo)方程,由極坐標(biāo)方程直接生成參數(shù)方程或者普通方程一試便解決。
例2(2014年高考新課標(biāo)II卷)23. 在直角坐標(biāo)系 中,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸為極軸建立極坐標(biāo)系,半圓C的極坐標(biāo)方程為 , .(1)求C的參數(shù)方程;(2)設(shè)點(diǎn)D在C上,C在D處的切線與直線 垂直,根據(jù)(I)中你得到的參數(shù)方程,確定D的坐標(biāo).
分析:就是利用極坐標(biāo)方程生成普通方程(為橋梁)再生成參數(shù)方程便可解決問題。
解:(1)C的普通方程為 可得C的參數(shù)方程為 ( 為參數(shù), )
(2)設(shè) 由(I)知C是以 為圓心,1為半徑的上半圓,因?yàn)镃在點(diǎn)D處的切線與 垂直,所以直線GD與 的斜率相同。
故D的直角坐標(biāo)為 ,即
三、普通方程的的“一生一試”
普通方程的“一生一試”即題目里面已知條件是普通方程,由普通方程直接生成參數(shù)方程或極坐標(biāo)方程一試就可解決。
例3(2014年高考遼寧卷)23.將圓 上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)保持不變,縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍,得曲線C.(1)寫出C的參數(shù)方程;(2)設(shè)直線 與C的交點(diǎn)為 ,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸正半軸為極坐標(biāo)建立極坐標(biāo)系,求過線段 的中點(diǎn)且與 垂直的直線的極坐標(biāo)方程.
分析:(1)首先生成C的普通方程,利用三角代換即可;(2)先生成直線的普通方程再生成極坐標(biāo)方程,利用 即可。
解:(I)設(shè) 為圓上的點(diǎn),在已知變換下變?yōu)镃上點(diǎn) ,依題意,得
由 得 ,即曲線C的方程為 故C的參數(shù)方程為 ( 為參數(shù))
(2)由 與 解得: ,或
不妨設(shè) ,則線段 的中點(diǎn)坐標(biāo) ,所求直線斜率: ,于是所求直線方程為 ,化為極坐標(biāo)方程,并整理得 ,即
四、坐標(biāo)系與參數(shù)方程的“三生三試”
題目已知條件里面是參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程、普通方程至少占兩種,這種情況下就是互相生成或者說相互轉(zhuǎn)化,根據(jù)相應(yīng)的運(yùn)算性質(zhì)或者幾何意義試試即可解決。有趣的是2015、2016、2017年的考題已知條件都是參數(shù)方程和極坐標(biāo)方程的表達(dá)式,所以可以猜測2018出題導(dǎo)向,也是有可能命中考題的。
例6(2017年高考新課標(biāo)III卷)22.在直角坐標(biāo)系 中,直線 的參數(shù)方程為 ( 為參數(shù)),直線 的參數(shù)方程為 ( 為參數(shù)),設(shè) 與 的交點(diǎn)為P,當(dāng) 變化時(shí),P的軌跡為曲線C.(1)寫出C的普通方程:(2)以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn), 軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,設(shè) : , M為 與C的交點(diǎn),求M的極徑.
分析:(1) 與 的參數(shù)方程生成普通方程聯(lián)立即可解決;(2)將C的普通方程轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)方程后與 的極坐標(biāo)方程聯(lián)立即可。
解:(1)消去參數(shù) 得 的普通方程 ;消去參數(shù) 得 的普通方程 設(shè) ,由題設(shè)得 消去 得
所以C的普通方程為
(2)C的極坐標(biāo)方程為
聯(lián)立 得 故 ,從而
代入 得 ,所以交點(diǎn)M的極徑為
參數(shù)方程在高中的主要用途是處理動點(diǎn)的問題,比較常用的是代換橢圓和圓的方程,一般用在選做題上,所以一般都是比較簡單的。值得注意的是,如果遇到動點(diǎn)問題,當(dāng)你想不到什么方法好時(shí),可以考慮用參數(shù)方程。用參數(shù)方程求最值、距離、軌跡方程等,首先設(shè)參數(shù),其次消參數(shù),最后得問題答案。當(dāng)然參數(shù)方程解決數(shù)學(xué)問題是有針對性的,并不是一切數(shù)學(xué)問題都能用參數(shù)方程來解決,也并不是所有問題解決起來都簡便。不過高中階段參數(shù)方程局限于橢圓和圓,雙曲線或其他方程的參數(shù)方程比較復(fù)雜,通常不要求掌握,所以用途不太廣泛。它是一種解題的新思路、新方法,有時(shí)候可能會是一個(gè)不錯(cuò)的選擇。