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一、參數(shù)方程的“一生一試”

參數(shù)方程的“一生一試”即題目里面已知條件是參數(shù)方程，由參數(shù)方程直接對準(zhǔn)問題的導(dǎo)向生成相應(yīng)的表達(dá)式一試即可解決，可稱為直譯型題。有時(shí)可生成極坐標(biāo)方程或者普通方程一試便可。

例1（2013年高考新課標(biāo)II卷）（23）已知動點(diǎn)P、Q都在曲線 （ 為參數(shù)）上，對應(yīng)參數(shù)分別為 與 ，M為PQ的中點(diǎn).（1）求M的軌跡的參數(shù)方程；（2）將M到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離d表示為 的函數(shù)，并判斷M的軌跡是否過坐標(biāo)原點(diǎn).

分析：此題是直譯型題，根據(jù)題目的已知條件翻譯成數(shù)學(xué)表達(dá)式，外加簡單運(yùn)算即可。

解：（1）依題意有 ，點(diǎn)M

M的軌跡的參數(shù)方程為 （ 為參數(shù)，

（2）M點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離d= = 當(dāng) 時(shí)，d=0，故M的軌跡過坐標(biāo)原點(diǎn)。

二、極坐標(biāo)方程的“一生一試”

極坐標(biāo)方程的“一生一試”即題目里面已知條件是極坐標(biāo)方程，由極坐標(biāo)方程直接生成參數(shù)方程或者普通方程一試便解決。

例2（2014年高考新課標(biāo)II卷）23. 在直角坐標(biāo)系 中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸為極軸建立極坐標(biāo)系，半圓C的極坐標(biāo)方程為 ， .（1）求C的參數(shù)方程；（2）設(shè)點(diǎn)D在C上，C在D處的切線與直線 垂直，根據(jù)（I）中你得到的參數(shù)方程，確定D的坐標(biāo).

分析：就是利用極坐標(biāo)方程生成普通方程（為橋梁）再生成參數(shù)方程便可解決問題。

解：（1）C的普通方程為 可得C的參數(shù)方程為 （ 為參數(shù)， ）

（2）設(shè) 由（I）知C是以 為圓心，1為半徑的上半圓，因?yàn)镃在點(diǎn)D處的切線與 垂直，所以直線GD與 的斜率相同。

故D的直角坐標(biāo)為 ，即

三、普通方程的的“一生一試”

普通方程的“一生一試”即題目里面已知條件是普通方程，由普通方程直接生成參數(shù)方程或極坐標(biāo)方程一試就可解決。

例3（2014年高考遼寧卷）23.將圓 上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)保持不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，得曲線C.（1）寫出C的參數(shù)方程；（2）設(shè)直線 與C的交點(diǎn)為 ，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極坐標(biāo)建立極坐標(biāo)系，求過線段 的中點(diǎn)且與 垂直的直線的極坐標(biāo)方程.

分析：（1）首先生成C的普通方程，利用三角代換即可；（2）先生成直線的普通方程再生成極坐標(biāo)方程，利用 即可。

解：（I）設(shè) 為圓上的點(diǎn)，在已知變換下變?yōu)镃上點(diǎn) ，依題意，得

由 得 ，即曲線C的方程為 故C的參數(shù)方程為 （ 為參數(shù)）

（2）由 與 解得： ，或

不妨設(shè) ，則線段 的中點(diǎn)坐標(biāo) ，所求直線斜率： ，于是所求直線方程為 ，化為極坐標(biāo)方程，并整理得 ，即

四、坐標(biāo)系與參數(shù)方程的“三生三試”

題目已知條件里面是參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程、普通方程至少占兩種，這種情況下就是互相生成或者說相互轉(zhuǎn)化，根據(jù)相應(yīng)的運(yùn)算性質(zhì)或者幾何意義試試即可解決。有趣的是2015、2016、2017年的考題已知條件都是參數(shù)方程和極坐標(biāo)方程的表達(dá)式，所以可以猜測2018出題導(dǎo)向，也是有可能命中考題的。

例6（2017年高考新課標(biāo)III卷）22.在直角坐標(biāo)系 中，直線 的參數(shù)方程為 （ 為參數(shù)），直線 的參數(shù)方程為 （ 為參數(shù)），設(shè) 與 的交點(diǎn)為P，當(dāng) 變化時(shí)，P的軌跡為曲線C.（1）寫出C的普通方程：（2）以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)， 軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，設(shè) ： ， M為 與C的交點(diǎn)，求M的極徑.

分析：（1） 與 的參數(shù)方程生成普通方程聯(lián)立即可解決；（2）將C的普通方程轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)方程后與 的極坐標(biāo)方程聯(lián)立即可。

解：（1）消去參數(shù) 得 的普通方程 ；消去參數(shù) 得 的普通方程 設(shè) ，由題設(shè)得 消去 得

所以C的普通方程為

（2）C的極坐標(biāo)方程為

聯(lián)立 得 故 ，從而

代入 得 ，所以交點(diǎn)M的極徑為

參數(shù)方程在高中的主要用途是處理動點(diǎn)的問題，比較常用的是代換橢圓和圓的方程，一般用在選做題上，所以一般都是比較簡單的。值得注意的是，如果遇到動點(diǎn)問題，當(dāng)你想不到什么方法好時(shí)，可以考慮用參數(shù)方程。用參數(shù)方程求最值、距離、軌跡方程等，首先設(shè)參數(shù)，其次消參數(shù)，最后得問題答案。當(dāng)然參數(shù)方程解決數(shù)學(xué)問題是有針對性的，并不是一切數(shù)學(xué)問題都能用參數(shù)方程來解決，也并不是所有問題解決起來都簡便。不過高中階段參數(shù)方程局限于橢圓和圓，雙曲線或其他方程的參數(shù)方程比較復(fù)雜，通常不要求掌握，所以用途不太廣泛。它是一種解題的新思路、新方法，有時(shí)候可能會是一個(gè)不錯(cuò)的選擇。