付勝亮

(山東省臨沂第十八中學(xué) 276017)

一、特值優(yōu)先——絕招

特值策略是處理函數(shù)圖象類問題的“絕招”， 應(yīng)用這種策略時應(yīng)抓住函數(shù)解析式的特征，靈活選取函數(shù)圖象上的某些特殊點(diǎn)，加以對照，逐一排除，可迅速得到答案.

例1函數(shù)y=xcosx+sinx的圖象大致為( ).

解析當(dāng)x=π時，y=-π<0，排除A；

當(dāng)x=-π時，f(-π)=π>0，排除B.選D.

評析選取函數(shù)圖象中的特殊點(diǎn)時，還應(yīng)結(jié)合基本函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)某些性質(zhì)對函數(shù)圖象作出判斷.如本題可由函數(shù)為奇函數(shù)排除B.

二、函數(shù)性質(zhì)——基礎(chǔ)

熟練掌握函數(shù)的基本性質(zhì)如：定義域、值域、奇偶性、單調(diào)性、周期性、對稱性等，是解決函數(shù)圖象問題的基礎(chǔ).對于給出函數(shù)解析式，判斷其大致圖象的問題，應(yīng)優(yōu)先考慮函數(shù)的基本性質(zhì).

解析由函數(shù)為偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對稱，排除B、D；又cosx∈(0,1)，所以y<0，排除C.選A.

評析本題利用函數(shù)的奇偶性初步作出判斷，然后利用函數(shù)的值域得出結(jié)論.這種利用函數(shù)的多個性質(zhì)，綜合分析判斷是解決函數(shù)圖象問題的最基本的方法.

三、極限分析——輔助

當(dāng)選取函數(shù)圖象上的特殊點(diǎn)以及結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)不能解決問題時，往往選取函數(shù)圖象中的極限點(diǎn)，如x→0、x→+∞等，結(jié)合解析式得出函數(shù)圖象的變化趨勢，得到結(jié)論.

解析因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，所以圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，排除A；當(dāng)x趨向于+∞時，2x-2-x趨向于+∞，cos6x∈[-1,1]，所以y趨向于0，排除C；當(dāng)x從正方向趨向于0時，2x-2-x>0，cos6x>0，排除B.選D.

評析極限分析法往往是用無限趨近的思想，結(jié)合單調(diào)性、有界性、最值等作出判斷.

四、導(dǎo)數(shù)定性——精準(zhǔn)

導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的有力工具，利用導(dǎo)數(shù)可迅速地判斷出函數(shù)的單調(diào)性、極值以及圖象變化快慢程度，更精準(zhǔn)地判斷圖象，從而迅速得出答案.

例4 函數(shù)f(x)=(1-cosx)sinx在[-π,π]的圖象大致為( ).

f′(x)=cosx-cos2x=-2cos2x+cosx+1=-(cosx-1)(2cosx+1).

f′(x)>0?-(cosx-1)(2cosx+1)>0

評析本題利用特殊點(diǎn)及函數(shù)的性質(zhì)不能得出答案，需借助導(dǎo)數(shù)判斷極值點(diǎn)的位置方可.

五、圖象變換——簡化

熟練掌握基本初等函數(shù)的圖象，以及平移、對稱、伸縮、翻折、周期等圖象變換的方法和技巧，能快速地解決圖象變換類問題.

例5 已知定義在區(qū)間[0,2]上的函數(shù)y=f(x)的圖象如圖所示，則y=f(2-x)的圖象為( ).

解析y=f(2-x)的圖象是由函數(shù)y=f(x)的圖象先按照關(guān)于原點(diǎn)對稱得到，然后將函數(shù)的圖象向右平移2個單位即可，選B.

評析熟練掌握基本函數(shù)的圖象及幾種常見的圖象變換是解決好本題的關(guān)鍵.本題也可用特殊值解決.

六、趨勢變化——直覺

例6 小明騎車上學(xué),開始時勻速行駛，途中因交通堵塞停留了一段時間,后為了趕時間加快速度行駛. 與以上事件吻合得最好的圖象是( ).

解析開始時勻速行駛,此時對應(yīng)的圖象為直線，函數(shù)的圖象遞減.途中因交通堵塞停留了一段時間，此時到學(xué)校的距離為常數(shù)，加速行駛時對應(yīng)的圖象為直線，但要比開始時陡一些.選C.

評析本題需理解橫縱坐標(biāo)的含義，結(jié)合實(shí)際意義分析出函數(shù)的圖象是直線，理解圖象的變化情況是解題的關(guān)鍵.

七、函數(shù)導(dǎo)數(shù)對照——熱點(diǎn)

由導(dǎo)函數(shù)的圖象得出原函數(shù)圖象的大致變化情況，或由原函數(shù)的圖象得到導(dǎo)函數(shù)的圖象，是高考的重點(diǎn)和熱點(diǎn)問題.由導(dǎo)數(shù)值的正負(fù)確定原函數(shù)的單調(diào)性，由導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)確定原函數(shù)的極(最)值，由導(dǎo)數(shù)值的大小變化情況確定原函數(shù)的變化快慢情況，是解決這類問題的依據(jù).

例7 已知函數(shù)y=f(x)的圖象是下列四個圖象之一,且其導(dǎo)函數(shù)y=f′(x)的圖象如圖所示,則該函數(shù)的圖象是( ).

解析由導(dǎo)函數(shù)圖象可知函數(shù)的函數(shù)值在[-1,1]上大于零，所以原函數(shù)遞增，且導(dǎo)函數(shù)值在[-1,0]遞增，即原函數(shù)在[-1,0]上切線的斜率遞增;導(dǎo)函數(shù)的函數(shù)值在[0,1]遞減，即原函數(shù)在[0,1]上切線的斜率遞減.選B.

例8如圖，一個正五角星薄片(其對稱軸與水面垂直)勻速地升出水面，記t時刻五角星露出水面部分的圖形面積為S(t)(S(0)=0)，則導(dǎo)函數(shù)y=S′(t)的圖象大致為( ).

解析最初零時刻和最后終點(diǎn)時刻面積沒有變化，導(dǎo)數(shù)取零，排除C；露出水面部分的面積一直保持增加，沒有負(fù)的改變量，排除B；考察A、D的差異在于兩肩位置的改變是否平滑，考慮到導(dǎo)數(shù)的意義，判斷此時面積改變?yōu)橥蛔?，產(chǎn)生中斷.選A.

評析導(dǎo)數(shù)的幾何意義是曲線的切線的斜率，是解決這類問題的根本.

上述這些方法并不是孤立使用的，在解決問題時，可以相互交叉，靈活應(yīng)用.