歐陽(yáng)亮 胡典順 張玉環(huán)

摘? ? 要：在中學(xué)數(shù)學(xué)解題過(guò)程中，部分學(xué)生的解題方法是隨機(jī)產(chǎn)生的或是弱方向性的，學(xué)生通過(guò)反復(fù)的“試誤”進(jìn)行取舍，最終確定解題方法.這樣的解題是低效和繁雜的.而中學(xué)數(shù)學(xué)解題“少熟同思維模式”（LFSTM）為中學(xué)數(shù)學(xué)解題等價(jià)輔助題目鏈的產(chǎn)生提供方向.

關(guān)鍵詞：少熟同;LFSTM;解題方法

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》提出高考命題“重點(diǎn)考查學(xué)生的思維過(guò)程等”[1].然而，很多學(xué)生在解題時(shí)思維過(guò)程不清晰，是通過(guò)反復(fù)的“試誤”來(lái)確定解題方法的.產(chǎn)生這種現(xiàn)象的原因很多，解題思維模式是一個(gè)主要因素.

G.波利亞在談到數(shù)學(xué)怎樣解題時(shí)說(shuō)：“等價(jià)輔助題目鏈在數(shù)學(xué)論證中是司空見(jiàn)慣的.”[2]46 所謂的“等價(jià)輔助題目鏈”是指，在解題時(shí)，對(duì)題目進(jìn)行一連串等價(jià)變換時(shí)所得的題目.等價(jià)輔助題目鏈的作用就是將原來(lái)的求解題目變換成已知的或是明顯可以解答的題目.但是等價(jià)輔助題目鏈變換的目標(biāo)需要方向性.

在對(duì)K市五名中學(xué)數(shù)學(xué)教育專家訪談的過(guò)程中我們發(fā)現(xiàn)，專家的解題思維是連貫并有方向性的.同時(shí)，在K市一所省示范性中學(xué)高三年級(jí)隨機(jī)抽取一百名學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)解答題測(cè)試.選取區(qū)分度大于0.4的三個(gè)題目進(jìn)行分析.計(jì)算學(xué)生這三個(gè)題目的總分，對(duì)比高分組（前27%）和低分組（后27%）的試卷.我們發(fā)現(xiàn)高分組的測(cè)試卷這三個(gè)題目由于解題方法變更而產(chǎn)生的涂改次數(shù)為22次;低分組的測(cè)試卷由于解題方法變更而產(chǎn)生的涂改次數(shù)為103次.從對(duì)比中發(fā)現(xiàn)，解題能力強(qiáng)的學(xué)生對(duì)于等價(jià)輔助題目鏈的搜索是有方向性的;而解題能力弱的學(xué)生，對(duì)于等價(jià)輔助題目鏈的搜索是沒(méi)有方向性或是方向性很弱.基于此種情況，我們提出了中學(xué)數(shù)學(xué)解題的“少熟同思維模式”（Less-Familiar-Same Thinking Model，簡(jiǎn)稱LFSTM），為中學(xué)數(shù)學(xué)解題等價(jià)輔助題目鏈的產(chǎn)生提供方向.

一、中學(xué)數(shù)學(xué)解題的LFSTM模式

（一）中學(xué)數(shù)學(xué)解題思維——“少”（Less）

以求函數(shù)值域?yàn)槔齺?lái)闡述中學(xué)數(shù)學(xué)解題遵循“元素”化少的原則.

（二）中學(xué)數(shù)學(xué)解題思維——“熟”（Familiar）

數(shù)學(xué)思維具有相似性[3]的特點(diǎn).數(shù)學(xué)思維的相似性是思維相似律在數(shù)學(xué)思維活動(dòng)中的反映.數(shù)學(xué)思維的相似性普遍存在，在創(chuàng)造性思維活動(dòng)中發(fā)揮著重要作用.而由相似性產(chǎn)生的思維方向就是將陌生的題目通過(guò)等價(jià)輔助題目鏈變“熟”悉.

例2（1）是常見(jiàn)的求函數(shù)值域題型，即“熟悉”的題型.例2（2）、例2（3）的思維過(guò)程就是通過(guò)等價(jià)輔助題目鏈將題目變成例2（1）“熟悉”的形式.這種思維的方向即是“熟”.把題目化“熟”是中學(xué)數(shù)學(xué)解題中常見(jiàn)的思維方向.中學(xué)數(shù)學(xué)解題中常見(jiàn)的題目化“熟”方法見(jiàn)表3.

（三）中學(xué)數(shù)學(xué)解題思維——“同”（Same）

二、LFSTM是優(yōu)良的數(shù)學(xué)解題思維模式

（一）LFSTM體現(xiàn)了數(shù)學(xué)思維的簡(jiǎn)約

丘成桐說(shuō)：“數(shù)學(xué)之美在于簡(jiǎn)約嚴(yán)謹(jǐn).”[4]劉道玉也指出：對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)感到枯燥的學(xué)習(xí)者，大都是對(duì)數(shù)學(xué)沒(méi)有產(chǎn)生興趣，或是沒(méi)有掌握學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的規(guī)律，特別是抽象的思維能力與簡(jiǎn)約思維[5].可以看出，簡(jiǎn)約是數(shù)學(xué)思維的方向.LFSTM的本質(zhì)是把題目元素變少，變熟，變同，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)思維的簡(jiǎn)約.

（二）LFSTM是一種在解題過(guò)程中具有普適性的數(shù)學(xué)思維

1973年庫(kù)泊[6]251等人通過(guò)“心理旋轉(zhuǎn)實(shí)驗(yàn)”，發(fā)現(xiàn)人們?cè)谕瓿勺鳂I(yè)時(shí)總是傾向于把作業(yè)中的元素轉(zhuǎn)換成最初的表象.實(shí)驗(yàn)結(jié)果說(shuō)明在解決問(wèn)題中思維傾向于“熟悉”的表象有助于思維活動(dòng)的順利進(jìn)行，具有普遍性.所以，LFSTM提出的在解題過(guò)程中等價(jià)輔助題目鏈朝“少熟同”方向變換的思維模式具有普適性.

張景中利用把約束點(diǎn)化“少”提出了證明幾何定理的消點(diǎn)算法[7]. LFSTM其實(shí)是將已在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)的消點(diǎn)算法推廣到數(shù)學(xué)解題過(guò)程中的思維模式，可操作性較強(qiáng)，適用面廣.

（三）LFSTM有利于問(wèn)題的解決

胡典順[8]指出，代換是數(shù)學(xué)解題中常用方法，在很多數(shù)學(xué)問(wèn)題的求解中經(jīng)常用到.代換往往能夠達(dá)到化難為易、化陌生為熟悉的神奇功效.G.波利亞[2]46在談到數(shù)學(xué)怎樣解題時(shí)指出，如果你不能解所提的題目，你是否應(yīng)該引入某個(gè)輔助元素？能否想到一道更容易著手的題目？更為普遍化的題目？類似的題目？1998年Ashcraft[6]281提出了有利于問(wèn)題解決的10種方法.第8條“尋找當(dāng)前問(wèn)題與過(guò)去相關(guān)問(wèn)題的聯(lián)系性”，強(qiáng)調(diào)在解決問(wèn)題時(shí)，要積極考慮當(dāng)前問(wèn)題與你曾經(jīng)解決的問(wèn)題或你熟悉的問(wèn)題有哪些相似性，然后用類似方法解決目前問(wèn)題.

結(jié)合上述理論，我們發(fā)現(xiàn)，在解題過(guò)程中，將陌生的題目經(jīng)過(guò)等價(jià)輔助題目鏈變換成熟悉的題目有助于問(wèn)題的求解.

LFSTM是一種為中學(xué)數(shù)學(xué)解題等價(jià)輔助題目鏈的產(chǎn)生提供方向的思維模式.教師可以將LFSTM融入習(xí)題課、試卷講評(píng)課、復(fù)習(xí)課，或是概念課的習(xí)題演練環(huán)節(jié).學(xué)生可以應(yīng)用LFSTM指導(dǎo)等價(jià)輔助題目鏈的產(chǎn)生，為解題提供方向.另外，我們無(wú)意提倡和暗示某種數(shù)學(xué)思維模式比其他模式更為有效合理.

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