李紅春 孔峰

摘? ? 要：在數(shù)學教學中，教師應(yīng)從理解數(shù)學、理解學生、理解教學的角度設(shè)計課堂教學，提升課堂教學的有效性.

關(guān)鍵詞：最值;極值;課堂教學;三個理解

前不久，筆者受武漢市教科院和中國教師發(fā)展網(wǎng)新高考研究院邀請，在“湖北省武穴市新高考高端培訓會”上，給全市高三教師上了一節(jié)題為《函數(shù)的最大值與最小值》（第1課時）的展示課，受到現(xiàn)場專家老師的普遍歡迎，大家一致認為，本節(jié)課教學目標明確，教學環(huán)節(jié)設(shè)計精巧，教學過程流暢，問題解決有效，體現(xiàn)了新課程的理念，在落實核心素養(yǎng)的教學中起到了良好的示范作用，值得反復品味.

一、教學過程

（一）創(chuàng)設(shè)情境，激發(fā)興趣

教師：同學們，函數(shù)是研究兩個變量關(guān)系的重要模型，求函數(shù)的最值是高中數(shù)學中一類非常重要的問題，同學們之前已經(jīng)接觸過不少求函數(shù)最值的方法，如配方法、換元法、不等式法、單調(diào)性、圖象法、構(gòu)造法等，請為下列函數(shù)選擇恰當?shù)那笞钪档姆椒ǎ?/p>

教室里氣氛異?；钴S，學生齊聲回答：配方法、不等式法、換元法、單調(diào)性法！

教師：非常好！看來大家對以前所學的方法比較熟練，誰能告訴我下面兩個函數(shù)在指定區(qū)間有最值嗎？如何求呢？

課堂頓時安靜下來，無人應(yīng)答.

教師：看來大家已學的方法還有其局限性，人總是在不斷地學習中才會進步，今天我們要來學習一種適用范圍更廣、解題功能更強的方法——導數(shù)法.

學生們的眼神中閃現(xiàn)出求知的欲望和興奮.

（二）回顧思考，鋪墊新知

教師：請大家觀察下列圖形（如圖1），找出函數(shù)的極值點，并說明依據(jù).

學生1：[x1]，[x3]，[x5]是函數(shù)的極小值點，[x2]，[x4]，[x6]是函數(shù)的極大值點，從圖形上看，極小值點對應(yīng)著圖形的波谷，極大值點對應(yīng)著圖形的波峰，在極小值附近左側(cè)，函數(shù)值遞減，右側(cè)函數(shù)值遞增;在極大值附近左側(cè)，函數(shù)值遞增，右側(cè)函數(shù)值遞減;從數(shù)的角度看，極小值點附近導數(shù)左負右正，極大值點附近左正又負.

教師：由圖1可知，一個函數(shù)可能有多個極值點，極值點只能反映函數(shù)的局部特征，事實上，在生活中，我們更關(guān)心的是函數(shù)的最值，函數(shù)在什么條件下一定有最大、最小值？它們與函數(shù)極值有什么樣的關(guān)系？如何求函數(shù)的最值？

（三）問題引領(lǐng)，構(gòu)建新知

教師：請大家觀察以下四個開區(qū)間內(nèi)連續(xù)函數(shù)的圖象（如圖2），判斷函數(shù)是否存在最大值或最小值，如果存在，指出最值所取得位置.

學生2：第（1）個函數(shù)既無最大值，又無最小值;第（2）個函數(shù)有最大值，無最小值，最大值在極大值點處取得;第（3）個函數(shù)有最小值，無最大值，最小值在極小值點處取得;第（4）個函數(shù)既有最大值，又有最小值，最大值在極大值點處取，最小值在極小值點處取.

教師：這四個函數(shù)的圖象都是一條連續(xù)不斷的曲線，像這樣的函數(shù)我們稱之為連續(xù)函數(shù)，結(jié)合以上四個圖象，你認為連續(xù)函數(shù)在開區(qū)間上最值存在的情形有著怎樣的一般規(guī)律？

學生3：在開區(qū)間上，連續(xù)函數(shù)可能有最大或最小值，也可能沒有，如果有，一定在極值點取.

教師：若將以上四個連續(xù)函數(shù)圖象所在區(qū)間由開區(qū)間換為閉區(qū)間，最值存在的情形是否會發(fā)生改變，你能從中發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？

學生4：閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，一定有最大值和最小值，最值不在端點處取，就在極值點處取.

教師：請大家根據(jù)下列兩個函數(shù)的圖象，判斷在所給區(qū)間上最值存在的情形：

學生5：函數(shù)[f（x）]在該區(qū)間既無最大值，也無最小值;函數(shù)[g（x）]在該區(qū)間既有最大值，也有最小值.

教師：和前面四個函數(shù)比較，你認為造成[f（x）]沒有最值的根本原因是什么？

學生6：圖形在區(qū)間內(nèi)發(fā)生了間斷，沒有連續(xù)不斷.

教師：從剛才幾組圖形中，你覺得函數(shù)在某個區(qū)間一定存在最值，需要滿足哪些條件？

學生7：閉區(qū)間且連續(xù)！

教師：非常好，大家覺得這兩個條件是什么條件？充分條件還是必要條件呢？

學生8：充分條件！因為前面的例子中有些函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)也存在最大值和最小值，由剛剛[g（x）]的圖象可知，不連續(xù)的函數(shù)在閉區(qū)間也可能存在最值.

教師：剛才我們只是從圖形分析極值，如果給出的是函數(shù)解析式，如何求其極值呢？

學生9：先求出導函數(shù)的零點，再根據(jù)導函數(shù)在其零點附近左右兩側(cè)的符號來判斷它們是否為極值點，是什么極值點，即數(shù)左負右正為極小值點，左正右負為極大值點.

（四）學以致用，反思提升

師生共同完成例1的解答過程.

例1? ?求函數(shù)[f（x）=13x3-4x+4]在區(qū)間[0，3]上的最值.

接下來，由學生具體總結(jié)出解答步驟：（1）求出函數(shù)的極值;（2）將極值與端點值比較.

PPT展示練習：鞏固1、鞏固2，并讓兩名學生同時演板;5分鐘后，兩名學生給出了解答.

鞏固1：求函數(shù)[f（x）=2lnx-x，x∈1，3]的最值.

鞏固2：求函數(shù)[y=x4-2x2+5]在區(qū)間[-2，2]上的最大值與最小值.

教師：鞏固1是本節(jié)課剛開始大家不會求解的問題，短短十幾分鐘后大家就能解決了，真了不起?。▽W生露出喜悅的笑容）

教師：如果我們將鞏固1的閉區(qū)間改為開區(qū)間，函數(shù)還有最值嗎？

學生（集體）：有最大值，無最小值！

教師：開區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)只有一個極值點，這個極值有何特征？

學生10：是最值！

教師：能用以前學過的方法求解鞏固2嗎？

學生11：可以，將[x2]看成一個整體，用換元法轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)再求解.

教師：如鞏固2，在求出導函數(shù)的零點后，依次通過分析在這些零點兩側(cè)導函數(shù)的符號來確認是否為極值點，當區(qū)間較多時，過程較為煩瑣，必須確認導函數(shù)的零點是否為極值點嗎？解答能否優(yōu)化？

教室里頓時熱鬧非凡，同組之間展開了熱烈的討論，幾分鐘后，學生舉起了手.

學生12：直接將導函數(shù)零點處的函數(shù)值求出，與端點值比較，不需判斷其是否為極值點，導函數(shù)的零點包含所有的極值點，所有導函數(shù)零點處的函數(shù)值包含極值，即便有些導函數(shù)零點不是極值點，但這些地方的函數(shù)值也是函數(shù)能取到的值.

教師：非常好，認識很深刻！

PPT顯示鞏固3和鞏固4 ，教師讓學生用優(yōu)化后的方法完成，幾分鐘后學生順利給出了解答.

鞏固3：求函數(shù)[f（x）=6+12x-x3]在[-3，3]上的最大值與最小值.

鞏固4：已知函數(shù)[f（x）=2x3-6x2+a]在[-2， 2]上有最小值-37，

（1）求a的值;（2）求f（x）在[-2， 2]上的最大值.

（五）對比分析，提升認識

PPT顯示如下5個命題，教師讓學生判斷真假，學生在討論交流后給出了正確的回答.

（1）“最值”是整體概念，而“極值”是個局部概念.

（2）若函數(shù)在給定的區(qū)間上有最值，則最多有一個最大值，一個最小值;若函數(shù)有極值，則可有多個極值.

（3）若函數(shù)在開區(qū)間有唯一的極值，則此極值必是函數(shù)的最值.

（4）函數(shù)有極值的未必有最值，有最值的未必有極值.

（5）極值有可能成為最值，最值只要不在端點必定是極值.

（六）歸納小結(jié)，完成建構(gòu)

本課以閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)的最大值和最小值“是否存在、存在于哪里、怎么求”為線索展開.你有哪些收獲？和以前學習的函數(shù)求最值的方法比較，用導數(shù)法求解有什么特點？

二、教學思考

章建躍教授提出了“三個理解”的教育理念，即“理解數(shù)學、理解學生、理解教學”.下面，筆者從“三個理解”的角度，談?wù)劚竟?jié)課的教學體會.

（一）理解數(shù)學——明確教材編寫意圖，確立適切的教學目標

理解數(shù)學，首先是要理解教材，如何正確理解教材編者的意圖和教學目標，教材的編排體系和知識結(jié)構(gòu)及教材內(nèi)部聯(lián)系和規(guī)律是怎樣的，如何根據(jù)學生實際情況靈活處理教材等.

本節(jié)主要研究閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)最大值和最小值的求法與函數(shù)導數(shù)之間的關(guān)系及其簡單的應(yīng)用問題，分兩課時，這里是第一課時，它是在學生已經(jīng)會求可導函數(shù)的極值之后進行學習的，學好這一節(jié)，學生將會求更多的函數(shù)的最值，并且以本節(jié)知識為基礎(chǔ)，可以解決科技、經(jīng)濟、社會中的一些如何使成本最低、產(chǎn)量最高、效益最大等實際問題，為下一節(jié)“生活中的優(yōu)化問題”的教學打下堅實的基礎(chǔ).這節(jié)課集中體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合這一重要的數(shù)學思想方法，學好本節(jié)課，對于進一步完善學生的知識結(jié)構(gòu)，培養(yǎng)學生直觀想象、抽象概括能力等核心素養(yǎng)的培養(yǎng)具有積極的意義.

（二）理解學生——在學生最近發(fā)展區(qū)精心設(shè)置問題

理解學生，就是理解學生的知識基礎(chǔ)、認識特點、學習方式和習慣等，教師只有弄清這些才能做到有的放矢，充分發(fā)揮學生在課堂中的主體地位，這就要求教師既要理解數(shù)學知識與學生已有數(shù)學經(jīng)驗的聯(lián)系，又要理解當前知識與學生已有認知結(jié)構(gòu)的距離.授課前，筆者了解到授課對象為普通高中平行班的學生，學生基礎(chǔ)不牢，學習數(shù)學的主動性不強，平常的學習習慣于被動接受，少數(shù)學生還有厭學情緒，基于這一點，為了能充分調(diào)動學生學習的積極性，本節(jié)課采取小組合作探究模式，每8人一組，采取搶答得分模式，激活學生集體主義意識.本節(jié)課設(shè)計的問題以基礎(chǔ)和中檔題為主，問題之間的跨度較小，在循序漸進中增加問題的深度，每一個問題的設(shè)置力求在學生的最近發(fā)展區(qū)，如引入部分將“求函數(shù)的最值”設(shè)計為“給出名稱，選擇方法”，在極值與最值的區(qū)別與聯(lián)系的比較中將“學生自己歸納”設(shè)計為“讓學生在理解的基礎(chǔ)上去判斷命題的正誤”;課后作業(yè)分必做題和選做題，也是考慮學生現(xiàn)實基礎(chǔ)和個性發(fā)展的需要.

（三）理解教學——通過問題驅(qū)動激活學生思維

理解教學，是指遵循教學的規(guī)律，靈活選擇教學活動的組織方式，如及時發(fā)現(xiàn)亮點進行調(diào)控、問題如何解決才能讓思維變得流暢、如何讓學生獲得沉浸體驗等.數(shù)學教學是培養(yǎng)學生思維能力的活動，數(shù)學教學離不開探究過程，通過問題驅(qū)動讓學生積極思考，主動鉆研.為激發(fā)學生學習的興趣和求知的欲望，本節(jié)課從學生解題的實際需求出發(fā)設(shè)計問題.引例中學生現(xiàn)有方法無法解決的兩個問題，成為課堂發(fā)展的內(nèi)在驅(qū)動力，學生掌握新方法后成功解決了問題，獲得了積極的情感體驗，學習數(shù)學的信心增強，本節(jié)課的難點是最值的存在性分析和求最值方法的優(yōu)化，這需要層層遞進逐步提出，精心設(shè)計難度合理的問題串，引導學生的思維.通過學生的主動活動，包括觀察、比較、歸納、猜想、交流等，讓學生親身經(jīng)歷數(shù)學知識的建構(gòu)過程.在數(shù)學活動中，學生的知識與技能、數(shù)學思考、問題解決、情感態(tài)度都將在主體參與的碰撞和生成活動中得到落實.努力體現(xiàn)“教師為主導、學生為主體”的數(shù)學教學思想，引導學生主動參與到課堂教學全過程中.