湯衛(wèi)紅

【關(guān)鍵詞】游戲;多連方;核心素養(yǎng)

【中圖分類號】G623.5? 【文獻(xiàn)標(biāo)志碼】A? 【文章編號】1005-6009（2019）17-0050-06

【課前慎思】

學(xué)完北師大版五下“正方體的平面展開圖”后，有學(xué)生問我：為什么正方體的平面展開圖只有11種？真的找不到第12種嗎？我一時語塞，不知如何回答。這個問題一直縈繞在我心頭，苦苦思索后我發(fā)現(xiàn)：如果找出所有的六連方，再逐一確認(rèn)它們是否為正方體的平面展開圖，不就能解決了嗎？那么，六連方一共有多少種呢？我花了半個小時走了不少彎路才研究出來。我想，這個問題讓學(xué)生自由探究是完全有可能探究出答案的。怎樣開發(fā)出這節(jié)課呢？必須得引導(dǎo)學(xué)生從簡單的想起，有序探索，分類思考。開發(fā)后的實施發(fā)現(xiàn)，學(xué)生確實感受到了挑戰(zhàn)性和趣味性。但我仍覺得單一，因為沒有體現(xiàn)“整合數(shù)學(xué)”的豐富性和聯(lián)系性。正當(dāng)我苦思冥想時，看到學(xué)生玩古典智力玩具“傷腦筋十二塊”，觸發(fā)了我聯(lián)結(jié)的通道：這不就是五連方嗎？游戲的背后正是數(shù)學(xué)。順藤摸瓜，我又想到四連方與俄羅斯方塊，它們之間天然的聯(lián)系讓我喜出望外。于是，就有了《多連方與游戲》這節(jié)課。

【課堂實錄】

一、初聊游戲，激趣引疑

師：同學(xué)們，你們喜歡玩游戲嗎？都喜歡玩哪些游戲？

生：密室逃脫、吃雞、王者榮耀……

師：網(wǎng)絡(luò)游戲很容易上癮哦！咱可以用其他益智游戲來替代喲！

生：魔方、數(shù)獨(dú)、魯班鎖、九連環(huán)、俄羅斯方塊、傷腦筋十二塊……（板書：游戲）

師：真好！這些益智游戲有益身心。同學(xué)們剛才提到了俄羅斯方塊、傷腦筋十二塊，請仔細(xì)觀察這兩個游戲的畫面，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生：它們都是由完全一樣的正方形組成的。

師：這樣的圖形叫作多連方。（板書：多連方與）學(xué)貴有疑，你想研究什么問題？

師根據(jù)生的回答板書：什么是？多少種？規(guī)律？聯(lián)系？有什么用？

二、體悟策略，有序探索

師：今天這節(jié)課，咱們就主要圍繞這些問題展開研究。你認(rèn)為首先要解決什么問題？

生一致決定先研究什么是多連方。師給出一個正方形，指名生貼在黑板上。

師：這是不是多連方？

生（搖頭）：不是！

師再給出一個同樣大小的正方形，生將兩個正方形邊與邊重合貼在一起。

師：這個圖形，咱們給它取個什么名字？

生：二連方。（板書：二連方）

師（把兩個正方形擺成頂點(diǎn)相接）：這是不是二連方？

生：不是！必須是邊和邊重合。

師接著給出三、四、五、六個正方形，生依次擺出。板書：三連方、四連方、五連方、六連方。接下來研究有多少種。

師：這個六連方讓你想起了什么？

生：哇！這不是正方體的平面展開圖嗎？

師：正方體的平面展開圖有多少種？

生：11種。

師：那你猜猜，六連方有多少種？

生：肯定不止11種。我記得課上判斷時，有的六連方不能圍成正方體。我猜有28種。

生（七嘴八舌）：32種、36種、48種……

師（演示課件）：給大家看一眼。（生準(zhǔn)備數(shù)，師隱去圖）

生：這么多，看得眼花繚亂！

師：如果現(xiàn)在讓你研究出六連方有多少種，你有什么想法？

有的生表示有點(diǎn)難，也有的表示有信心研究，但擔(dān)心會亂、重復(fù)或遺漏。

師：既然大家感覺研究六連方有點(diǎn)復(fù)雜，咱得想想辦法。你覺得可以怎么辦？

生1：要分類研究，按一定順序慢慢去找。

生2：我覺得可以倒回去，先研究五連方。

生3：五連方可能也比較難，可以先研究四連方……可以一直退到二連方。

師：同學(xué)們真有辦法！華羅庚爺爺說過——我們要善于退，足夠地退，退到最原始而不失去重要性的地步。二連方有幾種？為什么只有一種？

生（操作）：因為旋轉(zhuǎn)后跟橫著擺的一樣。

師：在數(shù)學(xué)上，這樣旋轉(zhuǎn)以后完全一樣的二連方只能稱為一種?，F(xiàn)在怎么研究三連方？

生：在二連方上添加一個正方形。

師：想一想，三連方有幾種？

生紛紛表示有兩種，師指名擺出兩種。

師：為什么只有兩種？二連方可以從6個位置“長”出一個正方形。預(yù)學(xué)時，就有同學(xué)畫出了這樣的6種。（出示圖1）

生：第四個圖形和第一個相同。第三、五、六個圖形都可以通過旋轉(zhuǎn)與第二個圖形重合。

師：這里雖然有重復(fù)的，但操作方法有什么值得咱們學(xué)習(xí)的地方？

生：他是從最左邊的位置開始有序地沿順時針方向添加的。

師：為了方便研究和交流，咱們像這樣從最左邊的1號位開始，沿順時針方向依次在2號位、3號位……進(jìn)行添加。為什么從二連方上只能長出兩種三連方？咱從二連方這個圖形的特征上找找答案。

生：因為二連方是軸對稱圖形，左右對稱、上下對稱。

師：接下來，我們再來“長”出——（四連方）。

出示共學(xué)活動一（如圖2）：

（圖2）

學(xué)生獨(dú)立完成，4人小組交流，一組匯報。

生1：我們從“一”字形三連方開始添畫。從最左邊1號位開始，依次畫出了3種四連方。由于對稱性，從4號位開始就會跟前面的重復(fù)。

生2：在L型三連方上，在1號位添畫會和上面的第三個四連方重復(fù)。在2號位添畫沒有重復(fù)。在3號位添畫與上面的第二個圖形重復(fù)。接著在4號位添畫，成為一個田字形。在后面的6號位至8號位添畫，也都會重復(fù)。

生3：這樣，我們一共找到了5種四連方。我想特別強(qiáng)調(diào)，大家在畫的時候一定要先想想是否與之前的重復(fù)，如果重復(fù)就不用畫了。

生4：大家還有什么疑問或補(bǔ)充？

生5：我覺得第二行，在7號位添畫應(yīng)該是可以的，與之前的不重復(fù)。

生4：把右邊這個四連方逆時針旋轉(zhuǎn)90°，再翻轉(zhuǎn)就和左邊的四連方重合了。所以只能算一種。（操作并講解如圖3）

生5：我明白了！我還想到一種更簡便的方法，只要通過軸對稱就可以證明兩個四連方是一樣的。（操作演示如圖4）

師：為什么在這兩個位置添畫會重復(fù)？你能從三連方本身的特征上找到答案嗎？

生3：因為三連方是軸對稱圖形，而這兩個位置正好是對稱關(guān)系。

三、聯(lián)系游戲，辨析深化

師：看著四連方，我不禁想起好玩的游戲（板書：俄羅斯方塊）?？啥砹_斯方塊有7種，這是怎么回事呢？結(jié)合游戲規(guī)則想想。

生2：游戲規(guī)則中只有平移和旋轉(zhuǎn)兩種運(yùn)動，沒有翻轉(zhuǎn)。所以，L與J、Z與S都必須出現(xiàn)，否則就沒辦法鋪滿平面。（如圖5）

師：為什么俄羅斯方塊中沒有出現(xiàn)與I、T、O這三種四連方形狀一樣、方向不同的圖形呢？

生：因為它們都是軸對稱圖形，即使方向變了，通過旋轉(zhuǎn)也都能和原來的重合。

四、深化探索，挑戰(zhàn)思維

出示共學(xué)活動二（如圖6）：

學(xué)生獨(dú)立探究后小組交流，一組匯報。

生1：我們在“一”字形四連方上依次從1號位開始添畫，共有3種。到4號位時就開始與前面的重復(fù)了，不用再畫了。

生2：在L形上添畫，1號位與上面的第三個五連方重復(fù)。在2、3、4、6號位添畫都出現(xiàn)了新的五連方，在7號位上添畫與第一行的第二個五連方重復(fù)。再在8、9、10號位上添畫。共可以畫7個五連方。

生3：在T形上添畫，只能找到十字形這一種五連方，其他的都重復(fù)了。

生4：在Z形上添畫，也只能找到W形一種。而在田字形的每個位置添加都一樣，且與第二行的第二個五連方重復(fù)。這樣，我們一共找到了12種五連方。

生1：我想強(qiáng)調(diào)，一定要注意有序，否則就容易遺漏。當(dāng)然，我們發(fā)現(xiàn)越到后來重復(fù)得越多，越要仔細(xì)檢查是不是重復(fù)。

生5：我有質(zhì)疑，我覺得在T形右下角位置添畫與之前的不重復(fù)。

生2：我可以驗證給大家看。右邊的五連方逆時針旋轉(zhuǎn)180°就會跟左邊的重復(fù)了。（如圖7）

生6：在Z形下方添畫得到的五連方，我覺得也是重復(fù)的。

生5：這個我看出來了，先順時針旋轉(zhuǎn)90°再翻轉(zhuǎn)，就和剛才的重復(fù)了。

生7：我覺得可以更簡單，通過軸對稱就能發(fā)現(xiàn)重復(fù)。（如圖8）

師：為便于記憶，有人把五連方形象地看成12個英文字母，看一看，是哪12個？

生：哇！正好是26個字母中的后12個。

師：五連方讓我們想起的游戲是——（傷腦筋十二塊）

師：五連方跟傷腦筋十二塊完全一致嗎？

生：完全一致，都由12個正方形組成。

師：游戲規(guī)則跟俄羅斯方塊有什么不同？

生：傷腦筋十二塊允許翻轉(zhuǎn)，因為在拼圖時是可以翻過來拼的。

師（出示拼圖）：咱們來驗證一下，看看這兩幅拼圖中的同一個形狀是不是翻轉(zhuǎn)了。

生（演示）：這一塊就用了翻轉(zhuǎn)。

師：假如傷腦筋十二塊不允許翻轉(zhuǎn)，哪些形狀需要給出另外一種？

生：P、Q、R、S、Y、Z這六種需要給出它們的軸對稱圖形。

師（出示圖）：研究了半天，我們再來看看俄羅斯方塊與傷腦筋十二塊這兩種拼圖游戲，其實都與哪一個數(shù)學(xué)知識有關(guān)？（密鋪）

師：我們已經(jīng)研究了什么是多連方、有多少種、它們之間的關(guān)系及其與游戲的聯(lián)系，你還想研究什么？

生：我想研究有什么規(guī)律，這樣我們就可以推斷六連方有多少種了。

師：仔細(xì)觀察黑板上這張表，你有沒有發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？

生1：我發(fā)現(xiàn)n連方的個數(shù)=（n-1）連方的個數(shù)的2倍+（n-2）連方的個數(shù)。比如，四連方的個數(shù)就是三連方個數(shù)2乘2加二連方個數(shù)1，共5個;五連方的個數(shù)就是四連方個數(shù)5乘2加三連方個數(shù)2，共12個。

生2：這么看，六連方應(yīng)該有12×2+5=29個。

師：真是這樣嗎？咱們得——（驗證）

師：這個研究起來比較復(fù)雜。我們可以先對這12種五連方——（分類）能分成哪幾類？

生：一字形一類、1+4一類、2+3一類、1+1+3一類、1+3+1一類，1+2+2一類。

師：由于這個工作量非常大，現(xiàn)在咱們來分工合作探究。4人小組分成兩個2人小組，分別完成3個五連方基礎(chǔ)上的“生長”。

出示共學(xué)活動三（如圖9）：

學(xué)生合作探究后全班交流，一組重點(diǎn)匯報。

生1：在一字形上添畫，從1號位到4號位有4種，從5號位到10號位就與之前的重復(fù)了。

生2：1+4類，第1幅圖可以在2、3、4、6、7、9、10、11、12號位添畫，共有9種;第2幅圖可以在4、5、10、11號位添畫，共4種。這樣我們兩人就找到了17種。

生3：2+3類，第1幅圖可以在1、3、4、5、6、8、9、10、11、12號位添畫，共10種。但在1、8號位添畫與第1小組的重復(fù)了，我們劃掉了。所以，只有8種。

生4：2+3類，第2幅圖可以在1、3、4、5、8、9號位添畫，但在1號位添畫與第1小組的也重復(fù)了，共5種。第3幅圖可以在1、3、10、11號位添畫，但1號位添畫與第1小組的也重復(fù)了，共3種。我們兩人共找到16種。

師生針對有質(zhì)疑的圖形進(jìn)行驗證交流。

師：六連方的探究才進(jìn)行了一半，但我們已經(jīng)可以推翻剛才的猜想了。

生：是??！已經(jīng)33種了，剛才的規(guī)律不靈了。 師：其實，探究看似才進(jìn)行了一半，但勝利的曙光已近在咫尺。觀察圖形的特征，想一想，哪類圖形可能已經(jīng)“生長”不出不一樣的六連方了？

生：我覺得1+3+1這一類可能已經(jīng)“生長”不出了。我隨意試了幾個，都重復(fù)了。

師：確實如此，現(xiàn)在咱們只有在L形、W形上找答案了。這兩種五連方各自只能長出一種不重復(fù)的六連方了，猜猜可能是哪兩種。

出示所有六連方圖（如圖10），學(xué)生歡呼。

師：現(xiàn)在，咱們確定六連方共有35種，可以嘗試回答為什么正方體只有11種展開圖了。

生：只要逐一驗證哪些六連方能圍成正方體就可以確認(rèn)了。

五、暢談收獲，延伸拓展（略）

【課后反思】

數(shù)學(xué)的教育功能不只在技術(shù)與工具層面，還在于文化熏陶與人格培塑層面。數(shù)學(xué)中蘊(yùn)含的理性精神、積極情感、審美旨趣、文化意識、文化品格等都應(yīng)當(dāng)成為數(shù)學(xué)教育的價值取向?！罢蠑?shù)學(xué)”的課堂追求在育人高度上考量學(xué)科內(nèi)、學(xué)科間、超學(xué)科的聯(lián)系與整合。本課在以下三個方面作出了努力：

第一，以多連方為載體，將數(shù)學(xué)內(nèi)部的圖形變換知識一體化應(yīng)用，設(shè)置具有挑戰(zhàn)性的任務(wù)，促進(jìn)學(xué)生空間觀念的深度發(fā)展。平移、旋轉(zhuǎn)、軸對稱等變換，在探究多連方有多少種、辨析是否為同一種、分辨游戲與多連方的聯(lián)系與區(qū)別中都得到了豐富而靈活的應(yīng)用。這是在小學(xué)階段全部學(xué)完幾種變換后的一次綜合應(yīng)用，如何使學(xué)生基于已有經(jīng)驗實現(xiàn)再發(fā)展是本課教學(xué)一個重要目標(biāo)。我試圖基于操作并超越操作，遵循能想象不操作、能推理不操作的原則，充分調(diào)動學(xué)生觀察、想象、推理、驗證的積極性。當(dāng)然，在模糊的地方還是要以實際操作來驗證。同時，注意引導(dǎo)學(xué)生深入理性分析層面把握圖形特征，為其想象圖形的位置關(guān)系、運(yùn)動和變化提供有力的依據(jù)。在學(xué)生表達(dá)的過程中激發(fā)其他學(xué)生依據(jù)描述想象和理解，也旨在促進(jìn)他們進(jìn)一步發(fā)展空間觀念。

第二，在思想方法上，突出有序、分類、簡化等的一致性，促進(jìn)學(xué)生形成“帶得走”的思考力。在實踐中，我欲擒故縱，面對挑戰(zhàn)性較強(qiáng)的問題，啟發(fā)學(xué)生自主尋找簡化的策略，在抓住基本操作方法的基礎(chǔ)上不斷邁進(jìn)，一步步體驗成功，感悟“生長”的力量，自然體會到分類思考、各個擊破、縱橫比較的益處。探究過程中的有序思考、分解散點(diǎn)、小心驗證都讓學(xué)生體會到思想的巨大能量，在“縱向數(shù)學(xué)化”的道路上享受到柳暗花明、乘勝追擊、大膽猜測、求證糾錯的高峰體驗。

第三，打通游戲與數(shù)學(xué)的聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生在“橫向數(shù)學(xué)化”的世界里自由穿梭，體會數(shù)學(xué)在游戲創(chuàng)造和規(guī)則設(shè)計中的價值。在課的高潮部分，學(xué)生發(fā)現(xiàn)原來游戲背后真的是數(shù)學(xué)，且由于規(guī)則的需要，數(shù)學(xué)的簡潔、抽象需要做一些讓步，學(xué)生驚嘆于這種聯(lián)系和區(qū)別。實踐表明，學(xué)生課外對七連方、八連方及其相關(guān)拼圖游戲的熱衷更彰顯出數(shù)學(xué)與游戲打通的巨大魅力。數(shù)學(xué)眼光、普遍聯(lián)系、模型應(yīng)用等思想或意識也正潛移默化地成為學(xué)生素養(yǎng)的一部分。