丁愛平

[摘 要]小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)具有整體觀，以學(xué)生在中小學(xué)十二年數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的跨度為背景，對當(dāng)下小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)做出理性審視和創(chuàng)新實踐：合“情”入境，悅動數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的“第一感”；究“理”啟思，內(nèi)煉理性精神；得法善“用”，用數(shù)學(xué)慧眼創(chuàng)造完整的學(xué)生世界。

[關(guān)鍵詞]中小學(xué)十二年；學(xué)習(xí)背景；小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)

[中圖分類號] G623.5 [文獻標(biāo)識碼] A [文章編號] 1007-9068（2019）11-0001-04

2018年的江蘇高考數(shù)學(xué)再掀熱議。家長有抱怨：從小到大，奧數(shù)、“學(xué)而思”培訓(xùn)都上了，十二年的苦讀就是為了最后的分?jǐn)?shù)啊。教師有遺憾：四輪復(fù)習(xí)，該講的都講了，最后的19、20題還是不理想，學(xué)生自主探究的能力太弱了。專家有解讀：江蘇高考數(shù)學(xué)重點考查學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，關(guān)注學(xué)生的自主探究和創(chuàng)新思維。

不妨回到原點，為什么要學(xué)數(shù)學(xué)？

學(xué)好數(shù)學(xué)，決勝高考，進入理想的大學(xué)，這無可厚非。平心而論，高考機制下的人才選拔，應(yīng)試是不可回避的，關(guān)鍵在于用什么樣的學(xué)習(xí)理念和方式來獲得成績。當(dāng)然，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的根本意義在于提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)、立德樹人，在生活中善用數(shù)學(xué)的眼光發(fā)現(xiàn)問題、分析問題和解決問題。況且一個人的數(shù)學(xué)知識會日漸淡忘，而數(shù)學(xué)思想方法、數(shù)學(xué)文化、數(shù)學(xué)審美會在不知不覺中發(fā)揮作用，使人受益終身。

回到問題本身，訓(xùn)練已經(jīng)足夠多，學(xué)生的自主探究能力卻還弱，癥結(jié)在哪里？通過對學(xué)生的長線跟蹤，我發(fā)現(xiàn)原因是“三少”：少“情”、少“理”、少“用”。其一，學(xué)生為完成學(xué)習(xí)而學(xué)習(xí)，深度卷入得少，造成學(xué)習(xí)的熱動力和效能感不足。其二，拼命刷題，忙于做“事”，欠缺究“理”。不究“理”，知識點就顯得孤立、單薄、浮于表面，各知識板塊之間的“暗道”就不通，也就不能建構(gòu)完整的知識結(jié)構(gòu)，這是制約學(xué)生自主探究的主要原因。其三，只顧埋頭“學(xué)”，不善于抬頭“用”，符號學(xué)習(xí)不能上升為經(jīng)驗學(xué)習(xí)，學(xué)得比較呆板，開拓性不夠。

因此，在學(xué)生十二年數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的跨度下，六年的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)當(dāng)合“情”入境、究“理”啟思、得法善“用”，為學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的發(fā)展奠基。

一、合“情”入境，悅動數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的“第一感”

第一感的本義是指人的“視、聽、嗅、味、觸”五種基本感覺中的視覺。至少有80%以上的外界信息經(jīng)視覺獲得，視覺是人和動物最重要的感覺。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的“第一感”，簡而言之是指學(xué)生看到的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的“模樣”，這個“模樣”是學(xué)習(xí)情感的表達、數(shù)學(xué)知識的呈現(xiàn)、思維火花的激揚等。它所代表的是數(shù)學(xué)素養(yǎng)結(jié)構(gòu)中的精神實體，例如數(shù)學(xué)情感、思維品質(zhì)、價值判斷、審美追求等，是悅動學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要因素。

（一）數(shù)學(xué)課堂有溫情，尊重學(xué)生的“非數(shù)學(xué)語言”

一位教師在執(zhí)教“分?jǐn)?shù)的認(rèn)識（一）”時，她哭笑不得——

師：現(xiàn)在有兩個蘋果，要平均分給兩個小朋友，應(yīng)該怎么分？

生1：一人分一個。

師：把一個蘋果平均分給你們兩個（指著同桌兩個學(xué)生），應(yīng)該怎么分呢？

生2：我倆一人一半。

生3：把我的一半給他，我不吃了。

師：這怎么行？這是數(shù)學(xué)課！好好想想應(yīng)該怎么分？

（生3悻悻地坐下；教師立刻調(diào)轉(zhuǎn)頭，請其他學(xué)生說出“二分之一”，再沒有請她發(fā)言，也許是擔(dān)心她再爆“金句”。）

小學(xué)低年級課堂不像中學(xué)那樣純粹，會突然出現(xiàn)“非數(shù)學(xué)”的畫面。生3課后表示：同桌喜歡吃蘋果，吃半個太少，就再給他半個。學(xué)生的非數(shù)學(xué)語言情有可原，教師應(yīng)該把學(xué)生思維、教師思維、數(shù)學(xué)思維進行巧妙地鏈接，不妨順勢說道：“小姑娘，你對同學(xué)真好！能用一個數(shù)表示你給他多少蘋果嗎？”揭示二分之一后，再接著說：“你不但會思考數(shù)學(xué)問題，還關(guān)心同學(xué)，我們都要向你學(xué)習(xí)！”這樣的教學(xué)不急不躁，溫情而美好。

同樣是“分?jǐn)?shù)的認(rèn)識（一）”的教學(xué)，意境迥然不同——

師：最早發(fā)明分?jǐn)?shù)的是哪國人？

生1：中國！很多數(shù)學(xué)知識都是我們中國人發(fā)明的！

師：是啊，身為中國人，我們感到十分自豪！

生2：名字好奇怪，為什么叫分母、分子？（學(xué)生都很好奇）

生3：我知道。母是媽媽的意思，子是孩子的意思。

師：說得真好！那分?jǐn)?shù)是怎么來的呢，咱們平均分一個東西，先分出了分母，再數(shù)出了分子。先有“媽媽”，再有“孩子”，你們看，“媽媽”把“孩子”高高地托在頭上。

（二）數(shù)學(xué)思維有激情，讓數(shù)學(xué)表征多飛一會兒

周衛(wèi)東老師重構(gòu)“分?jǐn)?shù)的認(rèn)識（一）”這一課也令人贊嘆。

師：豬八戒先吃了2個餅，又吃了1個餅，最后他想吃一小塊?！耙恍K”是多大呢？

（學(xué)生拿出圓片，撕出了不同的“一小塊”（如圖1）。）

師：都是一小塊，為什么大小和形狀都不一樣呢？

生1：因為八戒說得不清楚，不明確。

（撕出的“一小塊”大小不同的這個設(shè)計，精妙之處在于從定性描述到定量刻畫，突出用分?jǐn)?shù)表示部分與整體之間關(guān)系的必要性。）

師：八戒說：“我要的一小塊是這樣的，我畫給你們看一下?！?（如圖2）

師：怎樣表示這個“一小塊”的大小，讓人一聽就明白？

（學(xué)生在白紙上自由表達自己的想法，然后介紹各自的作品；典型作品有：①一半的一半；②把一個餅分成了4塊，吃其中的1塊；③4分之1； ④[ 41]；⑤[ 14]。）

師：仔細觀察這些作品，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生2：除了①號，其他的都有數(shù)字4和1。

生3：都是在分、分、分。

生4：后面三個都是分?jǐn)?shù)。

生5：其實①號的“一半的一半”，也就是四分之一，4和1藏在里面。

生6：當(dāng)然都在分啊，一小塊不是一個餅了，比一個餅少。

師：哦，是怎么分的呢？這4份是隨便分的？

生7：不是，要4份一樣大。

生8：要平均！

師：對，平均分。（在②號作品中添加文字“平均”）最后兩個數(shù)很有意思。

生9：我支持④號，很順。

生10：不對啊，我看到過的四分之一是和⑤號一樣，是倒著寫的！

生11：為什么要倒著寫?。?和1中間為什么還有一橫？

這樣的數(shù)學(xué)課堂，“教”的色彩很淡，“探”的氣氛很濃，“為什么”很多，留給學(xué)生的空間很大，著力于發(fā)揮每個學(xué)生的主體性，挖掘每個學(xué)生的最大潛能，讓每個學(xué)生在求真、民主、合作、愉悅的良好氛圍中獲得預(yù)期的意義建構(gòu)、能力提升以及全面發(fā)展。

（三）教學(xué)素材有“智趣”，體現(xiàn)少量主題的深度覆蓋

“必須用少量主題的深度覆蓋去替換學(xué)習(xí)過程中對所有主題的表面覆蓋，這些少量主題使得一些關(guān)鍵概念得到理解?！保ㄕ浴度耸侨绾螌W(xué)習(xí)的》）多練多講并非是提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)的決定性因素。教師要基于學(xué)生立場，創(chuàng)編有故事性、數(shù)學(xué)性、思想性的教學(xué)素材，“以一當(dāng)十”，智趣叢生、內(nèi)蘊思想，從而激活學(xué)生的思維與想象、審美與情懷，悅動學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的“第一感”。

例如，“分?jǐn)?shù)的認(rèn)識（二）”的教學(xué)重點是讓學(xué)生認(rèn)識一個整體的幾分之一。我設(shè)計了一個“春江水暖鴨先知”的童話故事作為鞏固練習(xí)情境。

畫面1：根據(jù)不同的“整體”發(fā)現(xiàn)若干分?jǐn)?shù)。

畫面2：通過“游來一只小黃鴨”，引發(fā)學(xué)生逆向思考。

畫面3：通過“3只白鴨毛色不同”，再次凸顯一個整體的幾分之一的含義。

畫面4：通過“鴨媽媽在岸上呼喚小鴨們?nèi)タ赐馄拧?，引?dǎo)學(xué)生思考12里面可以拿出幾個不同的幾分之一。

故事情節(jié)的推進，就是富有層次的思維推進，有情趣、有深度，既有用數(shù)學(xué)眼光發(fā)現(xiàn)問題、分析問題的智慧，又有潤澤學(xué)生心靈的人文情懷，感性與理性相融共生。

二、究“理” 啟思，內(nèi)煉理性精神

克萊因博士說：“數(shù)學(xué)是一種精神，一種理性精神。正是這種精神，激發(fā)、促進、鼓舞并驅(qū)使人類的思維得以運用到最完善的程度，亦正是這種精神，試圖決定性地影響人類的物質(zhì)、道德和社會生活；試圖回答有關(guān)人類自身存在和提出的問題；努力去理解和控制自然；盡力去探求已經(jīng)獲得知識的最深刻的和最完善的內(nèi)涵?！?/p>

（一）究“規(guī)則之下的道理”

“數(shù)學(xué)，作為人類思維的表達形式，反映了人們積極進取的意志、縝密周詳?shù)耐评砑皩ν昝谰辰绲淖非??！睌?shù)學(xué)恒定的規(guī)則、嚴(yán)密的推理、抽象的概念都是數(shù)學(xué)內(nèi)容的理性表達。

比如四則運算法則的教學(xué)，要讓學(xué)生體會到規(guī)則的合理性和必要性，數(shù)學(xué)的客觀性和嚴(yán)謹(jǐn)性。我的學(xué)生小信極有主見，有一天，他找我理論：“對于8+4-2=？我先算4-2=2，再算8+2=10，一點沒錯。對于8×4÷2=？我先算4÷2=2，再算8×2=16，還是對的。誰說同一級別的運算，非得從左到右算?。俊比绾尾拍芗缺Ｗo學(xué)生的主觀意識，又讓他信服于數(shù)學(xué)的理性客觀呢？我先帶著他用畫圓圈的方式解答了這兩道題，再給出兩道題“8-4+2”和“8÷4×2”讓他回去琢磨。第二天，他用乘客坐汽車的故事把道理講得清清楚楚。

“不講規(guī)則，隨心所欲！”中學(xué)教師批評小學(xué)教師教得太散漫，導(dǎo)致中學(xué)生在做幾何證明時雜亂無章、漏洞百出，糾正起來特別費勁。小學(xué)教師辯駁：小學(xué)生的思維是形象具體、靈動浪漫的，如果一開始就“嚴(yán)謹(jǐn)、精細”，不就捆縛了他們思維的靈活性和創(chuàng)造性？我認(rèn)為，數(shù)學(xué)的思維過程和結(jié)果表述同等重要。思維過程是粗放派，激勵學(xué)生敢于嘗試、打破常規(guī)思路，富有個性，尋求獨創(chuàng)；結(jié)果表述則是工筆，是濃縮的智慧，因為每一個式子、數(shù)據(jù)、符號都不是主觀臆想的，都有來龍去脈，都精準(zhǔn)到位，以便高效地記錄、交流和傳播。

當(dāng)然，探究“規(guī)則之下的道理”并不等于固守已有知識經(jīng)驗。知識的不斷重構(gòu)是數(shù)學(xué)思維發(fā)展的一個基本形式，教師可以結(jié)合數(shù)學(xué)史，讓學(xué)生自覺反思和更新已經(jīng)建立的觀念。

（二）究“結(jié)構(gòu)性關(guān)聯(lián)”

隨著年級的升高，數(shù)學(xué)知識的容量越來越大，學(xué)習(xí)節(jié)奏也越來越快。在高三的沖刺階段，學(xué)校已經(jīng)不再統(tǒng)一安排學(xué)習(xí)時間，而是讓每個學(xué)生自主復(fù)習(xí)。這時，一直保持定期做知識整理、形成知識結(jié)構(gòu)的習(xí)慣的學(xué)生學(xué)習(xí)效率特別高。因此，從小培養(yǎng)“結(jié)構(gòu)化”意識尤為重要。

例如，教學(xué)一年級的10的分與合、10以內(nèi)加減法、一圖兩式和一圖四式、含有括線的實際問題、解決實際問題，以及二年級的乘法和除法時，如果只是平鋪直敘這些知識點，學(xué)生的“知識倉庫”就會日趨擁擠凌亂，導(dǎo)致學(xué)生在解決問題時不能準(zhǔn)確調(diào)用知識。

教師應(yīng)站在廣闊的知識背景下，抓關(guān)聯(lián)、抓結(jié)構(gòu)，對學(xué)生進行普遍聯(lián)系、運動變化、對立統(tǒng)一、量質(zhì)互變等觀點的啟蒙。在一年級學(xué)完加減法之后，可以引導(dǎo)學(xué)生歸納出加減關(guān)系的分與合圖式，學(xué)完乘除法之后，再做補充。教學(xué)內(nèi)容看似繁多，其實都可以統(tǒng)整為最上層的分與合圖式（如圖3）。對于加減、乘除之間相互獨立又相互依存的互逆性，以及加和乘、減和除之間的內(nèi)在聯(lián)系，如果用模型圖揭示，學(xué)生就有了整體結(jié)構(gòu)感，認(rèn)知會更為清晰和理性。

（三）究“有理有據(jù)的批判”

一個具備優(yōu)秀數(shù)學(xué)必備品格的人，不會盲目相信和照搬照抄，因為他具備了批判性思維。批判性思維是有目的的、自我調(diào)節(jié)的判斷。這種判斷表現(xiàn)為解釋、分析、評價、推斷，以及判斷的論據(jù)、概念、方法、標(biāo)準(zhǔn)或語境的說明，是一種不可缺少的思維形式。解放學(xué)生的大腦，讓學(xué)生勇于批判，是培養(yǎng)學(xué)生理性精神的重要手段。

例如，二年級的一道非常規(guī)試題：有一些蘋果，如果每盤放4個，最多放5盤，還有一點剩余。丁丁說：“這些蘋果如果每盤放6個，最多能放4盤?！彼f得對嗎？把你的想法寫下來。（可以畫圖，可以寫算式，也可以用文字表述）

常言道：“思慮則得事理，得事理則必成功。”理性要求人們對客觀事物獲得全面的認(rèn)知，完成“感性具體——理性抽象——理性具體”這一過程。這一過程對于小學(xué)生來說，是初步的感悟和初步的經(jīng)歷。上述這道題顛覆了常規(guī)的有余數(shù)除法的命題方式，題目富含廣闊的思維空間，沒有刻板固定的答題模式，多元開放，有利于培養(yǎng)學(xué)生的批判性思維，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

三、得法善“用”，用數(shù)學(xué)慧眼創(chuàng)造完整的學(xué)生世界

（一）“活學(xué)活用”——馥郁數(shù)學(xué)的生活味

史寧中教授指出，數(shù)學(xué)教育的終極目標(biāo)是會用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實世界；會用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實世界；會用數(shù)學(xué)的語言表達現(xiàn)實世界。英國數(shù)學(xué)家懷特海在《教育的目的》中提出“教育只有一個主題，那就是五彩繽紛的生活”。在他看來，教育的最終目標(biāo)并不是讓學(xué)習(xí)者掌握客觀的理論知識，而是通過對理論知識的學(xué)習(xí)，學(xué)習(xí)者能夠處理生活中遇到的各種問題，形成自己的生活體驗。

例如，習(xí)題：俊俊的學(xué)習(xí)和作息十分有規(guī)律。每天20：00睡覺，早晨6時起床。因為睡眠充足，他個兒長得高，有148厘米?？】『桶职謰寢尨蛩愕侥暇┠险咀疖嚾h口旅游。圖4是俊俊在網(wǎng)上查詢的列車時刻表。

俊俊每天的睡眠時間有（ ）小時?？】募业侥暇┠险局辽傩枰?5分鐘，火車提前10分鐘停止檢票，俊俊一家最遲不得超過（ ）時（ ）分從家出發(fā)。火車在當(dāng)天下午（ ）時（ ）分到達漢口火車站。根據(jù)網(wǎng)上的票務(wù)信息，怎樣購票最省錢？你認(rèn)為合理的決策是

（ ）。

數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升，不是云端之舞，它應(yīng)該滲透在日常的校園生活中。我常常引導(dǎo)學(xué)生帶著數(shù)學(xué)的眼光來過一種有意思的、有“數(shù)學(xué)氣質(zhì)”的校園生活：統(tǒng)籌安排出操晨會、收發(fā)作業(yè)、打掃衛(wèi)生等各種活動，預(yù)算人力和時間，筆算、估算隨時調(diào)用。我校每學(xué)期都指導(dǎo)學(xué)生開展“數(shù)學(xué)與生活”綜合實踐課程，每個寒暑假都開展“我的數(shù)學(xué)創(chuàng)意”假日小隊活動?！吧睢边@個大熔爐讓學(xué)生逐漸學(xué)會用數(shù)學(xué)慧眼發(fā)現(xiàn)、分析和解決問題。

（二）“無用之用”——擁抱長遠的發(fā)展

在迫切追求升學(xué)率的“征戰(zhàn)”中，教師常常會忽視一些看似“無用”實則“有用”的東西：閑暇與漫思，審美與情懷，思想與文化……其實，它們是推動學(xué)生長遠發(fā)展的生命力。關(guān)注“無用之用”，是一種理念、一種情懷、一種責(zé)任。

1.“舍不得”的閑暇漫思

有一些課的教學(xué)環(huán)節(jié)太多，密不透風(fēng)。學(xué)生自主探究的時間以教師得到所要的答案為止，未完成的學(xué)生也只能停筆；小組討論剛進行短短一兩分鐘，教師就請學(xué)生發(fā)表意見，有的小組成員都沒來得及說話?？梢姡處燁A(yù)設(shè)太多，干預(yù)太早，迫切要呈現(xiàn)“教”的精彩。

以“學(xué)”為中心才是小學(xué)數(shù)學(xué)課堂的走向，教師要舍得放手。如果放手讓學(xué)生自主探究，課堂的意外生成必然增多，必然會耗用大量教學(xué)時間，對此，教師要舍得給時間。在結(jié)論一時半會還不能水落石出之時，教師要按捺住挺身而出的沖動。在預(yù)設(shè)的答案出來之后，教師不妨再多等待一會，也許遲到的精彩正在路上：看到哪個學(xué)生埋頭沉浸在自己的世界里，在點名批評他之前，不妨再忍耐一會，說不定他有獨特的想法 。

2.“考不到”的人文情懷

考什么就教什么，怎么考就怎么教，這種“唯應(yīng)試”的功利化的教學(xué)觀依然存在。慢下來，把短期績效的壓力放下來，細細打量每一個數(shù)學(xué)內(nèi)容，看似抽象、冷峻的數(shù)學(xué)知識，如果讓它自由地呼吸外面的空氣，它也會很豐富、很靈動、很浪漫。

例如，教學(xué)“圓的面積”時，我在課尾果斷拿掉一道拓展題，改為播放經(jīng)典繪本《丟失的一角》。這個繪本無關(guān)圓面積公式的計算，看似“無用”，但是蘊含其間的文化、人文情懷、人生哲學(xué)值得教師和學(xué)生回味一輩子。

3.暫時“用不上”的數(shù)學(xué)思想

一年級的數(shù)學(xué)知識簡單、內(nèi)容少，很多學(xué)生早就學(xué)會了10以內(nèi)加減法。怎樣把“簡單”變得“豐富”？我把數(shù)學(xué)家張景中先生的一則科普介紹創(chuàng)編成一節(jié)課——《有趣的加法線》（如圖5）。

在這場神奇的“數(shù)形結(jié)合之旅”中，學(xué)生十分驚嘆：原來在方格紙上也能做加法；0+5、1+4、2+3、3+2、4+1、5+0都在同一條斜線上，它可以命名為“5的加法線”；為什么越往右加法線越長？為什么那么多加法線依次排開不碰頭？有減法線嗎？……學(xué)生的問題層出不窮。數(shù)學(xué)思想與文化、邏輯與推理，這些一年級學(xué)生暫時“不會用”的“無用”之材，若隱若現(xiàn)，潤物細無聲。

杜威說：“教育的目的就是生長?！毙W(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該賦予學(xué)生生長的力量，合“情”入境、究“理”啟思、得法善“用”，讓每一個學(xué)生都能在未來的3年、6年，乃至一生的學(xué)習(xí)中快樂求索。

（責(zé)編 金 鈴）