劉英嬌

一、教材分析

本節(jié)課是普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書人教A版數(shù)學(xué)必修4第三章第一節(jié)內(nèi)容，教學(xué)課時(shí)為1課時(shí)。它是第一章《三角函數(shù)》和第二章《平面向量》相關(guān)知識的延伸和拓展，其中心任務(wù)是通過已學(xué)過的知識，探索建立兩角差的余弦公式。它不僅是前面學(xué)過的誘導(dǎo)公式的推廣，也是后面其他兩角和差公式推導(dǎo)的基礎(chǔ)和核心，只有對兩角差的余弦公式有了深刻的認(rèn)識，才能以此為基礎(chǔ)推導(dǎo)出兩角和的余弦公式，才能變換出其他公式。具有承上啟下的作用，也是三角恒等變換這一章中的重要內(nèi)容之一。

二、核心素養(yǎng)目標(biāo)分析

1.教學(xué)目標(biāo)

（1）必備知識

會用向量的數(shù)量積推導(dǎo)兩角差的余弦公式，理解兩角差的余弦公式的結(jié)構(gòu)特征；熟記兩角差的余弦公式，通過公式推導(dǎo)引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律，從而能用兩角差的余弦公式解決相關(guān)的數(shù)學(xué)問題，通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)更好的體會向量在代數(shù)幾何方面解決問題的方式和方法，構(gòu)建新的知識體系。

（2）關(guān)鍵能力

培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)密而準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)表達(dá)能力以及逆向思維、發(fā)散思維能力、觀察能力、邏輯推理能力和合作學(xué)習(xí)能力。

（3）人文價(jià)值

全面貫徹黨的教育方針，以立德樹人為根本任務(wù)，服務(wù)選才，引導(dǎo)教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新精神、團(tuán)隊(duì)合作意識和良好的學(xué)習(xí)興趣。根據(jù)新課程標(biāo)準(zhǔn)的要求，從提高學(xué)生的素質(zhì)和能力出發(fā)，結(jié)合學(xué)生心理發(fā)展的要求，培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立的人格以及工匠精神和鉆研精神；根據(jù)高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)要求，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會學(xué)習(xí)，健康生活。

2.學(xué)科素養(yǎng)

在單位圓內(nèi)的向量的數(shù)量積的運(yùn)算過程中培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)；從推導(dǎo)兩角差的余弦公式的過程中培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理素養(yǎng)；在利用單位圓與向量解決問題的過程中培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)；在兩角差的余弦公式的應(yīng)用中培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)。通過以上對學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的培養(yǎng)，使學(xué)生能夠用數(shù)學(xué)的眼光看世界，用數(shù)學(xué)的思維分析世界，用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界。

三、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)

1.教學(xué)重點(diǎn)：兩角差的余弦公式的推導(dǎo)和運(yùn)用。

2.教學(xué)難點(diǎn)：如何引導(dǎo)學(xué)生用向量法推導(dǎo)兩角差的余弦公式；如何用兩角差的余弦公式進(jìn)行簡化、計(jì)算及逆用公式等技能。

四、學(xué)情分析

1.知識方面

高一學(xué)生已經(jīng)完成了任意角三角函數(shù)、誘導(dǎo)公式和平面向量等基礎(chǔ)知識的學(xué)習(xí)，能夠熟練地用各章知識進(jìn)行應(yīng)用、變換。

2.能力方面

學(xué)生具備了發(fā)現(xiàn)問題和提出問題的能力，也有了一定的分析問題和解決問題的能力?？梢赃M(jìn)行數(shù)學(xué)表達(dá)和邏輯推理，但知識遷移方面可能能力較弱。

3.情感方面

學(xué)生有學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，有學(xué)好數(shù)學(xué)的自信心，還有良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣；有一定的自主學(xué)習(xí)能力，更有正確的人生觀和價(jià)值觀。

五、教法、學(xué)法分析

1.教法分析

以“學(xué)生為主體教師為主導(dǎo)”為原則，以學(xué)生的實(shí)際能力為出發(fā)點(diǎn)，尊重學(xué)生的原有知識水平，遵循認(rèn)知規(guī)律，采用螺旋式上升教學(xué)法；因材施教，從發(fā)展的角度進(jìn)行教學(xué)，采用興趣教學(xué)法和探究式教學(xué)法。

2.學(xué)法分析

從學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)出發(fā)，采用“小組交流、合作探究”為主的學(xué)習(xí)方法；分步設(shè)計(jì)，拆分難點(diǎn)，逐步形成學(xué)生獨(dú)立自主的學(xué)習(xí)模式。

3.調(diào)控方法

通過跟學(xué)生眼神交流，運(yùn)用目光調(diào)控；通過學(xué)生課堂展示，運(yùn)用激勵(lì)調(diào)控等多種調(diào)控手段對課堂進(jìn)程進(jìn)行調(diào)控。

六、教學(xué)環(huán)節(jié)分析

1.設(shè)置情景，發(fā)現(xiàn)問題

由章頭圖給出的問題引入情境：（1）給出問題——電視發(fā)射塔建在一座小山上；（2）給出山高、在地面某點(diǎn)的仰角、某點(diǎn)到山頂?shù)木嚯x，求電視塔高；（3）發(fā)現(xiàn)問題能不能表示出兩個(gè)角的和差的正弦、余弦、正切值呢？

2.大膽猜想，提出問題

教師提出：聯(lián)系之前學(xué)過的知識，大膽猜想能否完成兩角差的余弦公式的推導(dǎo)呢？學(xué)生思考大膽猜想可用三角和向量的數(shù)量積來解決問題，引入新課。

3.小組合作，分析問題

迅速在小組范圍內(nèi)開展問題討論，由小組長帶領(lǐng)找到單位圓中任意的兩個(gè)向量，教師提示運(yùn)用向量的數(shù)量積的兩種形式來解決問題。學(xué)生分別復(fù)習(xí)回顧數(shù)量積的定義式（兩個(gè)向量的數(shù)量積等于對應(yīng)兩個(gè)向量的模與夾角余弦的乘積）和坐標(biāo)式（兩個(gè)向量坐標(biāo)對應(yīng)相乘再相加）。在找坐標(biāo)的過程中，應(yīng)用到了任意角三角函數(shù)的定義，學(xué)生們運(yùn)用向量工具進(jìn)行探索，過程很簡潔，計(jì)算量不大，很快得出結(jié)論：cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ。最終使學(xué)生突破了難點(diǎn)，增強(qiáng)了自信。

4.范例教學(xué)，解決問題

給出教材中例題1：利用兩角差余弦公式求cos15°■的值。教師在黑板上板演，規(guī)范書寫，以達(dá)到示范作用，并強(qiáng)調(diào)解題的思路、過程和方法，突出重點(diǎn)。

5.公式運(yùn)用，應(yīng)用問題

給出（2017年全國卷1）填空題：已知α∈（0，■），tanα

=2，則cos（α-■）=___。讓學(xué)生在講臺上分析和講解，利用多媒體和投影儀進(jìn)行其解題過程展示，為學(xué)生提供展示自己的平臺，使其樹立自信，樹立榜樣。教師則輔助組織學(xué)生進(jìn)行糾錯(cuò)，給學(xué)生提供幫助。

6.配置練習(xí)，鞏固問題

分別選擇教材例2和練習(xí)作為課上練習(xí)，進(jìn)一步對本節(jié)內(nèi)容進(jìn)行鞏固；再給出一些近幾年相關(guān)高考題類型題作為輔助，體驗(yàn)獨(dú)立解決問題的快樂；提出思考：能否表示出兩角和的余弦公式？能否推導(dǎo)出兩角和差的正弦、正切公式？保留問題在下節(jié)課解決。通過這樣的設(shè)置，以期達(dá)到讓全體同學(xué)學(xué)會，讓學(xué)會的同學(xué)學(xué)好，讓學(xué)好的學(xué)生會學(xué)的目的。

7.歸納總結(jié)，提升問題

歸納小結(jié)分為兩部分，一部分是由學(xué)生用數(shù)學(xué)語言表述世界，總結(jié)本節(jié)課的收獲，從知識方面和能力方面進(jìn)行總結(jié)，也可以談?wù)剬Ρ竟?jié)課的體會和認(rèn)識。另一部分由教師再次強(qiáng)調(diào)本節(jié)重點(diǎn)內(nèi)容、重要方法和布置作業(yè)。

附：板書設(shè)計(jì)框架

兩角差的余弦公式

一、知識點(diǎn) 二、例題 三、練習(xí)